楊新松 刁鑫

摘 要：利用組合群論的方法尋找本原元的性質(zhì)，通過對(duì)不同Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的討論和對(duì)冪單矩陣性質(zhì)的分析，并利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行輔助計(jì)算，找到可以使二元生成自由群在線性表示維數(shù)是9時(shí)成為冪單群的條件。對(duì)冪單性的已有結(jié)論進(jìn)行了推廣。

關(guān)鍵詞：本原元;冪單性;自由群;線性表示

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.019

中圖分類號(hào)： O153.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2021）06-0138-11

The Unipotency of the Free Group with Linear

Representation of Dimension 9

YANG Xin-song， DIAO Xin

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080）

Abstract：By using the method of combinatorial group theory， the properties of primitives are found. By discussing different Jordan canonical forms and analyzing the properties of unipotent matrices， and by using computer software， the conditions that binary generated free groups which linear representation dimension are nine can be proved unipotent groups are found. The existing conclusions have been promoted.

Keywords：primitive element; unipotency; free groups;linear representation

0 引 言

群表示理論更是近年來代數(shù)學(xué)中發(fā)展迅速且相當(dāng)活躍的數(shù)學(xué)分支之一，可以說群論已經(jīng)發(fā)展為當(dāng)代代數(shù)學(xué)的主流研究方向。十八世紀(jì)初法國著名數(shù)學(xué)家伽羅瓦首次提出群論，并提出了群的同構(gòu)、正規(guī)子群以及置換群同構(gòu)等概念，1832年，伽羅瓦證明出一元n次代數(shù)方程可用根式求解是由伽羅瓦群的“可解性”決定的[1]，由此正式引入群論。Тавгень О И與Самсонов 利用生成元的組合性質(zhì)[2]，研究并得到了二元生成自由群為冪單群的另一等價(jià)條件（令G為數(shù)域F上的二元生成自由群，群同態(tài)是ρ：G→Cn×n，當(dāng)且僅當(dāng)ρ使得本原元的像均為冪單陣時(shí)，G為冪單群）。從此冪單群判定開始了逐步探索。冪單性及與之密切相關(guān)的冪零性質(zhì)，可解性質(zhì)的研究得到了很多好的結(jié)論，例如有限交換幺冪群格式，任意域上光滑幺冪代數(shù)群本質(zhì)維數(shù)等[3-10]。本文主要討論了二元生成9階矩陣群在本原元最高階若當(dāng)塊不高于4階時(shí)某種特定情況下（某生成元的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是diag（J4，E5））的冪單性。本文將證明這類矩陣群是冪單的。這在9階冪單矩陣群的研

究中是最新結(jié)論。此前，從若當(dāng)塊最大階數(shù)9到6都有了結(jié)論。本文的研究，對(duì)最終全部解決9階矩陣群冪單性有極大促進(jìn)作用。下面來看證明結(jié)論用的基礎(chǔ)引理。

1 引 理

作為本原元素的基本性質(zhì)，有

引理1[11] 設(shè)G是二元生成自由群。a∈G。若存在b∈G使得a，b生成G，則稱a為G的本原元，并稱a是b相關(guān)聯(lián)的本原元。如果a，b生成G，那么和a相關(guān)聯(lián)的本原元具有形式aqb±1ap。

本文將研究生成元之一的標(biāo)準(zhǔn)型為diag（J4，E5）時(shí)，9階矩陣群在本原元冪單條件下的冪單性質(zhì)。由于有一個(gè)若當(dāng)塊最高階數(shù)大于4的情況都有了相應(yīng)結(jié)論，因此，本文假設(shè)所有本原元的若當(dāng)塊最大階數(shù)都不高于4.也就是說，任取一對(duì)生成元，必然有，（A-E）4=0，（B-E）4=0。下面是在這個(gè)條件下，A，B生成的群G的一些本原元組合性質(zhì)。以下引理均在A，B生成的群G中討論，并且該群的所有本原元素冪單。

引理2[12] 若A，B生成的群中所有本原元素均冪單，則有trHB=0，trAT=0。

引理3[12] 若A，B生成的群中所有本原元素均冪單，有

tr（TA）i=0，i=1，2，…，8，

tr（TiA）=0，i=1，2，…，8

引理4[12] 若A，B生成的群中所有本原元素均冪單，則有

trHmBHn=0，

trTmATn=0，

trAkTAm=0。

引理5[12] 若i+j>k時(shí)tr（TiATjA）=0，則

i+j=ktr（TiATjA）i！j！=0，

i+j=ki≥1，j≥1tr（TiATjA）（i-1）?。╦-1）！=0。

引理6[12] 若m<i+j+k時(shí)總有

tr（TiATjATkA）=0，則有

i+j+k=mtr（TiATjATkA）i！j！k！=0，

i+j+k=mi≥1，j≥1，k≥1tr（TiATjBTkA）（i-1）?。╦-1）！（k-1）！=0，

i+j+k=mi≥1，j≥1tr（TiATjATkA）（i-1）?。╦-1）！k！=0，

i≥1tr（TiATjATkA）（i-1）！j！k！=0。

引理7[13] 若 m<i+j+k+l時(shí)tr（TiATjATkATlA）=0， 則有

i+j+k+l=mtr（TiATjATkATlA）i！j！k！l！=0，

i+j+k+l=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！（j-1）?。╧-1）！（l-1）！=0，

