卓俊宜

【摘要】本文以“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)內(nèi)容為例，進(jìn)行直觀想象教學(xué)案例設(shè)計(jì)，提出在高中數(shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略。1.實(shí)物直觀的感知，激發(fā)學(xué)生直觀想象的愿望;2.教學(xué)方式的變革，提供學(xué)生直觀想象的機(jī)會(huì);3.滲透類(lèi)比推理思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握直觀想象方法;4.巧用數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生提升直觀想象的能力。

【關(guān)鍵詞】直觀想象;雙曲線;高中生;教學(xué)設(shè)計(jì)

為落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，新課程改革制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。其中，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。直觀想象是高中生非常重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它的運(yùn)用是“幾何直觀”和“空間想象”的完美結(jié)合。課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要途徑，下面以人教版選修2-2第二章中“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例，談?wù)勗谡n堂教學(xué)中如何培養(yǎng)落實(shí)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

一、教學(xué)片段

環(huán)節(jié)一：從直觀感受到理性思考，學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作，認(rèn)識(shí)雙曲線

教師通過(guò)PPT課件演示生活中的雙曲線。從學(xué)生熟悉的物體如“廣州塔”“冷卻塔”“對(duì)頂圓錐組合體”引出雙曲線，幫助學(xué)生從感官上認(rèn)識(shí)雙曲線。

實(shí)驗(yàn)探究。數(shù)學(xué)家歐拉曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)。”因此，本節(jié)課做好課前實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備，以4人為小組實(shí)驗(yàn)合作探究，其中三個(gè)人合作畫(huà)圖，一個(gè)人填寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

實(shí)驗(yàn)用品：圖釘2個(gè)，一條拉鏈，筆，剪刀，白色A4紙

實(shí)驗(yàn)步驟：

①為了實(shí)現(xiàn)“距離差為定值”，將準(zhǔn)備好的拉鏈拉開(kāi)一部分，并且把其中一邊剪斷;

②用圖釘將拉鏈兩端固定在A4紙上;

③將筆尖套進(jìn)拉鏈拉環(huán)內(nèi)，帶動(dòng)拉環(huán)拉開(kāi)拉鏈，在紙上記錄筆尖走過(guò)的軌跡。

實(shí)驗(yàn)一：觀察曲線的形狀并思考。筆尖在紙上移動(dòng)的過(guò)程中，什么量變化什么量不變？從筆尖到兩定點(diǎn)的距離大小有怎樣的關(guān)系？

實(shí)驗(yàn)二：將兩個(gè)長(zhǎng)短拉鏈的固定位置互換，再重復(fù)實(shí)驗(yàn)一的步驟，觀察形成的圖形并思考發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生思考并由小組代表展示交流成果。利用外部刺激激發(fā)學(xué)生自我探索的欲望，利用開(kāi)放式的教學(xué)方式，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖，觀察總結(jié)，利用圖形直觀小組討論思考，教師作為協(xié)助者通過(guò)不同的設(shè)問(wèn)幫助學(xué)生透過(guò)圖形本身深入的思考問(wèn)題并且準(zhǔn)確的表達(dá)出來(lái)，將實(shí)驗(yàn)融入課堂教學(xué)中，既可以鍛煉學(xué)生的合作探究的能力，也可以發(fā)展學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)二：幾何畫(huà)板演示，探究雙曲線定義

教師借助幾何畫(huà)板演示雙曲線軌跡形成的過(guò)程，學(xué)生可以直觀看到平面內(nèi)任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離|PF1|和|PF2|長(zhǎng)度數(shù)值不斷變化過(guò)程中，他們的距離之差一直保持定值，形成的點(diǎn)P的軌跡。結(jié)合環(huán)節(jié)一體驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)操作可以幫助學(xué)生得到：

當(dāng)|PF1|>|PF2|，得到雙曲線的右支;

當(dāng)|PF1|<|PF2|，得到雙曲線的左支。

緊接著，引導(dǎo)學(xué)生得到左支和右支合起來(lái)叫做雙曲線。

抽象出雙曲線的符號(hào)||PF1|-|PF2||=2a（0<2a<2c），定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，焦距|F1F2|=2c

環(huán)節(jié)三：類(lèi)比聯(lián)想，探究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，提升直觀想象素養(yǎng)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)了橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)的，有一定的研究基礎(chǔ)。因此類(lèi)比橢圓的定義，教師提出以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）類(lèi)比定義

問(wèn)題1：類(lèi)比橢圓的定義，你能給出雙曲線的定義嗎？

學(xué)生：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。

問(wèn)題2：同學(xué)們是否還記得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立步驟？

學(xué)生：建系→設(shè)點(diǎn)→列式→代入→化簡(jiǎn)

問(wèn)題3：那么類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，同學(xué)們分組來(lái)建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

學(xué)生通過(guò)分組討論以及自主探究，完成學(xué)案中的思維導(dǎo)圖。

（2）類(lèi)比方程

類(lèi)比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，展示學(xué)生對(duì)問(wèn)題3的解題思路。

（3）類(lèi)比結(jié)構(gòu)

老師：類(lèi)比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線方程的結(jié)構(gòu)，你是否能得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？又是如何通過(guò)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)的位置？

學(xué)生：方程中將x，y交換位置.焦點(diǎn)在y軸得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

-? ? =1（a>0，b>0）

二、教學(xué)反思

1.關(guān)于課堂的三個(gè)環(huán)節(jié)

