趙輝 張小雪 張紹鑫

摘 要：給出了一種非可加測度的定義，其具有F可加性;并對Einstein算子進(jìn)行了優(yōu)化，設(shè)計(jì)了λ模糊擬積算子和λ模糊擬和算子，證明其滿足T范數(shù)與S范數(shù)的條件;接下來基于這種非可加測度和模糊擬積算子給出了模糊擬積概率積分的定義，并將其積分整體看成一個(gè)集函數(shù)，研究并證明其滿足的性質(zhì)，由此豐富了模糊測度的理論。

關(guān)鍵詞：F連續(xù)非可加測度;λ模糊算子;模糊擬積概率積分

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.018

中圖分類號： O29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2021）06-0131-07

A Probabilistic Integral Study of Quasi-product Over

a Non-additive Measure

ZHAO Hui， ZHANG Xiao-xue， ZHANG Shao-xin

（School of Sciences，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：In this paper， a definition of non-additive measure is given， which has F-addability; the Einstein calculater is optimized， and the λ-fuzzy quasi-product operator and λ-fuzzy quasi-sum operator with adjustable parameters for practical problems are designed， and it is proved that they satisfy the conditions of norm and S-norm; then， based on this non-additive measure and λ-fuzzy quasi-product operator， the definition of fuzzy quasi-product probability integral is given， and the integral as a whole is regarded as a set function， and the nature of its satisfaction is studied and proved， thus enriching the theory of fuzzy measure.

Keywords：F continuous non-additive measure; λ-fuzzy operator; fuzzy quasi-product probability integrals

0 引 言

1974年，日本學(xué)者Sugeno首次提出模糊測度的概念;1984年，WANG Z Y[1]首次提出了較弱的“自連續(xù)”與“零可加”的重要概念;1989年，哈明虎等[2]研究了模糊測度與其收斂性質(zhì);1990年，WU C X等[3]提出了（G）模糊積分的概念并討論了它的性質(zhì);1998年，王貴君等[4]研究了K-擬可加模糊積分的零可加性和絕對連續(xù)性;2000年，MARICHAL J L[5]將Sugeno積分作為聚合函數(shù)，給出其一些公理;2003年，GRABISCH M[6]給出了對稱Sugeno積分的定義，并比較研究了其與Choquet積分的相似性;2005年，CHAKRABORTY C等[7]闡述了模糊數(shù)模糊距離測量的理論發(fā)展;同年，MESIAR R[8]對一般的和正則的模糊積分進(jìn)行了研究，對其性質(zhì)進(jìn)行了總結(jié);2008年，李宏偉[9]進(jìn)一步討論了K-擬可加模糊積分的自連續(xù)性和零可加性等性質(zhì)之間的關(guān)系;2010年，HU BAOQING等[10]研究了可信性測度上的模糊積分，并討論了其積分的性質(zhì)。

2014年，周彩麗[11]做了集值與模糊值測度、積分以及度量空間的相關(guān)研究;2016年，張倩等[12]通過實(shí)際例子對模糊綜合評價(jià)中七種常見的模糊算子進(jìn)行了比較分析;2018年NAGALINGAM R[13]針對模糊集合的運(yùn)算給出了一些新型算子，并證明了其與原有算子相似的性質(zhì);同年，劉娜[14]給出了模糊擬乘算子，并對模糊概率積分進(jìn)行了新定義，驗(yàn)證其滿足的性質(zhì)并應(yīng)用到電池的健康評估上;2019年，岳娜等[15]給出了基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子，對其滿足的性質(zhì)進(jìn)行了證明;給出基于Sugeno積分形式的猶豫模糊多屬性決策方法，并實(shí)例驗(yàn)證在實(shí)際問題中的應(yīng)用;2020年，BELIAKOV G等[16]研究了Sugeno積分的擬合形式，其積分形式可以很好的應(yīng)用到數(shù)據(jù)的預(yù)測及分析中。