i+j+k+l=mi≥1，j≥1，k≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！（j-1）?。╧-1）！l！=0，

i+j+k+l=mi≥1，j≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！（j-1）！k！l！=0，

i+j+k+l=mi≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！j！k！l！=0。

引理8[13] 若m<i+j+k+l+p時(shí)必有tr（TiATjATkATlATpA）=0，則有

i+j+k+l+p=mtr（TiATjATkATlATpA）i！j！k！l！p！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！（j-1）?。╧-1）?。╨-1）！（p-1）！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）?。╦-1）?。╧-1）?。╨-1）！p！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！（j-1）?。╧-1）！l！p！=0 ，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）?。╦-1）！k！l！p！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！j！k！l！p！=0。

引理9[13] 若m<i+j+k+l+p+q時(shí)tr（TiATjATkATlATpATqA）=0，則有

i+j+k+l+p+q=mtr（TiATjATkATlATpATqA）i！j！k！l！p！q！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）！（j-1）?。╧-1）！（l-1）?。╬-1）?。╭-1）！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）?。╦-1）?。╧-1）?。╨-1）?。╬-1）！q！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）?。╦-1）！（k-1）?。╨-1）！p！q！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）?。╦-1）！（k-1）！l！p！q！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）?。╦-1）！k！l！p！q！=0，

i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）j！k！l！p！q！=0。

引理10[14] 若存在可逆矩陣P使得

P-1AP=A1*0A2，P-1BP=B1*0B2，

則該群冪單。

引理11 T3FT+T2FT2+TFT3=0，

T3FT2+T2FT3=0，

T3FT3=0。

證明：根據(jù)引理1，anB為本原元，其中n∈Z，由假設(shè)條件知（AnB-E）4=0，故（T+nFB+n22F2B+n36F3B）4=0，展開后記作12i=0Wini=0，取13個(gè)不同的冪指數(shù)n，得到方程組。根據(jù)范德蒙行列式及方程組理論知，Wi=0，i=0，1，…，12。其中W1=0得

T3F+T2FT+TFT2+FT3=0

等式兩端左乘或右乘T的冪得到：

T3FT+T2FT2+TFT3=0，

T3FT2+T2FT3=0，

T3FT3=0。

這些引理使得可以借助計(jì)算軟件輔助證明。思路是，只要搜索發(fā)現(xiàn)滿足引理5-9條件，那么就可以根據(jù)這些引理確定一組可用方程。下面再次用到這個(gè)思路時(shí)，只說搜索確定方程，或者尋找確定方程，有時(shí)不贅述是哪個(gè)引理，因?yàn)楦鶕?jù)跡的方程形式可以直接看出用的那個(gè)引理。另外，下面將用Y[i，j]表示矩陣Y第i行第j列位置的元素。

2 主要結(jié)果及證明

我們要證明的是矩陣B=diag（J4，E5）和矩陣A生成的本原元素冪單的矩陣群的冪單性。根據(jù)引理10，只需要證明矩陣A和矩陣B能同時(shí)化為準(zhǔn)上（下）三角矩陣。

在此之前，不妨設(shè)矩陣A為x11…x14

x41…x44A12

A21A22，由于，B=E+T，A=E+H，于是T=01…0

00…0。

定理1 若有二元生成9階矩陣群，其中某個(gè)生成元為diag（J4，E5）時(shí)，那么當(dāng)本原元素均冪單時(shí)，這個(gè)矩陣群是冪單的。

證明：如上一部分所說，不妨假設(shè)所有本原元的若當(dāng)塊階數(shù)不超過4。根據(jù)引理3得到tr（T3AT3A）=0，解得x241=0，即x41=0，根據(jù)引理5得到2tr（T3ATA）1！3！+tr（T2AT2A）2！2！=0

tr（T3ATA）3！1！+tr（T2AT2A）2！2！=0，解得x31=0，x42=0。繼續(xù)計(jì)算得到一個(gè)方程組tr（TA）=0tr（（TA）2）=0tr（（TA）3）=0tr（（TA）4）=0，解得x21=0，x43=0，x32=0。

此時(shí)矩陣A=x11…x14

0…x44A12

A21A22。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，矩陣

P1=

abcdefgwh

0abc00000

00ab00000

000a00000

000c3c4b1b2b3b4

000c5b5s1s3s4s5

000c6b6s6s2s8s17

000c7b7s9s10s11s12

000c8b8s13s14s15s16

滿足P1B=BP1。由于矩陣相似是矩陣群的同構(gòu)，所以，A，B生成的群G與M1=P-11AP1，N1=P-11BP1生成的群同構(gòu)。再因?yàn)镹1=P-11BP1=B，所以可以把M1=P-11AP1看做是矩陣A。 此時(shí)，相似變換可以把矩陣A的左下角化成行最簡型，又因?yàn)檫@個(gè)矩陣只有四列，所以左下角最簡形有5種，即：

