宿月文 郭彩霞

寶雞文理學(xué)院陜西省機器人關(guān)鍵零部件先進(jìn)制造與評估省市共建重點試驗室，寶雞，721016

0 引言

擺線針輪傳動具有較大的變速范圍、較小的振動和噪聲、高過載能力、結(jié)構(gòu)緊湊等特點[1-2]，被廣泛用于減速電機和機器人關(guān)節(jié)減速器等領(lǐng)域。

近年來,針對擺線針輪傳動的性能問題，國內(nèi)外研究者圍繞擺線針輪傳動效率、多齒接觸、齒廓修形、傳動精度等問題進(jìn)行了大量的研究。MACKIC等[3]研究了幾何參數(shù)對擺線傳動效率的影響，并對設(shè)計參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。BLAGOJEVIC等[4-5]構(gòu)建了單擺線輪的動力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)擺線輪和針齒的接觸、摩擦對動力學(xué)性能有顯著影響，其中摩擦對傳動效率影響明顯，而接觸剛度和阻尼對動態(tài)特性有重大影響。GORLA等[6]研究新型擺線傳動結(jié)構(gòu)，并對傳動效率進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)在增加負(fù)載時，傳動效率增加，即在高負(fù)載和高溫情況下效率可達(dá)95%，其原因為高溫導(dǎo)致潤滑劑黏度下降，摩擦降低。ZHU等[7]認(rèn)為軸承對擺線傳動效率有影響，其計算結(jié)果顯示考慮軸承時，傳動效率會下降4%。SENSINGER[8]將擺線減速器效率與諧波和行星齒輪傳動效率相比較，結(jié)果顯示擺線減速器的效率更高。

擺線針輪傳動具有多齒嚙合接觸的特點。MALHOTRA等[9]推導(dǎo)出擺線輪齒受力公式及傳動效率，并討論設(shè)計參數(shù)對接觸應(yīng)力的影響。TRAN等[10]研究了擺線輪與針齒的接觸力和傳動效率的理論公式，并以試驗驗證了傳動效率的理論值。LITVIN等[11]提出齒面接觸分析(TCA)理論，并計算運動誤差。DO等[12]總結(jié)并對比了擺線齒輪傳動的接觸分析的幾種方法，如TCA[13]、加載接觸分析(LTCA)[14]、有限元分析(FEA)[15]、彈性多體系統(tǒng)(EMBS)[16]。其中，TCA方法無法很好地考慮輪齒的彎曲，EMBS方法使用少量模態(tài)的有限元模型和接觸算法來模擬全彈性齒輪接觸，具有較高的效率與精度。何衛(wèi)東等[17]采用有限元法研究了擺線輪齒接觸問題和時變嚙合剛度。楊玉虎等[18]建立了考慮軸承剛度、輪齒嚙合剛度及各構(gòu)件彈性的有限元接觸模型，分析了軸承剛度對擺線減速器整機扭轉(zhuǎn)剛度的影響。XU[19]基于多體動力學(xué)和彈性接觸理論提出了一種可精確預(yù)估擺線針齒動態(tài)嚙合對數(shù)、確定接觸點位置并獲取接觸載荷的動力學(xué)分析方法,可高效準(zhǔn)確地完成齒廓修形和負(fù)載變化條件下的受載針齒數(shù)的預(yù)估及載荷計算。綜上所述，擺線針輪傳動的多齒嚙合接觸和傳動效率的評估是擺線減速器傳動設(shè)計與分析的關(guān)鍵問題。

為了揭示擺線針輪傳動效率與設(shè)計、運行參數(shù)之間的關(guān)系，本文基于牛頓力學(xué)和彈性接觸理論框架提出了一種擺線針輪傳動效率理論模型。該模型通過負(fù)載反求擺線輪接觸關(guān)系與載荷，并將傳動效率描述為接觸載荷的函數(shù)，最后通過專用的試驗臺對所提出的傳動效率計算模型進(jìn)行對比分析。

1 擺線輪動力學(xué)方程

擺線減速器如圖1所示，主要包含4個部件，即輸入軸、擺線輪、針齒銷和輸出軸。其運動原理如圖2所示，O點為輸入軸軸心，O1點為擺線輪中心，OO1為曲柄, 其長度為偏心距ec。輸入軸為定軸轉(zhuǎn)動，帶動曲柄旋轉(zhuǎn)并驅(qū)動擺線輪運動，擺線輪既繞O1點自轉(zhuǎn)，又繞O點公轉(zhuǎn)。因此，可定義OXY為固定坐標(biāo)系，O1X1Y1為擺線輪坐標(biāo)系。

