孫麗萍 張秋陽(yáng) 劉文德

摘 要：Cartan型模李超代數(shù)的分類(lèi)是解決素特征域上單李超代數(shù)分類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。識(shí)別定理為素特征域上李代數(shù)分類(lèi)問(wèn)題的解決奠定了基礎(chǔ)。仿照識(shí)別定理中對(duì)于Cartan型模李代數(shù)伴隨模的理論，研究了Cartan型模李超代數(shù)W（n）的伴隨模。通過(guò)對(duì)W（n）的?2-階化分支的直和分解，得到了兩類(lèi)伴隨模，進(jìn)而給出了這兩類(lèi)伴隨模之間的關(guān)系，并證明了它們的不可約性。

關(guān)鍵詞：Cartan型李超代數(shù);伴隨模;子模;不可約

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.020

中圖分類(lèi)號(hào)： O152.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2021）06-0149-04

Adjoint Modules of Cartan Type Modular Lie Superalgebras W（n）

SUN Li-ping1， ZHANG Qiu-yang1， LIU Wen-de2

（1.School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China;

2.School of Mathematics and Statistics， Hainan Normal University， Haikou 571158， China）

Abstract：The classification of Cartan type modular Lie superalgebras is the key of the classification of Lie superalgebras over a fields of prime characteristic. The Recognition Theorem established foundation for the classification of Lie algebras over a fields of prime characteristic. According to the theories on adjoint modules of Cartan type modular Lie algebras in Recognition Theorem， we study the adjoint modules of Cartan type modular Lie superalgebras W（n）. By virtue of the direct sum decomposition of the2-graded components in W（n）， we obtain two types of adjoint module， analyse the relationship between them， and prove their irreducibilities.

Keywords：Cartan type Lie superalgebra; adjoint module; submodule; irreducibility

0 引 言

對(duì)于特征零域上的李超代數(shù)（稱(chēng)為非模李超代數(shù)），有限維單李超代數(shù)的分類(lèi)工作和向量場(chǎng)線(xiàn)性緊致單李超代數(shù)的分類(lèi)及結(jié)構(gòu)研究已經(jīng)完成[1-3]。對(duì)于素特征域上的李超代數(shù)（稱(chēng)為模李超代數(shù)），由于受到基域的限制，至今單李超代數(shù)的分類(lèi)工作仍是一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題[4-5]。研究表明，模與非模李超代數(shù)的區(qū)別主要在Cartan型李超代數(shù)上，所以此類(lèi)問(wèn)題研究受到關(guān)注，如文[6-10]。本文將模李代數(shù)識(shí)別定理（見(jiàn)文[11]）中對(duì)于Cartan型李代數(shù)W（n）的伴隨模的相關(guān)結(jié)論推廣到模李超代數(shù)中，以期對(duì)于研究Cartan型模李超代數(shù)的極大子代數(shù)等結(jié)構(gòu)有所幫助，參見(jiàn)文[12-13]。

1 預(yù)備知識(shí)

本文設(shè)域F的特征p>3，2={1-，0-}為模2剩余類(lèi)環(huán)。本文中所有子空間、子代數(shù)和子模都是2-階化和-階化的，|x|和degx分別表示齊次元素x的2-次數(shù)和-次數(shù)。

設(shè)Λ（n）是F上由n個(gè)變?cè)獂1，x2，…，xn生成的外代數(shù)，并有自然的2-階化結(jié)構(gòu)：

Λ（n）k-=spanF{xi1…xir|1≤i1≤，…，≤ir≤n}， 當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，k=0，當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，k=1。令

B（n）：={〈i1，…，ik〉|0≤k≤n}，

對(duì)于u：=〈i1，i2，…，ik〉∈B（n），記

xu：=xi1xi2…xik，x=1，‖u‖=k。

令degxi=1，則degxu=‖u‖，得到外代數(shù)Λ（n）的一個(gè)自然-階化結(jié)構(gòu)：Λ（n）=nl=0Λl（n）， 其中

Λl（n）=spanF{xu|‖u‖=l}。

設(shè)i為外代數(shù)Λ（n）的超導(dǎo)子，使得i（xj）=δij，易見(jiàn)|i|=1-，degi=-1，i=1，2，…，n。令

W（n）：={ni=1fii|fi∈Λ（n）}，

則W（n）是Λ（n）的導(dǎo)代數(shù)，且每個(gè)導(dǎo)子D∈W（n）都可以表示成D=ni=1xui，xu∈Λ（n）。外代數(shù)Λ（n）的-階化結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)出W（n）的一個(gè)-階化結(jié)構(gòu)：W（n）=n-1l=-1W（n）l，其中