Ⅰ.R（A21）=0，

Ⅱ.R（R21）=1，

Ⅲ.R（R21）=2，

Ⅳ.R（R21）=3，

Ⅴ.R（a21）=4。

第一種情況計(jì)算直接結(jié)束，此時(shí)矩陣

A=

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x24x25x26x27x28x29

00x33x34x35x36x37x38x39

000x44x45x46x47x48x49

0000x55x56x57x58x59

0000x65x66x67x68x69

0000x75x76x77x78x79

0000x85x86x87x88x89

0000x95x96x97x98x99

（實(shí)際上是M1）和矩陣B同時(shí)是準(zhǔn)上三角矩陣（同時(shí)出現(xiàn)左上角三乘三矩陣）。

下面來討論第二種情況。

A=

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x24x25x26x27x28x29

00x33x34x35x36x37x38x39

000x44x45x46x47x48x49

1000x55x56x57x58x59

0000x65x66x67x68x69

0000x75x76x77x78x79

0000x85x86x87x88x89

0000x95x96x97x98x99

利用Maple軟件根據(jù)引理5搜索確定可用方程：tr（T·T·T·A·A）=0，解得x45=0。繼續(xù)尋找時(shí)得到方程組tr（T·T·A·A）=0tr（TA）=0，解得x35=0，x25=0。再根據(jù)引理6得到方程組tr（T·A·A·）=0tr（T·T·A·A·A）=0，也就是

x26x65+x27x75+x28x85+x29x95=0

x36x65+x37x75+x38x85+x39x95=0。

此時(shí)取矩陣

P1=

a000efgwh

0a0000000

00a000000

000a00000

0000ab1b2b3b4

00000s1s3s4s5

000000s2s8s17

0000000s11s12

00000000s16

因?yàn)镻1B-BP1=0，有M1=P-11AP1，與B生成的矩陣群和A，B生成的矩陣群是同構(gòu)的（下面再用到此方法時(shí)，不再贅述，直接把M1等同A）此時(shí)"根據(jù)M1的第五列，可以分成5種情況： 95位，85位，75位，65位的取值分成5種情況，分別是

Ⅱ-1（0000），

Ⅱ-2（1000），

Ⅱ-3（0100），

Ⅱ-4（0010），

Ⅱ-5（0001）。

Ⅱ-1：當(dāng)95位，85位，75位，65位為（0000）時(shí)，A，B同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣（左上角是五乘五矩陣塊），根據(jù)引理8，證明結(jié)束。

Ⅱ-2：當(dāng)95位，85位，75位，65位為（1000）時(shí)，尋找i+j+k<4時(shí)，得到方程組

tr（T·A·A·）=0

tr（T·T·A·A·A）=0，解得x29x95=0， 注意到x95=1即得到x29=0。

再次引入線性變換P1， 根據(jù)矩陣G的性質(zhì)得到89位，79位，69位有4種可能：

Ⅱ-2-1 3個(gè)位置是（000），

Ⅱ-2-2 3個(gè)位置是（100），

Ⅱ-2-3 3個(gè)位置是（010），

Ⅱ-2-4 3個(gè)位置是（001）。

Ⅱ-2-1：3個(gè)位置是（000）時(shí)，矩陣A，B在第六，七，八行、列出現(xiàn)了三乘三矩陣，所以可以同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣。證明結(jié)束。

Ⅱ-2-2：3個(gè)位置是（100）時(shí)，根據(jù)引理6和引理7得到方程組

tr（T·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A）=0

tr（T·A·A·A·A）=0

tr（T·T·T·A·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A·A）=0

解得x28=0，x38=0，x48=0。

繼續(xù)引入線性變換P1，同樣對(duì)于矩陣B有P1B-BP1=0，那么有G1=P-11AP1，此時(shí)根據(jù)G1的第8列，68位和78位可以分成3種情況：

Ⅱ-2-2-1全是0，

Ⅱ-2-2-2是0，1，

Ⅱ-2-2-3是1，0。

Ⅱ-2-2-1： 68位和78位全是0時(shí)，由于前面交代過利用群同構(gòu)，矩陣A等同于G1，所以認(rèn)為矩陣A此時(shí)68位和78位也是0，此時(shí)矩陣A，B在第六，七行、列出現(xiàn)了二乘二矩陣，所以可以同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣。證明結(jié)束。