本文針對模糊數(shù)學(xué)、模糊測度及積分的相關(guān)研究，給出了一種非可加測度的定義，設(shè)計(jì)了一對泛化能力較強(qiáng)的算子，即λ模糊擬積算子和λ模糊擬和算子，并證明其滿足的條件，在模糊擬積概率積分的定義下，對其滿足的定理進(jìn)行進(jìn)一步研究。

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出模糊測度及其積分和模糊算子的相關(guān)定義和定理。

模糊測度的定義：

定義1 設(shè)X為非空集合，F(xiàn)為由X子集構(gòu)成的σ-代數(shù)，集函數(shù)μ：F→[0，∞）是（X，F(xiàn)）上的一個(gè)模糊測度，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件：

1）μ（）=0;

2）（單調(diào)性）

A，B∈F，ABμ（A）≤μ（B）;

3）（下連續(xù)性）

A1A2…An…，An∈F ，∪∞n=1An∈F，

n=1，2，…，μ（∪∞n=1An）=limn→∞μ（An）;

4）（上連續(xù)性）

A1A2…An…，An∈F，∩∞n=1An∈F，

n=1，2，…，且n0使得μ（An0）<∞μ（∩∞n=1An）=

limn→∞μ（An）。

當(dāng)滿足1），2），3）時(shí)，μ稱為下半連續(xù)模糊測度;當(dāng)滿足1），2），4）時(shí)，μ稱為上半連續(xù)模糊測度。

Sugeno模糊積分的定義如下：

定義2 設(shè)（X，F(xiàn)，μ）為模糊測度空間，A∈F，f為可測函數(shù)，μ為模糊測度，則有

（S）∫Afdμ=supα∈[0，∞）[α∧μ（Fα∩A）]

稱∫Afdμ為f在A上關(guān)于μ的Sugeno模糊積分。

T范數(shù)與S范數(shù)的定義及性質(zhì)如下：

定義3 映射T：[0，1]×[0，1]→[0，1]，若a，b，c，d∈[0，1]，滿足下列條件：

1）交換律：T（a，b）=T（b，a）;

2）結(jié)合律：T（a，T（b，c））=T（T（a，b），c）;

3）單調(diào)性：若a≤c，b≤dT（a，b）≤T（c，d）;

4）邊界條件：T（a，1）=a。

則稱T為T三角模，也稱為T范數(shù)。

定義4 映射S：[0，1]×[0，1]→[0，1]，若a，b，c，d∈[0，1]，滿足下列條件：

1）交換律：S（a，b）=S（b，a）;

2）結(jié)合律：S（a，S（b，c））=S（S（a，b），c）;

3）單調(diào)性：若a≤c，b≤dS（a，b）≤S（c，d）;

4）邊界條件：S（a，0）=a。

則稱S為S三角模，也稱為S范數(shù)。

定理1 三角范算子T和S是對偶算子，即a，b∈[0，1]，S（a，b）=1-T（1-a，1-b）成立。

Sugeno積分滿足的性質(zhì)如下：

定理2 設(shè)A∈F，f，f1，f2為可測函數(shù)，則Sugeno積分滿足的性質(zhì)如下：

1）如果μ（A）=0，則有（S）∫Afdμ=0;

2）如果（S）∫Afdμ=0，則有

μ（A∩{x|f（x）>0}）=0;

3）如果f1≤f2，則有（S）∫Af1dμ≤（S）∫Af2dμ;

4）如果AB，則有（S）∫Afdμ≤（S）∫Bfdμ;

5）（S）∫A∩Bfdμ≤（S）∫Afdμ∧（S）∫Bfdμ;

6）（S）∫A∪Bfdμ≥（S）∫Afdμ∨（S）∫Bfdμ;

7）a∈[0，∞），（S）∫Afdμ=a∧μ（A）;

8）a∈[0，∞），（S）∫A（f+a）dμ≤（S）∫Afdμ+（S）∫Aadμ;

9）（S）∫Afdμ=（S）∫fχAdμ，其中χA是A的特征函數(shù);

