有源電力濾波器改進(jìn)快速重復(fù)控制方法的研究*

王素娥，王鵬萱，郝鵬飛

(陜西科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，陜西 西安710021)

隨著非線性電子元件在生產(chǎn)活動(dòng)中的廣泛使用，使得電網(wǎng)要面對(duì)電子元件產(chǎn)生的諧波電流污染。有源電力濾波器(active power filter，APF)是目前抑制諧波有效的手段之一，由于其可以動(dòng)態(tài)濾除各次諧波，且體積小、重量輕而受到廣泛的研究與應(yīng)用。APF 的諧波補(bǔ)償控制器決定了其抑制諧波的能力[1-6]。 目前補(bǔ)償電流控制方法中，比例積分(proportional integral，PI)控制可以對(duì)直流分量進(jìn)行無(wú)靜差控制，但是對(duì)諧波的抑制效果較差且對(duì)補(bǔ)償電流跟蹤精度較低[7]。 文獻(xiàn)[8]將比例諧振控制器作為APF 的控制，可以有效地提高補(bǔ)償電流跟蹤精度，但是每個(gè)頻率的交流信號(hào)都需要一個(gè)單獨(dú)的比例諧振控制器進(jìn)行控制，在實(shí)際應(yīng)用中較為復(fù)雜。重復(fù)控制方法是基于內(nèi)模原理而形成的，可以將其視為多個(gè)諧振的并聯(lián)。 由于其對(duì)諧波的抑制能力較好，被廣泛應(yīng)用在APF 中[9-10]。 但是單獨(dú)使用重復(fù)控制時(shí)系統(tǒng)瞬態(tài)性能較差，在負(fù)載突變時(shí)，無(wú)法快速響應(yīng)而使得控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度受到影響[11]。文獻(xiàn)[12]提出PI+重復(fù)控制的復(fù)合控制策略，但是該控制方法的動(dòng)態(tài)性能受PI 的影響，使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能受到約束。

本文針對(duì)快速重復(fù)控制動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度慢和穩(wěn)定性差的問(wèn)題，以三相并聯(lián)型APF 為控制對(duì)象，采用一種比例控制與快速重復(fù)控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法，通過(guò)前饋解耦在dq 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下實(shí)現(xiàn)，用于補(bǔ)償2k±1 次諧波，從而可以消除所有的奇次諧波。 比例控制與快速重復(fù)控制相結(jié)合可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，快速重復(fù)控制可以縮短固有延遲的周期。比例控制可以提高對(duì)基波信號(hào)的控制性能。

1 APF 數(shù)學(xué)模型與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 APF 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

三相并聯(lián)型APF 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示，usa、usb、usc分別為三相電網(wǎng)電壓；L 為APF 側(cè)濾波電感；R 為線路的等效電阻；C 為APF 的直流側(cè)電容。 由圖1 可得，APF 在三相a，b，c 靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為:

式中:ua，ub，uc為APF 的輸出電壓。

APF 輸出的補(bǔ)償電流一般由基波分量與諧波分量構(gòu)成，為了方便控制諧波分量的補(bǔ)償，將a，b，c靜止坐標(biāo)系下的式(1)經(jīng)過(guò)等幅度變換矩陣M 轉(zhuǎn)換為d，q 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的式(3)，此為APF 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。

圖1 三相并聯(lián)型APF 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

將式(3)做拉普拉斯變換可以得到APF 輸出電壓到輸出電流的傳遞函數(shù)為式(5)，由此即可建立APF 在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。

式(7)為APF 輸出的補(bǔ)償電流表達(dá)式，可以看出，APF 輸出補(bǔ)償電流中的2k+1 次奇次諧波在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)化為2k 次偶次諧波。 經(jīng)過(guò)該變換后可以有效地降低重復(fù)控制的延時(shí)時(shí)間。

1.2 APF 的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為了改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，控制系統(tǒng)采用雙閉環(huán)控制。 電壓外環(huán)使用傳統(tǒng)比例控制，將電壓環(huán)的輸出信號(hào)與檢測(cè)到的負(fù)載電流iL，abc所得到的指令補(bǔ)償電流相疊加作為電流環(huán)的給定值，將APF 輸出的電流ic，abc作為閉環(huán)控制，從而抑制非線性負(fù)載所產(chǎn)生的諧波。 本文的研究工作主要是電流環(huán)的控制策略。