Ⅱ-2-2-2：68位和78位是0，1時(shí)，矩陣A為

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x2700

00x33x340x36x3700

000x440x46x4700

1000x55x56x57x58x59

00000x66x6700

00000x76x77x780

00000x86x87x88x89

0000x95x96x97x98x99

根據(jù)引理8搜索得到方程組

tr（T·T·T·A·A·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A·A·A）=0

tr（T·A·A·A·A·A）=0

解得x47x78x89x95=0

x37x78x89x95=0

x27x78x89x95=0。

根據(jù)連續(xù)的分類討論發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在只需討論x78x89x95≠0。（它們之一等于0就會(huì)出現(xiàn)前面討論的同時(shí)把矩陣A，B相似于準(zhǔn)上三角型的情況。就可以結(jié)束證明。）那么可以解得x47=x37=x27=0。此時(shí)根據(jù)引理9搜索得到

tr（T·T·T·A·A·A·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A·A·A·A）=0

tr（T·A·A·A·A·A·A）=0

解得x26x67x78x89x95=0，x36x67x78x89x95=0，x46x67x78x89x95=0。由于x78x89x95≠0，所以解得x26=x36=x46=0 或x67=0。如果是x26=x36=x46=0，那么兩個(gè)矩陣的第二，三，四行列出現(xiàn)三乘三矩陣，可以同時(shí)化成準(zhǔn)上三角矩陣。如果是x67=0，那么在六六位同時(shí)出現(xiàn)一個(gè)一階方陣，兩個(gè)矩陣可以同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣。無論哪種情況證明都結(jié)束。

Ⅱ-2-2-3：68位和78位是1，0這種情況。此時(shí)矩陣A為

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x2700

00x33x340x36x3700

000x440x46x4700

1000x55x56x57x58x59

00000x66x67x680

00000x76x7700

00000x86x87x88x89

0000x95x96x97x98x99

搜索確定方程組

tr（T·T·T·A·A·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A·A·A）=0

tr（T·A·A·A·A·A）=0

解得x46x68x89x95=0

x36x68x89x95=0

x26x68x89x95=0。根據(jù)分類發(fā)現(xiàn)，此時(shí)僅需討論x68x89x95≠0的情況。所以解得x46=x36=x26=0。接下來搜索得到方程組

tr（T·T·T·A·A·A·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A·A·A·A）=0

tr（T·A·A·A·A·A·A）=0

解得x27x76x68x89x95=0，x37x76x68x89x95=0，x47x76x68x89x95=0。根據(jù)x68x89x95≠0，解得x27=x37=x47=0或x76=0。與前面一樣，無論哪種情況證明都可以結(jié)束。

至此完成了Ⅱ-2-2，下面是Ⅱ-2-3。

Ⅱ-2-3：89位，79位，69位是（010）。此時(shí)矩陣A為

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x27x280

00x33x340x36x37x380

000x440x46x47x480

1000x55x56x57x58x59

00000x66x67x680

00000x76x77x78x79

00000x86x87x880

0000x95x96x97x98x99

搜索方程組并求解得到x47x79x95=0

x37x79x95=0

x27x79x95=0?；诜诸惪紤]，此時(shí)x79x95≠0，所以解得x47=x37=x27=0。

接著引入矩陣

P1=

a000efgwh

0a0000000

00a000000

000a00000

0000ab1b2b3b4

00000s10s40

000000s2s50

0000000s110

00000000s16

根據(jù)相似變換后的的第8列，可以分成3種情況： 67位，87位分別

Ⅱ-2-3-1全是0，

Ⅱ-2-3-2是0，1，

Ⅱ-2-3-3是1，0。

Ⅱ-2-3-1：67位，87位全是0，那么在第六，八行列出現(xiàn)二階方陣，證明結(jié)束。

Ⅱ-2-3-2：67位，87位是0，1時(shí)的情況。此時(shí)矩陣A為

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x27x280

00x33x340x36x37x380

000x440x46x47x480

1000x55x56x57x58x59

00000x660x680

00000x76x77x78x79

00000x86x87x880

0000x95x96x97x98x99

搜索得到方程組

tr（T·T·T·A·A·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A·A·A）=0

tr（T·A·A·A·A·A）=0

解得x48x79x87x95=0

x38x79x87x95=0

x28x79x87x95=0。根據(jù)分類目前僅需考其中x79x87x95≠0，所以解得x48=x38=x28=0。繼續(xù)尋找得到方程組

tr（T·T·T·A·A·A·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A·A·A·A）=0

tr（T·A·A·A·A·A·A）=0

解得x26x79x68x87x95=0，x36x79x68x87x95=0，x46x79x68x87x95=0。由于x79x87x95≠0所以解得x26=x36=x46=0或x68=0。如前面討論一樣發(fā)現(xiàn)，無論哪種情況運(yùn)算都結(jié)束。

