王俊偉 于新海

（河套學(xué)院機(jī)電工程系）

極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)得好壞直接決定了控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的優(yōu)劣。 配置極點(diǎn)的目的不僅是使系統(tǒng)穩(wěn)定還要使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能滿足控制要求［1］。在配置狀態(tài)反饋控制器時(shí)，根據(jù)被控制對(duì)象的要求，可以采用3種方法實(shí)現(xiàn)：極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的直接法、極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的變換法和愛克曼公式［2］。這3種方法僅適用于單輸入系統(tǒng)，優(yōu)點(diǎn)是只要系統(tǒng)能控，就可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋，缺點(diǎn)是不能用于多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器。 對(duì)于單輸入系統(tǒng)， 如果系統(tǒng)能控可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置，改善動(dòng)態(tài)性能，但有可能使閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變大［3］。

1 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的直接法

線性時(shí)不變系統(tǒng)如下：

其中，x是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；x·是狀態(tài)向量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；u是狀態(tài)反饋控制律；A、B和C是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣；y是系統(tǒng)的輸出。

采用的狀態(tài)反饋控制律是：

其中，v是一維外部輸入；k是反饋增益矩陣。將式（2）代入式（1）得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程：

極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的直接法分5步實(shí)現(xiàn)［4］。

第1步，檢驗(yàn)系統(tǒng)（1）的能控性，如果系統(tǒng)能控，進(jìn)行第2步。

第2步，計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：

其中，λ是閉環(huán)極點(diǎn)。

第3步，如果閉環(huán)極點(diǎn)為λ1，λ2，…，λn，則期望閉環(huán)特征方程為：

第4步， 根據(jù)期望閉環(huán)特征方程與閉環(huán)特征方程多項(xiàng)式相等可得：

第5步，求出控制律：

2 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的變換法

線性時(shí)不變系統(tǒng)為式（1）。 用變換法之前，需要將式（1）變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型，實(shí)現(xiàn)方法分4步進(jìn)行［5］。

第1步，引進(jìn)線性變換x=Tx，將該線性變換代入式（1）得到能控標(biāo)準(zhǔn)型：

其中，A=T-1AT，B=T-1B。

第2步，計(jì)算系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式：

第3步，求取能控性矩陣：

第4步，計(jì)算線性變換矩陣T：

極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的變換法分5步實(shí)現(xiàn)［6］。

第1步，檢驗(yàn)式（1）的能控性，如果系統(tǒng)能控，進(jìn)行第2步。

第2步，計(jì)算期望閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式（λλ1）(λ-λ2)…（λ-λn）=λn+bn-1λn-1+…+b1λ+b0，確定b0，b1，…，bn-1的值。

第3步，計(jì)算系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式det［λIA］=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0，確定a0，a1，…，an-1的值。

第4步，確定反饋增益矩陣k，k=［b0-a0，b1-a1，…，bn-1-an-1］T-1。

第5步，求出控制律u=-kx+v=-［k0，k1，…，kn-1］x+v。

3 愛克曼公式

對(duì)于三階以上的系統(tǒng)，適合用愛克曼公式和變換法實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置。 愛克曼公式的計(jì)算過程分4步實(shí)現(xiàn)［7］。

第1步，計(jì)算系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式φ（λ）=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0。

第2步，計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式φ（A）=An+an-1·An-1+…+a1A+a0I。

第3 步，求取能控性矩陣Qc=［B AB …An-1B］。

第4步， 反饋增益矩陣k=［0 0 0 … 0 1］Qcφ（A）。

4 仿真

筆者選用已建好模型的雙級(jí)倒立擺狀態(tài)空間模型［8］：

其中，狀態(tài)變量x=［y y·θ θ·］T，θ是擺角，θ·是角速度，y是小車位移， y·是小車的線速度，u是狀態(tài)反饋控制律（相當(dāng)于作用在小車上的力）。

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律u=-kx+v， 使得閉環(huán)極點(diǎn)是-1，-2，-1+j，-1-j。 系統(tǒng)的初始狀態(tài)x（0）=［0.2 0 -0.2 1］T。

直接法的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程分4步實(shí)現(xiàn)。第1步，按照式（8）求出開環(huán)極點(diǎn)：

第2步，判斷系統(tǒng)的能控性，如果系統(tǒng)能控，可以任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。 根據(jù)能控性矩陣式（9）可知系統(tǒng)能控，即可以任意配置極點(diǎn)。

第3步，根據(jù)式（5）可以得到期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式：

其中k=［k1k2k3k4］，根據(jù)期望多項(xiàng)式與閉環(huán)多項(xiàng)式相等可得：k1=-1，k2=-2.5，k3=-17，k4=-7.5。

圖1 開環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)響應(yīng)

極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制律u=［1 2.5 17 7.5］x。

閉環(huán)系統(tǒng)為：

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)響應(yīng)

閉環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)（x（0））響應(yīng)如圖2所示，可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)是穩(wěn)定的，說明通過極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器使?fàn)顟B(tài)不穩(wěn)定的系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定系統(tǒng)，具有良好的動(dòng)態(tài)性能，最終小車回到了初始位置，擺桿處于垂直位置。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

圖4 穩(wěn)態(tài)誤差曲線

5 結(jié)束語

闡述被控對(duì)象為單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型極點(diǎn)配置的3種方法， 通過實(shí)例介紹了極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器中直接法的計(jì)算和分析過程， 并通過MATLAB對(duì)直接法進(jìn)行了開環(huán)狀態(tài)響應(yīng)、 閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)和閉環(huán)輸出響應(yīng)仿真。通過仿真實(shí)例說明，如果系統(tǒng)能控，可以任意進(jìn)行配置極點(diǎn)設(shè)計(jì)所需的狀態(tài)反饋控制器來改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能并使系統(tǒng)穩(wěn)定，但帶來的壞處是閉環(huán)系統(tǒng)輸出有較大的穩(wěn)態(tài)誤差，所以需要設(shè)計(jì)其他控制器，使系統(tǒng)穩(wěn)定、有較好的動(dòng)態(tài)性能且穩(wěn)態(tài)誤差為零，如跟蹤控制器，由于篇幅所限這里不做研究。