2 改進(jìn)的快速重復(fù)控制策略

2.1 傳統(tǒng)重復(fù)控制性能分析

重復(fù)控制內(nèi)模結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示，可得，傳統(tǒng)重復(fù)控制內(nèi)模部分的傳遞函數(shù)為:

式中:ω 是基波頻率；T 為參考信號(hào)的基波周期。

圖2 重復(fù)控制內(nèi)模結(jié)構(gòu)框圖

傳統(tǒng)重復(fù)控制的伯德(Bode)圖如圖3 所示，從伯德圖可知傳統(tǒng)重復(fù)控制對(duì)各次諧波都具有高增益，并且可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行無(wú)靜差跟蹤。 但是重復(fù)控制應(yīng)用在APF 控制時(shí)，由于延遲環(huán)節(jié)的存在使重復(fù)控制在動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中有一個(gè)基波周期的延遲，當(dāng)非線性負(fù)載出現(xiàn)突變時(shí)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能較差并產(chǎn)生大幅度的波動(dòng)，從而影響系統(tǒng)的補(bǔ)償效果。 為了提高控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，本文使用比例控制與快速重復(fù)控制相并聯(lián)的復(fù)合控制作為APF 電流內(nèi)環(huán)的控制策略。

圖3 重復(fù)控制的Bode 圖

2.2 快速重復(fù)控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)負(fù)載電流的奇次諧波經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換后為偶次諧波的特性，本文提出一種快速重復(fù)控制策略，該控制策略可以消除所有奇次諧波。 從延遲環(huán)節(jié)可以看出，滯后的階次降低使數(shù)據(jù)所占內(nèi)存變小，進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)運(yùn)算量的減少。 快速重復(fù)控制的內(nèi)模結(jié)構(gòu)如圖4 所示，可以得到其傳遞函數(shù)為:

圖4 快速重復(fù)控制內(nèi)模結(jié)構(gòu)框圖

快速重復(fù)控制的伯德圖如圖5 所示，該控制方法在(2k±1)×50 Hz，k ＝1，2…處具有無(wú)窮大增益，可以有效地抑制電網(wǎng)中的奇次諧波。 此外，它還具有零相移的特性，即可以零穩(wěn)態(tài)誤差補(bǔ)償2k 次諧波，保證了快速重復(fù)控制的穩(wěn)定性。

圖5 快速重復(fù)控制的Bode 圖

2.3 快速重復(fù)控制穩(wěn)定性分析

快速重復(fù)控制框圖如圖6 所示，其中，iref(z)為輸入信號(hào)，ic(z)為輸出信號(hào)，id(z)為電網(wǎng)中的干擾信號(hào)，e(z)為系統(tǒng)輸入誤差，G(z)為被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，C(z)為補(bǔ)償環(huán)節(jié)，Q(z)為濾波環(huán)節(jié)，z-N/6為延遲環(huán)節(jié)，N 為周期采樣點(diǎn)數(shù)，虛線包含的部分為重復(fù)控制器。 進(jìn)而可以得到系統(tǒng)電流閉環(huán)的傳遞函數(shù)為:

式中:kr為重復(fù)控制增益；S(z)為濾波環(huán)節(jié)；zk為超前環(huán)節(jié)。

圖6 快速重復(fù)控制框圖

當(dāng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，誤差傳遞函數(shù)為

由式(10)與(12)可得，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

即H(z)的Nyquist 曲線在單位圓內(nèi)部，就證明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

根據(jù)傳統(tǒng)快速重復(fù)策略對(duì)其控制參數(shù)取值，得到系統(tǒng)采用快速重復(fù)控制時(shí)H(z)的Nyquist 分布圖，如圖7 所示。 由圖可以看出，式H(z)的Nyquist曲線的一部分在臨近單位圓的地方，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，其穩(wěn)定性相對(duì)較差。 由此可以看出單一的快速重復(fù)控制器在輸入信號(hào)Iref(z)產(chǎn)生突變時(shí)，延遲環(huán)節(jié)的存在使得控制器延遲一個(gè)周期輸出，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度較差的同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也變差。