W（n）l={D∈W（n）|D（Λ（n）s）Λ（n）s+l}=

spanF{xui|‖u‖=l+1，i=1，…，n}，

則W（n）l是W（n）0=spanF{xij|1≤i，j≤n}的伴隨模，且W（n）-1=spanF{i|i=1，…，n}是W（n）0的不可約模。 方便起見(jiàn)，下文中簡(jiǎn)記W（n）為W，并在W中定義以下次數(shù)導(dǎo)子：

Df：=fD，其中f∈Λ（n）， D=ni=1xii。

易見(jiàn)，degDf=degf，且

[Df，Dg]=（degg-degf）Dfg。

令

div（xui）=（-1）||u||i（xu），

W′l：={D∈Wl|div（D）=0}，

W″l：=spanF{Df|degf=l}。

當(dāng)l≥0時(shí)，我們將研究Wl′和W″l作為W（n）0伴隨模的性質(zhì)。首先，容易證明：

引理1 W′l=spanF{S∪T}，其中

S={xui|i{u}，‖u‖=l+1}，

T={xixvi-xjxvj|i，j{v}，‖v‖=l}。

引理2 若f∈Λ（n）l，則divDf=（l-n）f。

證明：設(shè)f=xu，則

divDf=div（fni=1xii）=ni=1（-1）l+1i（fxi）=

niu（-1）2l+1i（xif）=niu-f=（l-n）f。

引理3 對(duì)于如上定義的W′l和W″l，有

（i）當(dāng)l-n≡0（modp）時(shí)，Wl=W′lW″l;

（ii）當(dāng)l-n≡0（modp）時(shí)，W″lW′l。

證明：（i）首先證明W′l∩W″l=0。對(duì)于任意D∈W′l∩W″l，可設(shè)D=fD，f∈Λ（n）。由引理2，

0=div（D）=div（fD）=（l-n）f。

由于l-n≡0（modp），有f=0，從而D=0。

下面證明Wl=W′l+W″l。對(duì)于任意D∈Wl，D可寫(xiě)成D1+D2，其中：

D1=D-1l-n（divD）D，

D2=1l-n（divD）D。

由于deg （div）=0，有divD1=0，則D1∈W′l。又由D2∈W″l，知WlW′l+W″l。反包含顯然成立。

（ii）對(duì)于任意D∈W″l，可設(shè)D=fD，其中f∈Λ（n）。由l-n≡0（modp）知，div（D）=（l-n）f=0，因此D∈W′l。

引理4 設(shè)N是Wl的一個(gè)非零W0-子模，則N包含以下形式的元素：

B=xE1+nk=2bkk，

其中xE=x1x2…xl+1，bk∈Λ（n）l+1。

證明：設(shè)A=nk=1akk∈N，ak∈Λ（n）l+1，且A≠0。不失一般性，可設(shè)a1≠0。由

[xij，A]=nk=1xij（ak）k-aij

知存在由a1決定的j使得j（a1）≠0，且由xij經(jīng)過(guò)最多l(xiāng)+1次相乘之后，即有：

B=x1x2…xl+11+nk=2bkk∈N。

2 主要結(jié)論

定理1 W′l和W″l都是Wl的非平凡W0-子模，且W″l是不可約的W0-模。

證明：首先證明[W′l，W0]W′l。對(duì)于任意D∈W′l，E∈W0，有divD=0，divE∈F，則

div（[D，E]）=D（divE）-（-1）|D||E|E（divD）=0，

故[D，E]∈W′l。然后證明[W″l，W0]W″l。對(duì)于任意D=fD∈W″l，E=xij∈W0，

[E，D]=[xij，fD]=

xij（f）D+f[xij，D]=

xij（f）D∈W″l（1）

最后，由式（1）可知W″l是不可約的W0-模。

定理2 設(shè)N是W′l的W0-子模，如果有某個(gè)元素xui∈N，其中i{u}，則N=W′l。

證明：首先證明，對(duì)于任意xv∈Λ（n）l+1，j{v}都有xvj∈N。設(shè)xu=xi1…xirxir+1…xil+1，xv=xj1…xjrxir+1…xil+1，其中r表示xu和xv中不同因子的個(gè)數(shù)。如果r=0，即xv=±xu，則

