帶交換和跳躍的一維雙向自驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的仿真研究

費(fèi)大智，郝慶一

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

自驅(qū)動(dòng)粒子系統(tǒng)是研究非平衡態(tài)系統(tǒng)的一類簡(jiǎn)單而又富有代表性的模型。這類模型的常用形式就是非對(duì)稱排他過(guò)程（Asymmetric Simple Exclusion Processes,ASEP），ASEP模型最早由兩位以色列數(shù)理生物學(xué)家麥克唐納和吉布斯于1968年提出，并用于模擬生物高聚合動(dòng)力學(xué)[1]；之后被很多學(xué)者進(jìn)行了擴(kuò)展和延伸，應(yīng)用于蛋白質(zhì)合成、分子馬達(dá)、行人、車輛交通等運(yùn)輸系統(tǒng)的研究中[2-4]。

本文考慮一維ASEP模型，在這個(gè)自驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，有兩種粒子，一種粒子向右移動(dòng)，另一種粒子向左移動(dòng)，兩種粒子相遇時(shí)，可以換位，而且后面的粒子可以跳過(guò)前方粒子。這種換位行為在行人流中經(jīng)常遇到，跳躍行為在行人和車輛交通中也可理解為繞行超越或換道超車。在分子馬達(dá)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中有學(xué)者發(fā)現(xiàn)有的分子馬達(dá)在遇到障礙物時(shí)，也會(huì)發(fā)生類似的跳躍行為以越過(guò)障礙物。

1 模型

在總長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維格鏈上，隨機(jī)分布著密度分別為ρ1和ρ2的右向行駛粒子和左向行駛粒子。在第一個(gè)子時(shí)間步，隨機(jī)選擇一個(gè)格點(diǎn)i（1≤i≤L），按照下列規(guī)則更新位置（規(guī)則示意圖如圖1所示）：

（Ⅰ）若i格點(diǎn)為空，則該格點(diǎn)保持不動(dòng)。

（Ⅱ）若i格點(diǎn)被右行粒子占據(jù)，則按下列規(guī)則更新：

①i+1格點(diǎn)為空，粒子跳入i+1格點(diǎn)；

②i+1格點(diǎn)被左行粒子占據(jù)，左行粒子和右行粒子以概率k交換；

③i+1格點(diǎn)被粒子占據(jù)，i+2格點(diǎn)為空，且i格點(diǎn)粒子未與i+1格點(diǎn)粒子發(fā)生交換，粒子以概率r1跳至i+2格點(diǎn)。

（III）若i格點(diǎn)被左行粒子占據(jù)，按下列規(guī)則更新：

①i-1格點(diǎn)為空，粒子跳入i-1格點(diǎn)；

②若i-1格點(diǎn)被右行粒子占據(jù)，則左行粒子和右行粒子以概率k交換；

③若i-1格點(diǎn)被粒子占據(jù)，i-2格點(diǎn)為空，且i格點(diǎn)粒子未與i-1格點(diǎn)粒子發(fā)生交換，粒子以概率r2跳至i-2格點(diǎn)。

（IV）每個(gè)子時(shí)間步隨機(jī)選取一個(gè)格點(diǎn)按以上規(guī)則更新，L個(gè)子時(shí)間步更新合成為一個(gè)完整的時(shí)間步更新，系統(tǒng)采用周期性邊界。

圖1 模型更新規(guī)則示意圖

2 模擬與分析

這里分別給出改變左右粒子密度比、跳躍概率、交換概率的計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果。在模擬中，取L=200，時(shí)間步T取20 000～100 000。為了便于分析研究，在本模型中左右雙向運(yùn)動(dòng)的粒子跳躍概率和交換概率都相同。

2.1 不同密度比

圖2為跳躍概率r=0.9，交換概率k=0.5，左右粒子密度比例ρ1：ρ2分別為1∶9、2∶8、3∶7、4∶6、5∶5下的系統(tǒng)密度-流率圖?？梢钥闯鲎笥伊Ｗ訑?shù)量越接近，如ρ1∶ρ2為3∶7、4∶6、5∶5時(shí)，系統(tǒng)流率就越大。這是因?yàn)閮煞N粒子的數(shù)量相對(duì)接近時(shí)，粒子之間發(fā)生交換和跳躍的幾率變大，從而導(dǎo)致系統(tǒng)流率增大。左右粒子數(shù)量差距較大時(shí)，如ρ1∶ρ2為1∶9、2∶8，隨著系統(tǒng)粒子密度的增大，系統(tǒng)流率在高密度處反而降低。此時(shí)由于粒子數(shù)量差距較大，系統(tǒng)密度增大，系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)數(shù)量大的同向粒子彼此相連，此時(shí)跳躍規(guī)則和交換規(guī)則對(duì)系統(tǒng)流率的影響較小，系統(tǒng)發(fā)生堵塞，從而導(dǎo)致系統(tǒng)流率降低。