10）（S）∫A（f1∧f2）dμ≤（S）∫Af1dμ∧（S）∫Af2dμ;

11）（S）∫A（f1∨f2）dμ≥（S）∫Af1dμ∨（S）∫Af2dμ。

2 主要結(jié)果

首先，給出一種非可加測度的定義，其滿足F-可加性。

定義5 設(shè)X是一個(gè)非空集合，F(xiàn)是由X的若干經(jīng)典子集組成的σ-代數(shù)，集函數(shù)μ∶F→[0，1]稱為（X，F(xiàn)）的一個(gè)F上連續(xù)非可加測度，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件：

1）μ（）=0;

2）（F-可加性）A，B∈F，A∩B=，有μ（A∪B）=μ（A）∨μ（B）;

3）（上連續(xù)性）

{An}F，A1A2…An…，∩∞n=1An∈F，n=1，2，…，μ（∩∞n=1An）=limn→∞μ（An）。

定義6 設(shè)X是一個(gè)非空集合，F(xiàn)是由X的若干經(jīng)典子集組成的σ-代數(shù)，集函數(shù)μ∶F→[0，1]稱為（X，F(xiàn)）的一個(gè)F下連續(xù)非可加測度，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件：

1）μ（）=0;

2）（F-可加性）A，B∈F，A∩B=，有μ（A∪B）=μ（A）∨μ（B）;

3）（下連續(xù)性）

{An}F，A1A2…An…，∪∞n=1An∈F，

n=1，2，…，μ（∪∞n=1An）=limn→∞μ（An）。

例1 設(shè)X=（-∞，∞），

μ（E）=0.3，E={5}

0，E=

1，E≠{5}，，

易證μ是F下連續(xù)非可加測度。

定義7 若μ既是F上連續(xù)非可加測度，又是F下連續(xù)非可加測度，則稱μ為（X，F(xiàn)）上的F連續(xù)非可加測度。

定理3 若μ為F上（或下）連續(xù)非可加測度，且滿足μ（A）+μ（Ac）=1，則μ為F下（或上）連續(xù)非可加測度。

證明：若μ為F上連續(xù)非可加測度，只需證μ滿足下連續(xù)性即可。

由于{An}F，A1A2…An…，n=1，2，…，則

A1cA2c…Anc…，n=1，2，…，

又因?yàn)閘imn→∞μ（Anc）=μ（limn→∞Anc）=μ（∩∞n=1Anc），且

μ（A）+μ（Ac）=1，可知

limn→∞μ（An）=1-limn→∞μ（Anc）=1-μ（∩∞n=1Anc）=

1-μ（（∪∞n=1An）c）=μ（∪∞n=1An）。

則μ為F下連續(xù)非可加測度。

若μ為F下連續(xù)非可加測度，則μ滿足上連續(xù)性同理可證。

定理4 設(shè)μ為F上（或下）連續(xù)非可加測度，則μ是單調(diào)的。

證明：若A，B∈F，且AB，則有

B=A∪（B-A）且A∩（B-A）=

由定義5可知

μ（B）=μ（A∪（B-A））=μ（A）∨μ（B-A）≥μ（A）。

則μ是單調(diào)的。

基于對模糊數(shù)學(xué)中模糊算子的學(xué)習(xí)，改進(jìn)了原本的Einstein算子，下面給出λ模糊擬積算子和λ模糊擬和算子的定義。

定義8 設(shè)映射T：[0，1]×[0，1]→[0，1]，對于a，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，構(gòu)造λ模糊擬積算子：a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）。

注：由a，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，可輕易證得

a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）∈[0，1]。

定理5 算子^為[0，1]上的T-模，a，b，c，d∈[0，1]，須滿足T-模中的4個(gè)基本條件：

1）交換律：T（a，b）=T（b，a）;

2）結(jié)合律：T（T（a，b），c）=T（a，T（b，c））;

3）單調(diào)性：若a≤c，b≤d，則T（a，b）≤T（c，d）;