Ⅱ-2-3-3：67位，87位是1，0的情況證明方法與Ⅱ-2-3-2完全相同這里不再贅述，最終可以得到希望的結(jié)果。

至此Ⅱ-2-3全部結(jié)束。

由于Ⅱ-2-4和Ⅱ-2-3研究方式完全相同，僅僅是換了個(gè)列而已。所以這里不再贅述。到這里，Ⅱ-2的所有情況全部結(jié)束。

Ⅱ-3： 95位，85位，75位，65位是（0100）的情況。此時(shí)矩陣A為

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x27x28x29

00x33x340x36x37x38x39

000x440x46x47x48x49

1000x55x56x57x58x59

00000x66x67x68x69

00000x76x77x78x79

0000x85x86x87x88x89

00000x96x97x98x99

根據(jù)引理6搜索得到方程組

tr（T·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A）=0

tr（T·T·T·A·A·A）=0

解得x28=x38=x48=0。此時(shí)引入矩陣

M=

100000000

010000000

001000000

000100000

000010000

000001000

000000100

000000001

000000010

由MB-BM=0所以只需要考慮B=MBM-1和矩陣MAM-1生成矩陣群的情況，此時(shí)矩陣MAM-1此時(shí)為

x11x12x13x14x15x16x17x19x18

0x22x23x240x26x27x290

00x33x340x36x37x390

000x440x46x47x490

1000x55x56x57x59x58

00000x66x67x69x68

00000x76x77x79x78

00000x96x97x99x98

0000x85x86x87x89x88

可以看出矩陣MAM-1此時(shí)的結(jié)構(gòu)與Ⅱ-2結(jié)構(gòu)完全相同。所以Ⅱ-3證明結(jié)束。

Ⅱ-4：95位，85位，75位，65位是（0010）。根據(jù)引理6搜索得到

tr（T·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A）=0

tr（T·T·T·A·A·A）=0

解得x27=x37=x47=0。此時(shí)只要同時(shí)交換第七行和第九行做相似變換，那么矩陣B不變，而矩陣A化作

x11x12x13x14x15x16x18x19x19

0x22x23x240x26x28x290

00x33x340x36x38x390

000x440x46x48x490

1000x55x56x58x59x57

00000x66x68x69x67

00000x86x88x89x87

00000x96x98x99x97

0000x75x76x78x79x77

再次化成了Ⅱ-2的情況，證明結(jié)束。

Ⅱ-5的證明過程和上述過程相同， 只是交換的行變成了第六第九行而已。當(dāng)然，因?yàn)樾械淖儞Q前面搜索解方程的結(jié)果略有差異，這里不再贅述。

到這里，Ⅱ.R（R21）=1的所有情況全部證明結(jié)束。接下來討論Ⅲ.R（R21）=2的情況。

Ⅲ.R（R21）=2。此時(shí)矩陣A=

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x24x25x26x27x28x29

00x33x34x35x36x37x38x39

000x44x45x46x47x48x49

1x52x53x54x55x56x57x58x59

01x63x64x65x66x67x68x69

0000x75x76x77x78x79

0000x85x86x87x88x89

0000x95x96x97x98x99

根據(jù)引理5，引理6，引理7搜索得到方程組

tr（T·T·T·A·A）=0

tr（T·T·A·A）=0

tr（T·T·T·A·A·A）=0

2tr（T·T·A·A·T·T·A·A）2！2！+

4tr（T·A·A·T·T·T·A·A）3！1！=0

解得x45=0，x46=0，x35=0。繼續(xù)尋找得到

tr（T·A·A）=0tr（T·A·A·T·A·A）=0，解得x25=0，x36=0。取和矩陣B相乘可交換的矩陣

P1=

a000efgwh

0a0000000

00a000000

000a00000

0000ab1b2b3b4

00000as3s4s5

000000s2s8s17

0000000s11s12

00000000s16

把A相似變換后的結(jié)果仍視作A。根據(jù)變換后的第5列，可以分成四種情況： 95位，85位，75位是

Ⅲ-1 95位，85位，75位是（000），

Ⅲ-2 95位，85位，75位是（100），

Ⅲ-3 95位，85位，75位是（010），

Ⅲ-4 95位，85位，75位是（001）。

Ⅲ-1：? 95位，85位，75位是（000）的情況。根據(jù)引理6有tr（T·T·A·A·A）=0，即x47x76+x48x86+x49x96=0。取與矩陣B相乘可交換的矩陣

P1=

a000efgwh

0a0000000

00a000000

000a00000

0000ab1b2b3b4

00000as3s40

000000s2s80

0000000s11s12

00000000s16

根據(jù)相似變換后矩陣A的第5列，可以分成四種情況： 76位，86位，96位是

Ⅲ-1-176位，86位，96位是（000），

Ⅲ-1-2 76位，86位，96位是（100），

Ⅲ-1-3 76位，86位，96位是（010），

Ⅲ-1-4 76位，86位，96位是（001）。

Ⅲ-1-1：76位，86位，96位是（000）時(shí)，左下角三階方陣，右上角六階方陣，兩個(gè)矩陣同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣，證明結(jié)束。