圖1 擺線減速器結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 擺線輪受力圖

假定所有構(gòu)件均為剛體，將軸承視為理想轉(zhuǎn)動副。那么擺線輪質(zhì)心的加速度：

aO1=aO+aO1/O,n+aO1/O,t

(1)

(2)

式中，aO為O點的加速度，由于定軸轉(zhuǎn)動，因此aO=0；aO1/O,n、aO1/O,t分別為O1點在OXY坐標(biāo)系下的法向加速度和切向加速度；φ為曲柄轉(zhuǎn)角。

擺線輪的慣性力：

(3)

式中，mcy為擺線輪質(zhì)量。

假定圖2中FNpx和FNpy分別是擺線輪和針齒嚙合力的合力在X、Y軸的分量；FNsx和FNsy分別是擺線輪和輸出銷軸的接觸力的合力在X、Y軸的分量；Fex和Fey(1-μe)是輸入軸與擺線輪之間的作用力，μe為軸承摩擦因數(shù)；TNp是擺線輪和針齒銷作用力對O1點的合力矩；TNs是擺線輪和輸出銷軸的接觸力對O1點的合力矩。則根據(jù)力平衡原理，得到

(4)

(5)

式中，Izz,os為輸入軸轉(zhuǎn)動慣量；z1為擺線輪齒數(shù)；TL為負(fù)載。

(6)

將式(6)的前三個方程重組并以矩陣形式表達(dá)如下：

(7)

根據(jù)式(7)，有

(8)

另外，由輸出端力矩平衡原理，得到輸出力矩等于負(fù)載，即

Tout=TL=TNs

(9)

擺線輪的輸入力矩Tin可表示為

Tin=Fey(1-μe)ec

(10)

綜合式(8)和式(10)得

(11)

假定ωin和ωout分別為減速器輸入、輸出角速度，那么減速器的瞬時傳動效率可表示為

(12)

(13)

考慮到減速器的輸入速度和輸出負(fù)載是給定的，通過求解擺線輪與針齒以及輸出銷軸的接觸載荷，即可得到減速器的瞬時功率。

2 擺線輪接觸載荷計算

2.1 擺線傳動的幾何模型

擺線輪齒廓的精度對傳動性能有重要影響。為了補償誤差、改善潤滑，常常對標(biāo)準(zhǔn)擺線齒廓進(jìn)行修形以形成必要的齒隙。常見的修形方法有等距修形、移距修形和轉(zhuǎn)角修形法。綜合上述三種修形方法，可得到通用的擺線輪齒廓[20]。

如圖3所示，擺線輪齒廓上任一點在其自身坐標(biāo)系O1X1Y1下的參數(shù)化坐標(biāo)表達(dá)為rgc=(xgc,ygc,0,1)T，其中，

(14)

(15)

式中，Rz為針齒分布圓半徑；rz為針齒半徑；iH=Nb/Ng，Nb為針齒數(shù)，Ng為擺線輪齒數(shù)；φ為嚙合相位轉(zhuǎn)角；ΔRz為移距修形量；Δrz為等距修形量；Δδ為轉(zhuǎn)角修形量。

圖3 單級擺線傳動機構(gòu)幾何模型

齒廓上任一點的外法向矢量：

(16)

由于針齒固定，則在固定坐標(biāo)系OXY下針齒幾何位置可表達(dá)為

(17)

式中，Rp為針齒分布圓半徑；rp為針齒半徑；Np為針齒數(shù)；i為針齒的位置序號。

針齒表面任一點的外法向矢量：

(18)

2.2 擺線傳動的接觸位置判定

2.2.1擺線輪與針齒的接觸判定

為了實現(xiàn)擺線輪與針齒及輸出機構(gòu)銷軸的接觸判定，需要將擺線輪齒廓和輸出孔的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系下。設(shè)定坐標(biāo)系Sc相對于Sf的轉(zhuǎn)角為φ2，則擺線輪平面運動所對應(yīng)的平移旋轉(zhuǎn)復(fù)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：

(19)

式中，φ2為擺線輪轉(zhuǎn)角；φin為曲柄轉(zhuǎn)角。

那么在固定坐標(biāo)系下的擺線輪齒廓方程：

gcf=Tfcrgc

(20)

同理，將原擺線輪坐標(biāo)系下擺線輪齒廓任一點法矢量ngc，經(jīng)坐標(biāo)變換得到固定坐標(biāo)系下的相應(yīng)法向矢量：

ngf=Tfcngc

(21)