2.2 不同跳躍概率

圖3和圖4為粒子密度比率ρ1∶ρ2=1∶1，跳躍概率r分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9時(shí)的系統(tǒng)密度-流率圖，圖3中粒子的交換概率k=0.5，圖4中粒子的交換概率k=0.6?？梢钥闯鱿到y(tǒng)流率隨著系統(tǒng)密度的增大而增大，但圖像只在系統(tǒng)處于中段密度區(qū)（0.3＜ρ＜0.8）時(shí)有分離，在低密度區(qū)（ρ≤0.3）和高密度區(qū)（ρ≥0.8）不同交換概率k下的圖像趨于重合。下面分析這種情況出現(xiàn)的原因。

圖2 不同粒子比率下的流率-密度圖

圖3 不同跳躍概率下的流率-密度圖

圖4 不同跳躍概率下的流率-密度圖

系統(tǒng)處于低密度區(qū)時(shí)，粒子數(shù)較少且系統(tǒng)采取隨機(jī)更新，系統(tǒng)選取到空格概率較高，兩粒子相鄰的概率較低，這些都導(dǎo)致跳躍規(guī)則失效，因此在低密度區(qū)不同跳躍概率下的系統(tǒng)流率區(qū)分不明顯；

系統(tǒng)處于中段密度區(qū)時(shí)，增大粒子跳躍概率可以讓系統(tǒng)流率增大，此時(shí)粒子數(shù)較低密度區(qū)更多，且系統(tǒng)有充足的空格讓粒子跳躍，跳躍概率增大，系統(tǒng)流率增大；

系統(tǒng)處于高密度區(qū)時(shí)，粒子數(shù)最多，但空格較少，這導(dǎo)致粒子無(wú)法跳躍，因此在高密度區(qū)不同跳躍概率下的系統(tǒng)流率區(qū)分不明顯。

2.3 不同交換概率

圖5為左右粒子密度比ρ1∶ρ2=1∶1，左右粒子跳躍概率r=0.1，交換概率k分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9時(shí)的系統(tǒng)密度-流率圖?？梢?jiàn)，隨著k的增大，系統(tǒng)流率增大，增速變快，流率峰值處于系統(tǒng)最大密度處。

圖5 不同交換概率下的流率-密度圖

2.4 系統(tǒng)回滯現(xiàn)象

下面探討該系統(tǒng)是否存在回滯現(xiàn)象[5-6]。為此，采用從低密度開(kāi)始逐步增加系統(tǒng)密度和從高密度開(kāi)始逐步減少系統(tǒng)密度兩種方式計(jì)算系統(tǒng)流率。在相同參數(shù)條件下，得到兩條流率-密度曲線。這里取L=200，時(shí)間步T取20 000～100 000。

圖6～9是不同參數(shù)下的系統(tǒng)流率-密度圖?？梢钥闯?，相同參數(shù)下兩條曲線幾乎重合，沒(méi)有形成回滯環(huán)，由此可知該系統(tǒng)沒(méi)有出現(xiàn)回滯現(xiàn)象。

圖6 左右粒子比率1∶9，跳躍概率0.9，交換概率0.1下的流率-密度圖

圖7 左右粒子比率1∶9，跳躍概率0.9，交換概率0.3下的流率-密度圖

圖8 左右粒子例3∶7，跳躍概率0.5，交換概率0.5下的流率-密度圖

圖9 左右粒子比例3∶7，跳躍概率0.9，交換概率0.5下的流率-密度圖

3 結(jié)論

綜合上述結(jié)果，我們得出以下結(jié)論：①兩種粒子的比例越接近，系統(tǒng)流率越大；②在密度位于中段區(qū)域時(shí)（0.3＜ρ＜0.8），粒子跳躍概率越高，系統(tǒng)流率就越大；③對(duì)向粒子交換概率越大，系統(tǒng)流率就越大，流率-密度曲線由非單調(diào)轉(zhuǎn)變?yōu)閱握{(diào)遞增；④該系統(tǒng)沒(méi)有出現(xiàn)回滯現(xiàn)象。這些結(jié)論對(duì)行人、車輛交通等自驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的理解是有幫助的，也將有助于對(duì)非平衡態(tài)系統(tǒng)性質(zhì)的理解。