xvj=±[xui，xij]∈N。

下面對(duì)r應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)r=1，記xu=xi1xl，xv=xj1xl，則

[xui，xij]=xuj-δj，i1xixl∈N，

[xj1，[xui，xij]]=xvj-δj，i1[xj1i1，xixli]=

xvj+δj，i1δi，j1xixli1∈N。

若j=i1且i=j1，則有2xvj∈N。否則，直接可得xvj∈N。由于域F特征p>3，r=1時(shí)得證。由歸納法知，

[xjrir，xj1…xjr-1xir…xil+1j]=xj1…xjrxir+1…xil+1j=xvj∈N。

其次，由上面的證明知xjxvi∈N，故對(duì)于i，j{v}，且‖v‖=l，

[xij，xjxvi]=xixvi-xjxvj∈N

最后，由引理1，知N=W′l.

定理3 當(dāng)l-n0（modp）時(shí)，W′l是Wl的不可約的W0-子模。

證明：假定N是W′l的非零W0-子模，根據(jù)引理4，N包含一個(gè)非零的元素B：

B=xE1+nk=2bkk，bk∈Λ（n）l+1

我們斷言，必存在i0≤l+1和j0>l+1，使得[xi0j0，B]≠0。否則，倘若對(duì)于任意i≤l+1和j>l+1都有[xij，B]=0。當(dāng)i=1時(shí)，

[x1j，B]=-xEj+nk=2x1j（bk）k=0（2）

當(dāng)2≤i≤l+1時(shí)，

[xij，B]=nk=2xij（bk）k-bij=0（3）

由式（2），有x1j（bj）=xE，那么

bj=xjx2…xl+1+b′j，jb′j=0，j>l+1（4）

由式（3），有xij（bj）=bi，再由式（4），得

bi=xix2…xl+1=0，2≤i≤l+1（5）

綜上，

B=nk=1xkx2…xl+1k+nj=l+2b′jj=

nk=1（-1）lx2…xl+1xkk+nj=l+2b′jj =

（-1）lx2…xl+1D+nj=l+2b′jj

由引理2，并注意到j(luò)b′j=0，j=2，…，l+1，有

divB=（l-n）（-1）lx2…xl+1

但是在l-n0（modp）的情況下，有divB≠0，此與B∈W′l矛盾。

不失一般性，可設(shè)[x1j0，B]=A≠0，其中j0>l+1。由式（2），如果nk=2x1j0（bk）k=0，那么[x1j0，B]=-x1…xl+1j∈N，由定理2，知N=W′l;如果存在k=2，…，n，使得x1j0（bk）≠0，由[A，xij]∈N， i≤l+1，j>l+1，可得xEs∈N，其中s>l+1。由定理2，也有N=W′l。