（1）環(huán)節(jié)一

這個(gè)環(huán)節(jié)重點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)操作。學(xué)生通過(guò)拉鏈畫(huà)雙曲線，認(rèn)識(shí)雙曲線，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的樂(lè)趣?！胺攀帧弊寣W(xué)生自己動(dòng)手觀察，自己總結(jié)，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待平面圖形形成的軌跡，以幾何直觀感知圖形的形態(tài)與變化，理清知識(shí)之間的邏輯關(guān)系。

（2）環(huán)節(jié)二

這個(gè)環(huán)節(jié)重點(diǎn)是利用幾何畫(huà)板演示平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離在不斷變化過(guò)程中，距離差一直保持定值，可以直觀看到動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡，這里需注意“距離差的絕對(duì)值”也可以通過(guò)數(shù)值的變化直觀的看到，得到雙曲線的定義就顯得水到渠成了。突破了教學(xué)重難點(diǎn)，優(yōu)化了教學(xué)方式。

（3）環(huán)節(jié)三

這個(gè)環(huán)節(jié)重點(diǎn)是通過(guò)類(lèi)比橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概括得到雙曲線的定義以及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。在推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，將雙曲線的定義概括出代數(shù)式，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，以數(shù)解形，抽象思維與形象思維完美結(jié)合，從而推導(dǎo)得到標(biāo)準(zhǔn)方程，為追求數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱美，最后簡(jiǎn)化雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。與橢圓方程相得益彰。將橢圓的定義和方程與雙曲線的定義和方程作類(lèi)比，滲透類(lèi)比推理，聯(lián)系新舊知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，提升創(chuàng)新遷移思維。

2.課堂教學(xué)中直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)策略

（1）實(shí)物直觀的感知，激發(fā)學(xué)生直觀想象的愿望

實(shí)物直觀是通過(guò)直接感知要學(xué)習(xí)的實(shí)際事物而進(jìn)行的一種直觀方式。很多學(xué)生對(duì)于直觀想象的認(rèn)知還是比較抽象，基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”創(chuàng)設(shè)情境，實(shí)驗(yàn)操作，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，鋪設(shè)平臺(tái)，讓學(xué)生通過(guò)直觀感知從而在短時(shí)間內(nèi)從形象的圖形中抽象出數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)的敏感，提升直觀想象的思維。實(shí)物直觀可以給予學(xué)生真實(shí)感，親切感，激發(fā)學(xué)生直觀想象的愿望。

（2）教學(xué)方式的變革，提供學(xué)生直觀想象的平臺(tái)

現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)達(dá)有力的推動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展，“以動(dòng)襯靜”“動(dòng)靜結(jié)合”結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)發(fā)展的教學(xué)方式，能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，不再拘泥于教師主講，學(xué)生只是模仿的傳統(tǒng)課堂模式。正所謂“授之以魚(yú)，不如授之以漁”。教師結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)軟件創(chuàng)設(shè)思考實(shí)驗(yàn)操作的平臺(tái)讓學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)，自主認(rèn)識(shí)，自主探索。這樣就要求教師首先要熟練掌握相關(guān)軟件的操作方法如PPT制作、幾何畫(huà)板、幾何圖霸的應(yīng)用，運(yùn)用技術(shù)軟件直觀的展示動(dòng)點(diǎn)的軌跡、圖形的變換、數(shù)量變化關(guān)系。比如在正余弦函數(shù)探究周期性，奇偶性以及單調(diào)性等性質(zhì)時(shí)，運(yùn)動(dòng)幾何畫(huà)板表現(xiàn)函數(shù)圖像圖形變化，可以直觀的獲得性質(zhì)，學(xué)生的思維方式也從感性認(rèn)識(shí)上升理性認(rèn)識(shí)。

（3）滲透類(lèi)比推理思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握直觀想象方法

數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)遇到新知識(shí)的盲區(qū)時(shí)，運(yùn)用類(lèi)比推理方法，將兩個(gè)不同的對(duì)象挖掘出他們具有的某些相同或相似的性質(zhì)。比如學(xué)習(xí)立體幾何中三棱錐的外接球和內(nèi)切球V內(nèi)切球=? ? （S1+S2+S3+S4）R，可類(lèi)比三角形的外接圓和內(nèi)切圓，S內(nèi)球圓=? ? （a+b+c）r三棱錐的內(nèi)切球是通過(guò)類(lèi)比三角形分割成三個(gè)小三角形的面積和，將三棱錐分割成四個(gè)小三棱錐的體積和，從而得到相似的結(jié)論，再比如等差數(shù)列類(lèi)比等比數(shù)列。

（4）巧用數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生提升直觀想象的能力

華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形難直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！睌?shù)形結(jié)合通過(guò)“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形聯(lián)系起來(lái)。站在上帝的視角，把抽象的問(wèn)題具象化，化繁為簡(jiǎn)。數(shù)形結(jié)合的方法恰恰彌補(bǔ)了抽象思維脫離具體可感的背景材料而陷入思維困境的不足。

總之，學(xué)生借助觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)、類(lèi)比推理對(duì)事物進(jìn)行直觀感知認(rèn)識(shí)，可以將枯燥的邏輯推理化繁為簡(jiǎn)，易于記憶，理解知識(shí)。簡(jiǎn)潔直觀的圖形易于描述和表達(dá)抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)拓學(xué)生解題思路。直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)有助于開(kāi)拓學(xué)生解題思路，提高數(shù)學(xué)直覺(jué)能力，空間想象的能力，樹(shù)立空間概念。因此教師在教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)課堂中，作為開(kāi)拓學(xué)生直觀想象能力道路的引路人，應(yīng)有意識(shí)融入直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，并落實(shí)教學(xué)實(shí)踐中，從而培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

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