擺線輪齒廓與針齒的接觸需滿足：①兩個齒面接觸點坐標(biāo)相等；②兩個齒面接觸點的法向量相等。接觸條件的數(shù)學(xué)表述為

rpf(β)=gcf(φ,φ2,φin)

(22)

npf(β)=ncf(φ,φ2,φin)

(23)

式(22)和式(23)中，φin為已知曲柄轉(zhuǎn)角；φ、φ2、β為未知量。由式(22)可得到關(guān)于X、Y坐標(biāo)的2個方程，加上式(23)共3個方程。求解這3個方程即可得到3個未知變量，進(jìn)而確定接觸點初始位置。

2.2.2擺線輪與輸出機構(gòu)銷軸的接觸判定

擺線輪上輸出孔的中心在坐標(biāo)系XcYcZc下的幾何位置參數(shù)化表達(dá)如下：

(24)

式中，Rs為擺線輪上輸出孔分布圓半徑；Ns為輸出孔(銷軸)數(shù)；j為各孔的位置序號。

將其轉(zhuǎn)化到固定坐標(biāo)系下：

rsf=Tfcrsc

(25)

輸出機構(gòu)旋轉(zhuǎn)軸與固定坐標(biāo)系相同，因此，輸出機構(gòu)上銷軸的中心位置為

(26)

式中，Rso為擺線機構(gòu)銷軸分布圓半徑。

輸出機構(gòu)銷軸與擺線輪孔的接觸可通過圓柱內(nèi)接觸的形式來表達(dá)，即針對每一對銷軸與孔，其接觸狀態(tài)的判定依據(jù)如下：

|rsof-rsf|≤|rsc-rso|

(27)

式中，rsc為擺線輪輸出孔的半徑；rso為輸出機構(gòu)銷軸的半徑。

2.3 擺線輪載荷分析

擺線針輪傳動中，擺線輪齒與針齒的嚙合屬于多齒嚙合，且不同齒的接觸位置與接觸載荷不同。假定嚙合點接觸可簡化為兩圓柱外接觸，則接觸力可表示為[21]

(28)

(29)

式中，δNpi為接觸變形；E*為復(fù)合彈性模量；B為擺線輪寬度；Rcq為擺線輪接觸點處等效曲率半徑。

由圖4可知，接觸變形δNpi表示為

δNpi=rz-|rpi-gcf|

(30)

式中，rpi為接觸針齒的位置矢量。

圖4 擺線輪-針齒的接觸變形分析

此外，擺線輪與輸出機構(gòu)銷軸的接觸屬于圓柱內(nèi)接觸，其接觸力與接觸變形的關(guān)系[22]如下：

(31)

ΔR=rco-rso

式中，rco為擺線輪輸出孔半徑；δNsi為接觸變形量。

由圖5可知，接觸變形δNsi表示為

δNsi=|rsc-rso|-|rsof-rsf|

(32)

圖5 擺線輪-輸出銷軸的接觸變形分析

2.4 擺線輪接觸載荷的確定

由2.2節(jié)和2.3節(jié)可得到接觸點初始位置，以及接觸變形和接觸力的關(guān)系。在給定負(fù)載的前提下，根據(jù)靜力平衡原理，以φ2為基礎(chǔ)并疊加微小變化量Δφ2，通過反復(fù)微調(diào)擺線輪轉(zhuǎn)角φ2±Δφ2，以及擺線輪中心位置，以得到新的接觸點位置和接觸載荷，最終得到給定負(fù)載TL作用下的所有接觸載荷的準(zhǔn)確分布。具體流程見圖6。

圖6 擺線輪接觸載荷分布的確定方法

假定Nbc為處于接觸的針齒數(shù)，若Nb為偶數(shù)，則Nbc=Nb/2；若Nb為奇數(shù)，則Nbc= (Nb-1)/2。根據(jù)各接觸針齒作用力，可得到任一時刻針齒對擺線輪的合力在X、Y方向的分量:

(33)

此外，單個針齒對擺線輪的接觸力對其質(zhì)心的等效力矩:

(34)

式中，diy、dix分別為第i個針齒力在X、Y方向的力臂。

所有針齒對擺線輪的接觸力等效力矩之和：

(35)

假定Nsc為處于接觸的銷軸數(shù)，若輸出銷軸總數(shù)Ns為偶數(shù)，則Nsc=Ns/2；若Ns為奇數(shù)，則Nsc= (Ns-1) /2。進(jìn)而可得到輸出擺線輪輸出孔和輸出機構(gòu)銷軸的合力：

(36)

任一配對的擺線輪輸出孔與輸出銷軸之間的接觸力對其擺線輪質(zhì)心的等效力矩為

(37)

