譚服好，關(guān)開中

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

自Chua 和Yang[1]提出細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以來，其在聚類、圖像處理、模式識別、優(yōu)化問題等領(lǐng)域中的應(yīng)用引起了廣泛的研究[2-4]. 時(shí)滯不可避免地存在于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，并導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定，因此研究時(shí)滯對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響具有重要的理論和實(shí)際意義. 比例時(shí)滯作為一類特殊的時(shí)滯類型存在于非線性系統(tǒng)和電動力學(xué)等領(lǐng)域[5-7]. 特別地，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的“空間”屬性以及比例時(shí)滯具有可控性和可預(yù)測性的優(yōu)點(diǎn)，近年來，人們將比例時(shí)滯引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，并研究了各類比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題. 文獻(xiàn)[8]運(yùn)用M-矩陣?yán)碚摌?gòu)造合適的Lyapunov 泛函，研究了一類比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題，建立了該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性條件，該條件是與時(shí)滯相關(guān)的. 文獻(xiàn)[9]利用M-矩陣?yán)碚摵筒坏仁郊记?，進(jìn)一步研究了一類非自治比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，并獲得了此類系統(tǒng)平衡點(diǎn)全局冪穩(wěn)定的條件，但該條件是時(shí)滯無關(guān)的. 注意到，漸近穩(wěn)定弱于冪穩(wěn)定，且時(shí)滯有關(guān)的條件比時(shí)滯無關(guān)的相對更不保守，因此建立時(shí)滯有關(guān)的冪穩(wěn)定性條件更有意義. 基于此，本文將建立一個(gè)新的Razumikhin 條件，并利用Lyapunov-Razumikhin 方法，嘗試構(gòu)建一類比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)與時(shí)滯有關(guān)的全局冪穩(wěn)定條件，以期所得結(jié)果能夠改進(jìn)已有文獻(xiàn)的結(jié)論.

1 模型與預(yù)備知識

設(shè)R 為實(shí)數(shù)集， R+為非負(fù)實(shí)數(shù)集， Rm表示具有范數(shù)的m維實(shí)線性賦范空間. 記C(R+, R+)={ψ: R+→R+是連續(xù)的}， K={u∈C(R+, R+):u(0) =0且u(s)關(guān)于s是嚴(yán)格遞增的}，sgn(y)表示y的符號函數(shù).

考慮以下具有比例時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

這里yi(t)表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)變量，q∈ (0,1)為比例因子，(1 -q)t為網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)滯函數(shù)，表示t時(shí)刻第i個(gè)神經(jīng)元的自反饋強(qiáng)度；分別表示第j個(gè)神經(jīng)元到第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻和qt時(shí)刻的連接強(qiáng)度；為yi(t)在t=0時(shí)刻的初始值，gi表示激活函數(shù)且滿足下面的條件：

其中，li是非負(fù)常數(shù)，i=1,2, … ,m.記

定義1稱為系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)，如果其滿足

由式（2），容易看出系統(tǒng)（1）具有平衡點(diǎn)(0, …, 0)T∈Rm.

為了研究系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，我們先研究下列一般的比例時(shí)滯微分系統(tǒng)：

本文總假定函數(shù)f滿足一定的條件使得系統(tǒng)（3）在(0, +∞)存在唯一解. 注意到f(t, 0,0) =0，因此y(t) =0是系統(tǒng)（3）具有初始條件y(0) =0的平凡解.

定義2[5-6]令y(t)是系統(tǒng)（1）中的解，函數(shù)V: R+× Rm→R+為連續(xù)，則V沿該解的右上導(dǎo)數(shù)定義為：

定義3令y(t)是系統(tǒng)（3）的解，如果存在常數(shù)λ＞ 0和函數(shù)μ,ν∈K ，使得

則稱系統(tǒng)（3）的平凡解是全局弱冪穩(wěn)定的. 特別地，當(dāng)μ(s) =ν(s)=s時(shí)，稱系統(tǒng)（3）的平凡解是全局冪穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們將利用Lyapunov-Razumikhin 方法，建立系統(tǒng)（3）的平凡解和系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)為全局冪穩(wěn)定的條件.

定理1如果存在常數(shù)η＞ 0，ω,h∈C(R+, R+)，函數(shù)μ,ν∈K ，以及連續(xù)函數(shù)V(t,y) : R+×Rm→R，使得：

則系統(tǒng)（1）的平凡解是全局弱冪穩(wěn)定的.

證明由條件可選取常數(shù)λ＞ 0滿足

設(shè)V(t)=V(t,y(t))和Φ(t)=(1 +t)λV(t)，其中y(t)是系統(tǒng)（3）的解，易得Φ(t)≥V(t)，t≥ 0. 由i）得：下面證明：

注意到Φ(0)=V(0)，若式（5）不是對所有的t≥ 0成立，則存在使得進(jìn)一步，存在＞0，得：

0＜q＜1，得即

計(jì)算可得：

這就與式（6）中的最后一個(gè)不等式矛盾，定理得證.

推論1如果將定理1 中的條件i）替換為條件其中a,b和p是正數(shù)，則系統(tǒng)（3）的平凡解是全局冪穩(wěn)定的.

下面利用定理1，建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）平衡點(diǎn)的全局冪穩(wěn)定條件.

定理2如果式（2）成立且存在常數(shù)η＞ 0，使得

證明設(shè)y(t)是系統(tǒng)（1）的解，令根據(jù)式（2），并計(jì)算V(t)沿系統(tǒng)（1）解的右上導(dǎo)數(shù)，可得：

注1令其中由文獻(xiàn)[9]中的定理3.2 可得: 如果矩陣-M是非奇異的M-矩陣，則系統(tǒng)（1）的零解是全局冪穩(wěn)定的.

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，我們將給出兩個(gè)數(shù)值例子來說明所得結(jié)果的有效性和合理性.

例1考慮以下具有比例時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

取η=1，計(jì)算可得ρ=0.5＞0，從而定理2 的條件滿足，因此系統(tǒng)（9）的平衡點(diǎn)是全局冪穩(wěn)定的且收斂階為1. 給定初值y(0) =0.5，運(yùn)用Matlab 工具箱得到系統(tǒng)（9）的狀態(tài)軌跡如圖1 所示.

例2考慮下面具有比例時(shí)滯的二維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

容易驗(yàn)證gi滿足式（2）的條件且取η=1，經(jīng)計(jì)算得a(t)=1 .5,b(t)=1 ,ρ=0.2＞0，故滿足定理2 的條件，因此系統(tǒng)（10）的平衡點(diǎn)是冪穩(wěn)定的. 圖2 描述了系統(tǒng)（10）具有初始值y(0) =(0.8,0.4)T的狀態(tài).

圖1 系統(tǒng)(9)具有初始值y(0) =0.5的狀態(tài)軌跡

圖2 系統(tǒng)(10)具有初始值y(0) =(0.8,0.4)T的狀態(tài)軌跡

注2簡單計(jì)算，可得容易驗(yàn)證，矩陣-M不是非奇異的M-矩陣. 因此，根據(jù)注1，文獻(xiàn)[9]中的定理3.2 不能應(yīng)用于例2. 因此，我們的結(jié)果在一定程度上改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]的相應(yīng)結(jié)果.