4）邊界條件：T（a，1）=a。

證明：1）a，b∈[0，1]，有

a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）=b^a;

2）（a^b）^c=（a^b）c1+λ（1-a^b）（1-c）=

abc（1-a）（1-b）（λ2-λ2c+λ）+（ab-1）（λc-λ）+1=

a^（b^c）;

3）a，b，c，d∈[0，1]，a≤c，b≤d，有ab≤cd，（1-a）（1-b）≥（1-c）（1-d）。

又因?yàn)棣恕蔥0，+∞]，則

1+λ（1-a）（1-b）≥1+λ（1-c）（1-d）。

有11+λ（1-a）（1-b）≤11+λ（1-c）（1-d）。

則ab1+λ（1-a）（1-b）≤ab1+λ（1-c）（1-d）≤cd1+λ（1-c）（1-d）。

4）a∈[0，1]，a^1=a1=a。

因此^滿足T-模條件，即構(gòu)造的λ模糊擬積算子：a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）成立。

定理6 設(shè)T三角模為λ模糊擬積算子a^b=ab1+λ（1-a）（1-b），則：

1）（a∨b）^c=（a^c）∨（b^c）;

2）a^0=0;

3）{an}，{bn}[0，1]且limn→∞an=a，limn→∞bn=b，則limn→∞（an^bn）=a^b。

證明：1）（a∨b）^c=（a∨b）·c1+λ（1-a∨b）（1-c）;

（a^c）∨（b^c）=ac1+λ（1-a）（1-c）∨bc1+λ（1-b）（1-c）;

可知無論（a∨b）=b或（a∨b）=a都有（a∨b）^c=（a^c）∨（b^c）成立。

2）a^0=a·0=0。

3）limn→∞（an^bn）=limn→∞anbn1+λ（1-an）（1-bn）=

limn→∞anlimn→∞bn1+λ（1-limn→∞an）（1-limn→∞bn）=a^b。

定義8 構(gòu)造的λ模糊擬積算子滿足T范數(shù)的條件，由此可由定理1計(jì)算出其對偶算子，即a，b∈[0，1]，S（a，b）=1-T（1-a，1-b）=1-（1-a）（1-b）1+λ[1-（1-a）][1-（1-b）]=a+b+（λ-1）ab1+λab，即以下定義的λ模糊擬和算子。

定義9 設(shè)映射S：[0，1]×[0，1]→[0，1]，對于a，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，構(gòu)造λ模糊擬和算子：a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab。

注：需證明a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab∈[0，1]，證明如下：

證明：先證a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≥0。

因?yàn)閍，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，則1+λab≥0，只需證a+b+（λ-1）ab≥0。

又a，b∈[0，1]，則a+b≥ab。

又λ∈[0，+∞]，則ab≥（1-λ）ab。

即a+b≥ab≥（1-λ）ab。

則a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≥0。

下面證a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≤1，只需證a+b+（λ-1）ab≤1+λab，即a+b-ab≤1。

又a，b∈[0，1]，則a+b-ab≤1恒成立。

即a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≤1成立。

則a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab∈[0，1]。

定理7 算子^為[0，1]上的S-模，a，b，c，d∈[0，1]，須滿足S-模中的4個(gè)基本條件：

1）交換律：S（a，b）=S（b，a）;

2）結(jié)合律：S（S（a，b），c）=S（a，S（b，c））;

3）單調(diào)性：若a≤c，b≤d，則S（a，b）≤S（c，d）;

4）邊界條件：S（a，0）=a。

證明：1）a，b∈[0，1]，有

a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab=b^a;

2）（a^b）^c=a+b+（λ-1）ab1+λab^c=

（λc-λ+1）[a+b+（λ-1）ab]+（1+λab）c1+λ（ab+ac+bc）+λabc（λ-1）=

a^（b^c）;