式中，djy、djx分別為第j個針齒力在X、Y方向的力臂。

則所有對擺線輪的接觸力等效力矩之和：

(38)

基于圖6所示的流程，可得到任意時刻擺線輪的接觸載荷分布(圖7)，以及曲柄轉(zhuǎn)角φ′in和擺線輪自轉(zhuǎn)角φ′2。

圖7 不同時刻的擺線輪接觸載荷分布

3 單級擺線傳動性能分析

3.1 傳動性能分析模型的參數(shù)設(shè)置

基于上述方法，以某一擺線針輪傳動系統(tǒng)為例，建立該類系統(tǒng)的剛體接觸多體動力學(xué)模型。模型中，針輪上均勻分布20個針齒。擺線輪在曲柄軸驅(qū)動下以及受針擺接觸作用后將產(chǎn)生公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)運動。擺線針輪傳動系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

傳動效率和振動是擺線針輪減速器的重要性能。傳動效率是功率損耗評估、功率密度設(shè)計和摩擦學(xué)設(shè)計的重要參數(shù)，而轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速的波動導(dǎo)致振動噪聲加劇，傳動精度降低。本文根據(jù)式(11)和式(13)計算輸入力矩和傳動效率，并將其作為主要參數(shù)來評估加速器性能。圖8與圖9分別為輸入轉(zhuǎn)速為1000 r/min時的輸入力矩Tin、輸出轉(zhuǎn)速ωout(ωout=dφ′2/dt)隨時間變化的情況。

表1 擺線針輪機構(gòu)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖8 輸入力矩變化情況

以圖8所示的力矩的波動情況為指標(biāo)進(jìn)行振動特性分析，定義輸入力矩對均值的最大偏移量作為考察指標(biāo)，即

(39)

其中，Tin(t)是來自仿真的輸入力矩的瞬時值。同時，引入傅里葉變換以考察輸入力矩對均值的偏移量的頻域特性，即最大振動頻率對應(yīng)的最大偏移量：

(40)

式中，F(xiàn)(·)表示傅里葉變換。

下文將基于本文所提方法以及給定設(shè)計參數(shù)，針對不同的針齒半徑、擺線輪齒數(shù)及輸出銷軸數(shù)量對傳動特性的影響進(jìn)行分析。

3.2 針齒半徑對傳動特性的影響

由圖10可見，針齒半徑越大，擺線傳動效率越高。同時，針齒半徑增大會導(dǎo)致扭矩非周期性和諧波比增大，但是其影響并不顯著。工程實際中，針齒半徑增大將導(dǎo)致總體結(jié)構(gòu)尺寸增大。

(a)傳動效率(b)輸入力矩最大偏移量

3.3 擺線輪齒數(shù)對傳動特性的影響

圖11所示為擺線輪齒數(shù)變化對傳動特性的影響。擺線輪齒數(shù)越大，傳動效率越高，而扭矩非周期性和諧波比隨著齒數(shù)增大而下降。擺線輪齒數(shù)的變化不僅影響自身幾何尺寸，還可導(dǎo)致減速器減速比的變化。

(a)傳動效率(b)輸入力矩最大偏移量

3.4 輸出銷軸數(shù)量對傳動特性的影響

圖12所示為輸出銷軸數(shù)量對傳動特性的影響?？梢?，當(dāng)輸出銷軸數(shù)量大于5時，傳動效率大體上不再隨輸出銷軸數(shù)量的變化而變化；同時，扭矩非周期性和諧波率基本保持恒定，且處于較低的水平。減速器具有更多輸出銷軸數(shù)時，可以更有效地分配傳動力，使得輸出力矩更為均勻。相反，設(shè)計較少的輸出銷軸，將無法有效實現(xiàn)負(fù)載的平均分配，導(dǎo)致機構(gòu)振動的增大和效率的降低。

(a)傳動效率(b)輸入力矩最大偏移量

4 試驗方法

4.1 試驗臺構(gòu)成

擺線針輪減速器試驗基于一體化設(shè)計的專業(yè)測試裝置進(jìn)行，該裝置滿足輸出功率不超過1.8 kW、輸出轉(zhuǎn)矩不超過1000 N·m、額定轉(zhuǎn)速1500 r/min、最高轉(zhuǎn)速不超過3000 r/min的減速機效率測試。為滿足不同類型減速器效率試驗，減速器安裝采用固定底座+安裝盤方式，更換方便；試驗臺架加載采用伺服加載電機作為負(fù)載，負(fù)載可以任意調(diào)節(jié)。