Ⅲ-1-2：76位，86位，96位是（100）。此時(shí)矩陣

A=

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x27x28x29

00x33x3400x37x38x39

000x4400x47x48x49

1x52x53x54x55x56x57x58x59

01x63x64x65x66x67x68x69

00000x76x77x78x79

000000x87x88x89

000000x97x98x99

由引理6尋找方程組。考慮到此時(shí)解得除公共解x47=0之外還有3種情況：

Ⅲ-1-2-1x65=x37=0，

Ⅲ-1-2-2x26=x37=0。

Ⅲ-1-2-1： x65=x37=0。只要把矩陣第五行挪到底二行，做相似變換，兩矩陣同時(shí)化成準(zhǔn)上三角矩陣，左上角是二階方陣。證明結(jié)束。

Ⅲ-1-2-2： x26=x37=0。根據(jù)引理6，引理7，尋找到一個(gè)可用方程x48x87+x49x97=0。做相似p1，得到兩種情況：

Ⅲ-1-2-2-?。簒87=x49=0，

Ⅲ-1-2-2-ⅱ：x97=x48=0。

Ⅲ-1-2-2-?。簒87=x49=0。根據(jù)引理6得到tr（T·A4·T·A4）=0tr（T·A4）=0，解得x27=0。再根據(jù)引理7得到x48x76x89x97=0。由于此時(shí)當(dāng)x48，x89，x97，x76任一等于0時(shí)，都能使兩矩陣同時(shí)準(zhǔn)對(duì)角化，所以證明結(jié)束。

Ⅲ-1-2-2-ⅱ：x97=x48=0。尋找i+j+k+i1<2，i+j+k+i1+J1<3時(shí)的方程，解得x27=x38=0，x49x76x87x98=0，當(dāng)x49，x87，x98，x76任一等于0時(shí)， 都可以使證明結(jié)束。所以Ⅲ-1-2-2全部討論結(jié)束，而這也導(dǎo)致Ⅲ-1-2得到了完全證明。

Ⅲ-1-3：76位，86位，96位是（010）。取

M=

100000000

010000000

001000000

000100000

000010000

000001000

000000010

000000101

000000001

B=MBM-1，而MAM-1為

x11x12x13x14x15x16x18x17x19

0x22x23x240x26x28x27x29

00x33x3400x38x37x39

000x4400x48x47x49

1x52x53x54x55x56x58x57x59

01x63x64x65x66x68x67x69

00000x86x88x87x89

000000x78x77x79

000000x98x97x99

可以看出矩陣MAM-1此時(shí)的結(jié)構(gòu)與Ⅲ-1-2中A的結(jié)構(gòu)完全相同，所以Ⅲ-1-3證明結(jié)束。

Ⅲ-1-4 也是一樣，只不過這次是用把第九行串到底七行的相似變換。這里就不贅述了。

到這里Ⅲ-1全部完成。

Ⅲ-2：95位，85位，75位為（100）。

此時(shí)矩陣

A=

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x27x28x29

00x33x3400x37x38x39

000x4400x47x48x49

1x52x53x54x55x56x57x58x59

01x63x64x65x66x67x68x69

00000x76x77x78x79

00000x86x87x88x89

0000x95x96x97x98x99

根據(jù)引理6，引理7，引理9得到方程

tr（T·T·T·A·A·A）=0

tr（T·T·A·A·A）=0

tr（T·T·T·A·A·A·A）=0

2tr（A·A·T·T·A·A·A·T·T·A）2！2！+

6tr（A·A·T·A·A·T·T·T·A）3！1！=0

又由F=A-E-（A-E）22+（A-E）36，Y=T3F+T2FT+TFT2+FT3。根據(jù)引理11知Y=0。于是，它的第三行第四列，第九行第四列都是0，即得到Y(jié)[3，4]=0，Y[9，4]=0。這兩個(gè)位置都是矩陣A中元素的方程，解方程解得x49=0，x95=0或x39=0。當(dāng)x95=0就是Ⅲ-1的情況，證明結(jié)束。所以下面討論x39=0時(shí)的情況

滿足x39=0的解有三組，期中有兩組已經(jīng)滿足x76=x79=0，不滿足這個(gè)條件的解滿足-x65x76/x95=x79，-x65x86/x95=x89。根據(jù)Y[4，4]=0得x47x76+x48x86=0。結(jié)合剛剛的兩個(gè)等式可知x47x79+x48x89=0。由于當(dāng)x47=x48=0，時(shí)，矩陣矩陣A，B第四行，第四列出現(xiàn)一階矩陣，兩個(gè)矩陣可以同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣。如果x47，x48不同時(shí)為零，那么可以用他們組成可逆矩陣

