分裂四元數(shù)的偽相似性

唐哲，曹文勝

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

1 引言及預(yù)備知識

四元數(shù)是Hamilton 在1843 年提出的數(shù)學(xué)概念[1]. 記R 和C 分別表示實數(shù)域和復(fù)數(shù)域，則四元數(shù)可表示為：

其乘法規(guī)則如下：

分裂四元數(shù)分析學(xué)和表示論在物理學(xué)里有重要的地位[2-4]. 1849 年，James Cockle[5]引入了分裂四元數(shù)其中一般地，認(rèn)為 R=span ｛1｝和 C=span ｛1 ,i｝ . 根據(jù)分裂四元數(shù)乘法規(guī)則，一個分裂四元數(shù)可以寫成：

分裂四元數(shù)的I（q）可為正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為零. 這與四元數(shù)的模長非負(fù)不同[6]. 此外，分裂四元數(shù)q的實部為： Re(q)=q0；分裂四元數(shù)q的虛部為：通過簡單計算，得出I（pq）=I（p）I（q）.另外，定義q′：

很顯然，I（q′ ）=I（q）. 與四元數(shù)類似，得到

定義1兩個分裂四元數(shù)a,b∈Hs是偽相似的，當(dāng)且僅當(dāng)存在使得

文獻(xiàn)[1-7]研究了四元數(shù)、分裂四元數(shù)、分裂四元數(shù)的相似性，其中，曹文勝等[6]研究了分裂四元數(shù)a,b∈ Hs-R 是相似的充要條件. 本文將在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上討論分裂四元數(shù)的偽相似性.

2 分裂四元數(shù)的相關(guān)性質(zhì)

分裂四元數(shù)代數(shù) Hs通過下面的雙射映射，可同構(gòu)到矩陣代數(shù) R4×4中.

稱L（q）為左乘矩陣，R（q）為右乘矩陣. 通過簡單計算得：

另外，F(xiàn)=FT=F-1.

3 分裂四元數(shù)的偽相似性

分裂四元數(shù)a,b∈ Hs是相似的，當(dāng)且僅當(dāng)存在q∈ Hs-Z（Hs），使得qa=bq. 分裂四元數(shù)a,b∈ Hs-R 是相似的充要條件[6]是：

由定義1 可知分裂四元數(shù)a,b∈ Hs是偽相似的，當(dāng)且僅當(dāng)存在q∈ Hs-Z（Hs），使得aq=q′b. 因為Hs不是一個除環(huán)，因此找到逆元來解方程ax=x′b就變得非常困難，故要先保證它存在非零解. 因為

所以方程aq=q′b等價于其中F=diag ｛1, -1,1,1｝.

通過計算驗證下面命題.

命題1令S（a,b）=L（a）-R（b）F，其中

由此可知矩陣S（a,b）的特征值是：

和矩陣S（a,b）的行列式是：

進(jìn)一步， det （S（a,b））=0當(dāng)且僅 當(dāng)如下的情形成立：

下面列 舉幾個行列式 det （S（a,b））=0的例子.

1）a=2+3i+4j +5 k,b=2 - 3i+4j+5k,a-b′=0.

定理1分裂四元數(shù)a,b∈ Hs-｛0｝是偽相似的充要條件是下面二個條件之一成立：

證明令并且a,b不為零.如果a,b是偽相似，那么存在一個滿足有所以，故因為這表明：