圖13為試驗臺架整體圖。主軸方向由左至右依次為驅(qū)動伺服、軸承座、輸入端扭矩轉(zhuǎn)速傳感器、軸承座、被測減速器、后端軸承座、后端扭矩轉(zhuǎn)速傳感器、軸承座、增速器和加載電機。

圖13 專用試驗臺

4.2 試驗臺運行結(jié)果與理論對比

在被測減速器的輸出軸上加載恒定扭矩進(jìn)行測試，從0增加到既定速度1000 r/min并保持恒定20 s，然后再次降至0，在這20 s內(nèi)獲得的扭矩和速度值取平均值。根據(jù)式(12)計算即時效率。

圖14顯示了不同負(fù)載情況下傳動效率的理論計算值和測試值。由圖可見，理論模型得到的傳動效率不隨著負(fù)載的增加而變化，且只在較大負(fù)載的情況下理論值才與測試值接近。觀察測試值可發(fā)現(xiàn)，傳動效率數(shù)據(jù)存在兩個區(qū)域，即負(fù)載較小時(小于150 N·m)，傳動效率變化幅度相當(dāng)大；而在負(fù)載較大時，隨著負(fù)載的增加，傳動效率變化較為緩慢，此時效率值已逼近飽和值。

圖14 傳動效率的理論計算值和測試值(ωin=1000 r/min)

(a)Tout =70 N·m

(a)Tout =70 N·m

為了進(jìn)一步分析所提方法在不同負(fù)載時表現(xiàn)的差異性，由傳動效率理論計算式(12)可知，在負(fù)載和輸入轉(zhuǎn)速給定的情況下，理論效率主要受輸出轉(zhuǎn)速和輸入力矩影響。圖15顯示了負(fù)載為70 N·m和300 N·m時的輸出轉(zhuǎn)速，兩種情況下其理論均值和測試均值無明顯差異。圖16顯示了對應(yīng)兩種負(fù)載時的輸入力矩，在負(fù)載為70 N·m時，其理論均值顯著低于測試均值，而在負(fù)載為300 N·m時，其理論均值與測試均值差異很小。可見在低負(fù)載時，輸入力矩的理論值顯著低于測試值，導(dǎo)致此時的理論效率高于測試效率。

因此，理論模型存在缺陷，即僅在高負(fù)載情況下是有效的。這可能是因為理論模型忽略了擺線輪軸承的摩擦效應(yīng)，即理論模型未考慮摩擦力矩，導(dǎo)致其計算輸入力矩值偏低，未考慮軸承摩擦功耗，導(dǎo)致其理論效率偏高。由于擺線傳動功率損耗主要由于針齒與擺線輪齒的嚙合摩擦，高負(fù)載時軸承功耗占比較小，故理論效率與測試效率接近；在低負(fù)載時，軸承功耗占比相對較高，不可忽略，導(dǎo)致理論效率與測試效率差異明顯。

5 結(jié)論

(1)針對單級擺線減速器，基于牛頓法和接觸力學(xué)，提出了一種簡明的瞬時傳動效率計算方法，即以任一時刻擺線輪接觸分析獲取其所受接觸載荷的合力和合力矩來描述傳動效率，并通過試驗對該方法進(jìn)行了驗證。

(2)理論計算結(jié)果表明，傳動效率不隨負(fù)載變化而變化。但是試驗結(jié)果表明，負(fù)載較低時，傳動效率偏低，隨負(fù)載增大而快速上升；負(fù)載較高時，傳動效率變化不大，趨于穩(wěn)定值。理論傳動效率與測試值在高負(fù)載時差異不大，但在低負(fù)載時差異明顯，其原因為輸入力矩的理論值顯著低于測試值，導(dǎo)致此時的理論效率高于測試效率。

(3)所提方法在低負(fù)載時誤差明顯，在高負(fù)載時與測試值較為接近，其主要原因為該方法未考慮擺線輪軸承的摩擦效應(yīng)，如摩擦力與摩擦力矩。由于針齒與擺線輪齒的嚙合摩擦是主要功率損耗原因，高負(fù)載時軸承功耗占比較小，故理論效率與測試效率接近；在低負(fù)載時，軸承功耗占比相對較高，不可忽略，導(dǎo)致理論效率與測試效率差異明顯。

(4)研究中忽略了軸承潤滑、摩擦及動力學(xué)效應(yīng)，后續(xù)研究必須詳細(xì)構(gòu)建考慮軸承環(huán)節(jié)的動力學(xué)模型，建立完備的擺線針輪傳動效率評估模型，以實現(xiàn)對傳動效率和振動特性的準(zhǔn)確計算。