P1=

a000efgwh

0a0000000

00a000000

000a00000

0000ab1b2b3b4

00000as3s40

000000s2-x480

000000ux470

000000vps16

相似變換后矩陣B保持不變，但是矩陣A的（7，6）位，（7，9）位已經(jīng)化作0。所以可以認(rèn)為必有

x76=x79=0，此時(shí)矩陣

A=

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x27x28x29

00x33x3400x37x380

000x4400x4700

1x52x53x54x55x56x57x58x59

01x63x64x65x66x67x68x69

000000x77x780

00000x86x87x88x89

0000x95x96x97x98x99

此尋找矩陣跡的方程得到tr（T3a4）=0，tr（T2a3）=0。解得x89=x86=0或者x48=0

若x89=x86=0，則兩個(gè)生成矩陣第七行，第八行出現(xiàn)同型矩陣，兩矩陣可以同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣，證明結(jié)束。

再來看x48=0的情況，尋找矩陣跡的方程，有tr（T·A·A·A）=0，又F=A-E-（A-E）22+（A-E）36，Y=T3F+T2FT+TFT2+FT3，由引理11得Y[1，6]=0，Y[8，4]=0，解這些方程組得四組解：x47=0或x78=0或x89=x86=0或x86=x95=0，上述4種解任意一種都使得兩個(gè)生成矩陣可以同時(shí)相似于準(zhǔn)上三角矩陣，所以證明結(jié)束。

至此，Ⅲ-2全部結(jié)束。

Ⅲ-3： 95位，85位，75位為（010）。此時(shí)矩陣

A=

x11x12x13x14x15x16x17x18x19

0x22x23x240x26x27x28x29

00x33x3400x37x38x39

000x4400x47x48x49

1x52x53x54x55x56x57x58x59

01x63x64x65x66x67x68x69

00000x76x77x78x79

0000x85x86x87x88x89

00000x96x97x98x99

然后引入線性變換

M=

100000000

010000000

001000000

000100000

000010000

000001000

000000100

000000001

000000010

由MA-AM=0，得A=MAM-1，所以此時(shí)矩陣A可以表示為

x11x12x13x14x15x16x17x19x18

0x22x23x240x26x27x290

00x33x3400x37x390

000x4400x47x490

1000x55x56x57x59x58

00000x66x67x69x68

00000x76x77x79x78

00000x96x97x99x98

0000x85x86x87x89x88

可以看出矩陣A此時(shí)的結(jié)構(gòu)就是Ⅲ-2結(jié)構(gòu)，即證明過程是一樣的，Ⅲ-3證明結(jié)束。

Ⅲ-4情況的證明過程和上述過程相同，這里不再贅述。

這樣，Ⅲ.R（R21）=2的所有情況全部證明結(jié)束。

情況Ⅳ，情況Ⅴ的討論方法和上面相同，只是由于過程更加負(fù)責(zé)，因此只用上述方程尋找手段不足了。于是，需要利用本原元素性質(zhì)構(gòu)造必然是0的矩陣X=（A-E）4然后找到它的表達(dá)式簡單的位置，這樣就增加了可用方程，完成了類似討論。過程類似，就不在贅述。

定理證明結(jié)束。

例 矩陣A=

110000000

011000000

001100000

000100000

000010000

000001000

000000100

000000010

000000001

與B=

100000000

110000000

001000000

000100000

000010000

000001000

000000100

000000010

000000001雖然是滿足定理?xiàng)l件的冪單矩陣，但是它們生成的矩陣群不是冪單的，因?yàn)锽A的跡不是9，所以BA不冪單。

可見，定理中本原元素冪單還是必要的。

3 結(jié) 語

本文就二元生成9階矩陣群在本原元最高階若當(dāng)塊不高于4階時(shí)的冪單性進(jìn)行了研究，且只對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型為diag（J4，E5）進(jìn)行討論證明，在研究期間，學(xué)習(xí)并總結(jié)了一些文獻(xiàn)的研究思路，Yu Wang，F(xiàn). J. Plaza Martín，Dong Liu，以及Yufeng Pei等對(duì)李代數(shù)，上三角形矩陣的若當(dāng)塊以及一變量微分算子的李子代數(shù)進(jìn)行了深入研究，極大地推動(dòng)了李代數(shù)的發(fā)展[16-18]，此外，Jinfang. Huang， B，Hu， A. N. Skiba關(guān)于一類可解群冪映射的滿射性進(jìn)行了深入研究，證明了滿群G的每個(gè)完備Hall集構(gòu)成G的一個(gè)廣義可解基[19]，這使得有限廣義可解群的研究得到了更廣闊的發(fā)展。同年D.N.Azarov和N.S.Romanovskii首次提出關(guān)于有限秩群的有限同態(tài)象問題，推導(dǎo)并證明出有限秩的每個(gè)可解群包含一個(gè)有限指數(shù)子群，該子群的每個(gè)有限同態(tài)像是冪零的這一重要結(jié)論[20]。此外，Wei Meng深刻的研究了具有少數(shù)非循環(huán)子群的有限可解群，并證明出有限可解群具有少數(shù)非循環(huán)子群這一結(jié)論是成立的[21]，發(fā)表了有限群中可解子群存在性的判據(jù)，并對(duì)這一判據(jù)進(jìn)行全面且清晰的闡述。因此，接下來將繼續(xù)研究標(biāo)準(zhǔn)型分別為diag（J4，J4，E），diag（J4，J3，E2），diag（J4，J2，E3），diag（J4，J3，J2），diag（J4，J2，J2，E）這幾種情況，相信不久就會(huì)有新的研究突破。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] 馮曉華. 伽羅瓦及其理論傳播史[D]. 西安：西北大學(xué)， 2006.