定理4 當(dāng)l-n≡0（modp）時(shí)，W″l是W′l的唯一非平凡W0-子模。

證明：設(shè)N≠W″l，是包含于W′l的一個(gè)非零子模。由引理4，在N里存在如下形式非零元素B：

B=xE1+nk=2bkk，bk∈Λ（n）l+1

如果BW″l，由定理1的證明知，存在i0≤l+1，j0>l+1，使得

0≠[B，xi0j0]=A∈N。

當(dāng)i≤l+1，j>l+1，將xij作用在A上，有

xEj∈N，j>l+1。

由定理2，知N=W′l。

如果B∈W″l，那么W″lN。由定理1，知W″l是不可約的。對(duì)于任意A=nk=1akk∈N，但AW″l，我們考慮以下兩種情況：

（i）對(duì)于任意i≤l+1，j>l+1，都有[xij，A]=0。由

[xij，nk=1akk]=nk=1xij（ak）k-aij=0

知xij（aj）=ai，xij（ak）=0，其中，k≠j。從而ai=λixE，λi∈F，i≤l+1，且

aj=xjl+1i=1λii（xE）+ajxE，j>l+1

因此

A=l+1i=1λixEi+nj=l+2（xjl+1i=1λii（xE）+ajxE）j=

l+1i=1λi（i（xE）xii+nj=l+2i（xE）xjj）+

nj=l+2ajxEj=

l+1i=1λii（xE）D+nj=l+2ajxEj

注意到AW″l，l+1i=1i（xE）D∈W″l，則nj=l+2ajxEjW″l，但屬于N。由于aj不全為零，設(shè)ak≠0，l+1<k≤n，則

[xkn，nj=l+2ajxEj]=-λkxEn∈N

由定理2，有N=W′l。

（ii）如果存在i0≤l+1，j0>l+1，使得對(duì)于任意[xi0j0，A]=D≠0，則取A=xuj0，其中i0{u}，j0∈{u}，則D=xi0j0（xu）j0∈N。由定理2，亦有N=W′l，定理得證。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] KAC V G. Classification of Simple Lie Superalgebras[J].? Functional Analysis and Its Applications，1975，9（3）：263.

[2] KAC V G. Representations of Classical Lie Superalgebras[M]. Springer， Berlin： Lecture Notes in Mathematics， 1978.

[3] KAC V G. Classification of Infinite-dimensional Simple Linearly Compact Lie Superalgebras[J]. Advances in Mathematics， 1998， 139（1）：1.

[4] LEITE D. Towards Classification of Simple Finite Dimensional Modular Lie superalgebras[J]. The Journal of Prime Research in Mathematics， 2007（3）：101.

[5] BOUARROUDJ S， GROZMAN P， LEITES D. Classification of Finite Dimensional Modular Lie Superalgebras with Indecomposable Cartan Matrix[J]. Symmetry Integrability and Geometry-Methods and Applications， 2009（5）：60.

[6] 張永正，劉文德. 模李超代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[7] WANG Shujuan， YUAN Jixia， LIU Wende. Restricted Kac Modules for Special Contact Lie Superalgebras of Odd Type[J]. Front. Math. China 2020，15（2）：419.

[8] LIU Wende， YUAN Jixia， WANG Shujuan . Character Formulas for Simple Modules of Hamiltonian Lie Superalgebras of Odd Type[J].Taiwanese Journal of Mathematcs，2019，23（5）：1091.

[9] TANG Liming， LIU Wende. The Minimal Number of Generators for Finite-dimensional Cartan Lie Superalgebras[J] Colloquium Mathematicum，2019，158（2）：305.

[10]Liping， LiuWende ， Wu Boying .Low-dimensional Cohomology of Lie Superalgebra sl（m|n） with Coefficients in Witt or Special Superalgebras[J]. Indagations Mathematicae. 2014，25（1）：59.

[11]BENKART G， GREGORY T，PREMET A. The Recognition Theorem for Graded Lie Algebras in Prime Characteristic[J]. Memoirs of American Mathematical Society， 1987，67（365）：1.

[12]BAI Wei，LIU Wende，MELIKYAN H. Maximal Subalgebras for Lie Superalgebras of Cartan Type over Fields of Characteristic of Zero[J]. Journal of Algebra，2014，404：176.

[13]LIU? Wende， WANG Qi. Maximal Subalgebras for Modular Graded Lie Superalgebras of Odd Cartan Type. Transform[J]. Groups，? 2015，20（4）： 1075.

（編輯：溫澤宇）

收稿日期： 2020-08-28

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（11471090）;黑龍江省自然科學(xué)基金（A20150017，QC2018006）.

作者簡(jiǎn)介：

張秋陽(yáng)（1993—），男，碩士研究生;

劉文德（1965—），男，教授，博士，博士研究生導(dǎo)師.

通信作者：

孫麗萍（1970—），女，博士，教授，碩士研究生導(dǎo)師，E-mail：sunliping@hrbust.edu.cn.

3852501908249