3）a，b，c，d∈[0，1]，a≤c，b≤d，則-a≥-c，-b≥-d。

即1-a≥1-c，1-b≥1-d。

由定理5可知算子T是單調(diào)的，則T（1-c，1-d）≤T（1-a，1-b）。

即1-T（1-c，1-d）≥1-T（1-a，1-b）。

由定理1可知S（a，b）=1-T（1-a，1-b）。

則S（a，b）≤S（c，d）。

4）a∈[0，1]，a^0=a1=a。

因此^滿足S-模條件，即構(gòu)造的λ模糊擬和算子：a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab成立。

注：當(dāng)λ=0時(shí)，上述算子退化為普通的數(shù)乘與加法運(yùn)算;當(dāng)λ=1時(shí)，上述算子退化為Einstein算子。

定義2中的Sugeno模糊積分采用的是模糊測度與扎德算子之間的運(yùn)算，本文設(shè)計(jì)的λ模糊擬積算子滿足T-模條件，故可將模糊擬積算子應(yīng)用到F連續(xù)非可加測度空間上，以此對模糊擬積概率積分的性質(zhì)進(jìn)行研究，豐富了模糊測度的理論。

定義10 給定F連續(xù)非可加測度空間（X，F(xiàn)，μ），f∶X→[0，1]是可測函數(shù)，A∈F，其中μ是F連續(xù)非可加測度，^為λ模糊擬積算子，則∫Afdμ=supα∈[0，1][α^μ（A∩Nα（f））]，稱∫Afdμ為f在A上關(guān)于μ的模糊擬積概率積分。

其中Nα（f）={x|f（x）≥α，x∈X}（α∈[0，1]），當(dāng)積分存在時(shí)，稱f在A上可積，記L1+（X）為X上全體非負(fù)可積函數(shù)構(gòu)成的集合。

下面研究將∫Afdμ整體看成一個(gè)集函數(shù)，當(dāng)集合A或函數(shù)f分別改變時(shí)，研究其滿足的性質(zhì)。

定理8 設(shè)f∶X→[0，1]是可測函數(shù)，μ為F連續(xù)非可加測度，A∈F，∫Afdμ為f在A上的模糊擬積概率積分，當(dāng)函數(shù)f改變時(shí)，設(shè)vf=∫Afdμ，則有：

1）如果f1≥f2，則vf1≥vf2;

2）vc+f≤vc+vf，其中c∈[0，1];

3）對于c∈[0，1]，有vc=c^μ（A）。

證明：1）f1，f2是可測函數(shù)，由定義10可知，當(dāng)f1≥f2，有

vf1-vf2=∫Af1dμ-∫Af2dμ=

supα∈[0，1]αf11+λ（1-a）（1-f1）-αf21+λ（1-a）（1-f2）=

supα∈[0，1]α（f1-f2）+λα（1-a）（f1-f2）[1+λ（1-a）（1-f1）][1+λ（1-a）（1-f2）]≥0。

所以vf1≥vf2。

2）α∈[0，1]，Nα（c+f）=Nα（f），α>cX，α≤c，

有

vc+f=∫A（c+f）dμ=supα∈[0，c][α^μ（A∩Nα（f））]+

supα∈（c，1][α^μ（A∩Nα（f））]≤supα∈[0，c][α^μ（A）]+

supα∈（c，1][α^μ（A∩Nα（f））]=∫Acdμ+∫Afdμ=vc+vf。

即vc+f≤vc+vf。

3）α∈[0，1]，Nα（c）=，α>cX，α≤c，有

vc=∫Acdμ=supα∈[0，1][α^μ（A∩Nα（c））]=c^μ（A）

則有vc=c^μ（A）。

定理9 設(shè)f是可測函數(shù)，μ為F連續(xù)非可加測度，A∈F，∫Afdμ為f在A上的模糊擬積概率積分，當(dāng)集合A改變時(shí)，設(shè)v（A）=∫Afdμ，則有：

1）若μ（A）=0，則v（A）=0;

2）如果AB，則有v（A）≥v（B）;

3）v（）=0;

4）若A，B∈F，A∩B=，有v（A∪B）=v（A）∨v（B）;