[2] Тавгень.ОИ， Самсонов Ю Б. Унипотентность Образа Представления F2（x，y） Матрицами из GL（n，C）， n=2，3，4 При Условии Отображения Образующих и Примитивных Элементов в Унипотентные Матрицы[J].Докл. НАН Беларуси， 2001， 45（6）： 29.

[3] BAYAN Bekbolat， AIDYN Kassymov， NIYAZ Tokmagambetov. Blow-up of Solutions of Nonlinear Heat Equation with Hypoelliptic Operators on Graded Lie Groups[J]. Complex Analysis and Operator Theory， 2019， 13（7）：3347.

[4] IULIAN I. Simion. Double Centralizers of Unipotent Elements in Simple Algebraic Groups of Type E7 and E8[J]. Journal of Pure and Applied Algebra， 2015， 219（4）：930.

[5] SUPRUNENKO， I. D . Unipotent Elements of Nonprime Order in Representations of the Classical Algebraic Groups： Two Big Jordan Blocks[J]. Journal of Mathematical Sciences， 2014， 199（3）：350.

[6] KHUKHRO E I， SHUMYATSKY P. Length-type Parameters of Finite Groups with Almost Unipotent Automorphisms[J]. Doklady Mathematics， 2017， 95（1）：43.

[7] NESTEROV V V. On the Normalizer of a Unipotent Root Subgroup in a Chevalley Group[J]. Journal of Mathematical Sciences， 2018， 232（5）：717.

[8] DAJANO Tossici. Essential Dimension of Inifinitesimal Commutative Unipotent Group Schemes[J]. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana，? 2019， 12（4）：575.

[9] NGUY， Duy， Tn. On the Essential Dimension of Unipotent Algebraic Groups[J]. Journal of Pure and Applied Algebra， 2013， 217（3）：432.

[10]OSINOVSKAYA A A . Regular Unipotent Elements from Subsystem Subgroups of TypeA2in Representations of the Special Linear Groups[J]. Journal of Mathematical Sciences， 2016， 219（3）：473.

[11]KRAMMER D. Braid Groups are Linear[J]. Annals of Mathematics， 2002（155）： 131.

[12]楊新松，劉歡. 二元生成自由群的冪單性質(zhì)[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2014，19（6）： 98.

YANG Xinsong， LIU Huan. The Unipotency of Free Group of Rank Two[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2014，19（6）： 98.

[13]楊新松，馬暢.本原元只含不高于六階若當(dāng)塊矩陣群的冪單性[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2019， 24（1）：124.

YANG Xinsong， MA Chang. The Unipotency of Linear Groups Generated by Matrices with Primitive Elements Contain no more than Six Jorden Blocks[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2019， 24（1）：124.

[14]譚朋順. 本原元冪單的二元生成自由群的冪單性[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)， 2013.

[15]楊新松，王那英.標(biāo)準(zhǔn)型不高于五階若當(dāng)塊矩陣群的冪單性[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2016， 21（2）： 112.

YANG Xinsong， WANG Naying. The Unipotency of Linear Groups Generated by Matrices with Jordan Normal Blocks of Size at Most Five[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology，? 2016， 21（2）： 112.

[16]WANG Yu. Lie （Jordan） Derivations of Arbitrary Triangular Algebras[J]. Aequationes Mathematicae， 2019， 93（6）：1221.

[17]MARTN F. J. Plaza， PRIETO C. Tejero. Lie Subalgebras of Differential Operators in One Variable[J]. Mediterranean Journal of Mathematics， 2019， 16（6）：1.

[18]LIU Dong， PEI Yufeng. Deformations on the Twisted Heisenberg-Virasoro Algebra[J]. Chinese Annals of Mathematics，Series B， 2019， 40（1）：111.

[19]HUANG J， HU B， SKIBA A N. Finite Generalized Soluble Groups[J]. Algebra and Logic， 2019， 58（2）： 173.

[20]AZAROV D N， ROMANOVSKII N S. Finite Homomorphic Images of Groups of Finite Rank[J]. Siberian Mathematical Journal， 2019， 60（3）： 373.

[21]MENG Wei . Finite Solvable Groups with Few Non-cyclic Subgroups[J]. Bulletin of the Iranian Mathematical Society， 2019， 45（4）： 1221.

（編輯：溫澤宇）

收稿日期： 2020-09-10

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（11871181）.

作者簡介：

刁 鑫（1996—），女，碩士.

通信作者：

楊新松（1972—），男，博士，教授，碩士研究生導(dǎo)師，E-mail ：yangxinsong2005@163.com.

3202501908299