唐 潔

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004）

0 引言

含空間自回歸誤差的空間自回歸模型(Spatial Autoregressive Model with Spatial Autoregressive Disturbanc?es，簡(jiǎn)記為SARAR):

其中，n是空間樣本數(shù)量；ρj,j=1,2 是空間自回歸系數(shù)且|ρj| ＜1,j=1,2；βk×1是相應(yīng)回歸系數(shù)向量；Xn=(x1,x2,…,xn)′是n×k數(shù)據(jù)矩陣,包括k列解釋變量；Yn=(y1,y2,…,yn)′是n×1 維被解釋變量;Wn和Mn是已知的n×n空間權(quán)重矩陣（非隨機(jī)）；?(n)是空間誤差模型n×1 的誤差向量

SARAR 模型是更一般的空間計(jì)量模型，它對(duì)存在空間依賴(lài)性的數(shù)據(jù)有較好的解釋作用，無(wú)論是滯后項(xiàng)存在依賴(lài)性還是擾動(dòng)項(xiàng)存在空間依賴(lài)性。它將存在空間誤差效應(yīng)的空間誤差模型(SEM)與空間滯后效應(yīng)的空間自回歸模型(SAR)結(jié)合起來(lái)，分別對(duì)應(yīng)于ρ1=0 與ρ2=0 的情形。

經(jīng)驗(yàn)似然方法是由Owen 在文獻(xiàn)[1]中提出的一種參數(shù)推斷方法。通過(guò)經(jīng)驗(yàn)似然方法研究SARAR 模型則是文獻(xiàn)[2]的主要工作。但是經(jīng)驗(yàn)似然方法在求解過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有顯示解的情況，且計(jì)算復(fù)雜。為了解決這些問(wèn)題，Owen 在文獻(xiàn)[3]中提出用經(jīng)驗(yàn)歐氏似然來(lái)代替經(jīng)驗(yàn)似然。而羅旭在文獻(xiàn)[4]中，就系統(tǒng)地研究了經(jīng)驗(yàn)歐氏似然，發(fā)現(xiàn)了可以很好地解決經(jīng)驗(yàn)似然中的棘手問(wèn)題，并且經(jīng)驗(yàn)歐氏似然也同樣擁有大樣本性質(zhì)。基于此，本文通過(guò)經(jīng)驗(yàn)歐氏似然方法來(lái)研究SARAR 模型。

1 主要結(jié)果和證明

記An(ρ1) =In-ρ1Wn,Bn(ρ2) =In-ρ2Mn并且假設(shè)An(ρ1)和Bn(ρ2)是非奇異矩陣。于是可以得到：

此時(shí)，假設(shè)?(n)是正態(tài)分布的，則Yn服從期望為An1(ρ1)Xn β，方差為的正態(tài)分布。

于是，Yn的擬似然函數(shù)為：

其中?(n)=Bn(ρ2){An(ρ1)Yn-Xn β}。

進(jìn)而，Yn的擬對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

令上述偏導(dǎo)數(shù)等于0，可以獲得以下估計(jì)方程：

則Fi-1?Fi，是Fi-可測(cè)的，并且E(|Fi-1) =0。因此，{,Fi,1≤i≤n}和{,Fi,1≤i≤n}構(gòu)成兩個(gè)鞅差序列，且

根據(jù)(2)到(7)可以得出參數(shù)θ?(β′,ρ1,ρ2,σ2) ∈Rk+3的估計(jì)方程，令

通過(guò)ωi(θ)提出θ的經(jīng)驗(yàn)歐氏似然比統(tǒng)計(jì)量

其中，{pi}滿(mǎn)足

在本文中，記μj=E(?ji),j=3,4，用Vec(diagA)表示由矩陣A的對(duì)角線(xiàn)上的元素構(gòu)成的列向量，用‖a‖表示向量a的第二范數(shù)，用1n表示由1 作為元素組成的n維列向量，為了獲得經(jīng)驗(yàn)歐氏似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近分布，需要給出以下假設(shè)條件：

A1.{?i,1≤i≤n}是均值為0，方差有限的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且存在η1＞0，使E|?1|4+η1＜∞。

A2.假設(shè)Wn,Mn,A-1n(ρ1),B-1n(ρ2)及{xi}滿(mǎn)足以下條件：

（i）矩陣Wn，Mn，A-1n(ρ1)，B-1n(ρ2)行元素和列元素的絕對(duì)值之和均一致有界；

（ii）{xi}是一致有界的。

A3.存 在常數(shù)cj＞0,j=1,2,使 得0 ＜c1≤λmin(n-1c) ≤λmax(n-1Σk+3) ≤c2＜∞,其 中λmin(A)和λmax(A)分別表示矩陣A的最小和最大的特征值，且

其中，

引理1在(A1)～(A3)假設(shè)條件下，當(dāng)n→∞時(shí)，有

見(jiàn)文獻(xiàn)[4]的引理3。

定理1在(A1)～(A3)假設(shè)條件下及模型(1)下，當(dāng)n→∞時(shí)，有-2Ln(θ)→dχ2k+3，其中，表示自由度為k+3 的卡方分布。

證明：SARAR 模型下經(jīng)驗(yàn)歐氏（對(duì)數(shù)）似然函數(shù)為：

利用拉格朗日乘子法給出Ln(θ)的表達(dá)式。為此取

其中t′∈Rk+3。對(duì)G求關(guān)于pi的偏導(dǎo)數(shù)，得

并令

在(9)式兩邊對(duì)i從1 加到n求和，得

上式化簡(jiǎn)可得

由(10)～(12)可得

由引理1，得

由此完成了定理1 的證明。