5）v（A）是零可加的;

6）{An}F，A1A2…An…，∪∞n=1An∈F，n=1，2，…，有v（∪∞n=1An）=limn→∞v（An）;

7）{An}F，A1A2…An…，∩∞n=1An∈F，n=1，2，…，有v（∩∞n=1An）=limn→∞v（An）。

證明：1）若μ（A）=0，則v（A）=∫Afdμ=supα∈[0，1][α^0]=0。

2）因?yàn)锳B，則α∈[0，1]，有（A∩Nα（f））（B∩Nα（f））。

由定理4μ的單調(diào)性知μ（A∩Nα（f））≥μ（B∩Nα（f））。

所以v（A）=∫Afdμ≥∫Bfdμ=v（B）。

3）v（）=supα∈[0，1][α^μ（φ∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（）]=supα∈[0，1][α^0]=0。

4）v（A∪B）=∫A∪Bfdμ=

supα∈[0，1][α^μ（（A∪B）∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（（A∩Nα（f））∪（B∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][α^（μ（A∩Nα（f））∨μ（B∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][（α^μ（A∩Nα（f））∨（α^μ（B∩Nα（f））]=

supα∈[0，1]（α^μ（A∩Nα（f））∨supα∈[0，1]（α^μ（B∩Nα（f））=

v（A）∨v（B）。

5）若A，B∈F，A∩B=，v（A）=0，則

v（A）=∫Afdμ=supα∈[0，1][α^μ（A∩Nα（f））]=0

即α^μ（A∩Nα（f））=0。

則v（A∪B）=supα∈[0，1][α^μ（（A∪B）∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（（A∩Nα（f））∪（B∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][α^（μ（A∩Nα（f））∨μ（A∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][（α^μ（A∩Nα（f））∨（α^μ（B∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（B∩Nα（f））]=v（B）。

即零可加性成立。

6）{An}F，A1A2…An…，∪∞n=1An∈F，n=1，2，…，則v（An）=∫Anfdμ。

由2）可知∫A1fdμ∫A2fdμ…∫Anfdμ…，有v（A1）v（A2）…v（An）…，則limn→∞v（An）存在。

v（∪∞n=1An）=supα∈[0，1][α^μ（∪∞n=1（An∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][α^μ（limn→∞（An∩Nα（f）））] =

supα∈[0，1]limn→∞[α^μ（An∩Nα（f））]=

supα∈[0，1]supn→∞[α^μ（An∩Nα（f））]=

supn→∞supα∈[0，1][α^μ（An∩Nα（f））]=

supn→∞v（An）=limn→∞v（An）。

7）類似于性質(zhì)6）的證明，同理可證。

注;由定理9中的3）、4）、6）和7）可知v（A）是F連續(xù)非可加測度。若μ為模糊測度，則在λ模糊擬積算子的作用下，其積分依舊滿足定理9中的2）、3）、6）和7），則此時(shí)v（A）為模糊測度。

3 結(jié) 論

本文給出了F連續(xù)非可加測度的定義;給出了一對λ模糊算子，其具有參數(shù)可調(diào)，泛化能力較強(qiáng)的特點(diǎn);在F連續(xù)非可加測度空間下，給出了模糊擬積概率積分的定義，將其積分整體看作一個(gè)集函數(shù)，驗(yàn)證其滿足的性質(zhì)及定理，證明其也是F連續(xù)非可加測度，以此對模糊測度的性質(zhì)進(jìn)行了補(bǔ)充。

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（編輯：溫澤宇）

收稿日期： 2020-09-30

基金項(xiàng)目： 四川省科技計(jì)劃項(xiàng)目（2016JZ0014-1）;黑龍江省自然科學(xué)基金（A201214）.

作者簡介：

趙 輝（1963—），男，教授，碩士研究生導(dǎo)師;

張紹鑫（1995—），男，碩士研究生.

通信作者：

張小雪（1995—），女，碩士研究生，E-mail：2365732041@qq.com.

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