圖7 H(z)的Nyquist 曲線

2.4 基于快速重復(fù)控制的復(fù)合控制策略

針對(duì)快速重復(fù)控制動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能較差的問(wèn)題，本文采用一種將比例控制與快速重復(fù)控制相并聯(lián)的復(fù)合控制策略，該復(fù)合控制框圖如圖8 所示。 G1(z)為比例控制器，用作跟蹤基波信號(hào)并提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；G2(z)為快速重復(fù)控制器，用作補(bǔ)償所有的(2k±1)次諧波分量并改善系統(tǒng)的跟蹤精度，具體形式如式(14)所示。 復(fù)合控制策略可以有效地保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。

圖8 復(fù)合控制框圖

由式(17)可知，采用比例控制與快速重復(fù)控制并聯(lián)的復(fù)合控制策略時(shí)，若使系統(tǒng)穩(wěn)定要同時(shí)滿足:

(1)單獨(dú)采用比例控制時(shí)，H0(z)＝1+G1(z)G(z)的根全部在單位圓內(nèi)。

(2)采用復(fù)合控制時(shí)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足式(18)，其穩(wěn)定條件矢量圖如圖9 所示。

圖9 復(fù)合控制穩(wěn)定條件矢量圖

2.5 補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)

kr為重復(fù)控制增益，其取值與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度成負(fù)相關(guān)，與系統(tǒng)的誤差收斂速度呈正相關(guān)，在實(shí)際應(yīng)用中kr取值通常小于1。

濾波環(huán)節(jié)S(z)主要對(duì)控制系統(tǒng)的幅值和相位進(jìn)行補(bǔ)償，從而使系統(tǒng)可以在低頻段保證控制對(duì)象G(z)中低頻段的幅值特性和零相移，還可以有效地加快系統(tǒng)高頻衰減速度，從而改善控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由APF 的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可知電流環(huán)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型為1/(Ls+R)。 內(nèi)模校正環(huán)節(jié)需要對(duì)傳遞函數(shù)G3(z)進(jìn)行校正，可以得到其連續(xù)域的傳遞函數(shù)為:

zk為超前環(huán)節(jié)，通常用于補(bǔ)償被控對(duì)象G3(z)和S(z)的相位滯后問(wèn)題，可以使系統(tǒng)在中頻段與低頻段接近零相移。

3 控制器參數(shù)選擇與仿真驗(yàn)證

本文使用Simulink 仿真平臺(tái)，通過(guò)建立APF 的仿真模型，驗(yàn)證本文所提控制策略的可行性。 對(duì)比傳統(tǒng)重復(fù)控制策略與復(fù)合快速重復(fù)控制策略的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。 APF 主電路仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 APF 主電路參數(shù)

3.1 控制器參數(shù)選擇

根據(jù)上文所提的控制方法結(jié)合APF 的主電路參數(shù)設(shè)計(jì)控制器參數(shù)。 由于比例控制對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有著很大的影響，因此需要預(yù)先設(shè)計(jì)其控制參數(shù)。 比例控制kp的取值根據(jù)2.4 節(jié)所述的穩(wěn)定性判據(jù)1。 繪制H0(z)隨kp變化的參數(shù)根軌跡如圖10 所示，由圖可知當(dāng)0＜kp＜50 時(shí)，H0(z)的根都分布在單位圓內(nèi)，滿足穩(wěn)定性判據(jù)1。 在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到穩(wěn)定裕度，取kp＝1。

超前環(huán)節(jié)zk的補(bǔ)償效果如圖11 所示，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定條件2，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，需要保證向量H(z)的軌跡總是在單位圓內(nèi)，所以Q(z)的取值小于1，本設(shè)計(jì)取Q(z)＝0.95 可以保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定；重復(fù)控制增益kr取0.2。 本文的采樣頻率為20 kHz，考慮到在實(shí)際應(yīng)用中APF 用來(lái)補(bǔ)償40 次以內(nèi)基波頻率的諧波，故選取截止頻率為2 kHz 的二階低通濾波器作為補(bǔ)償器S(z)，可以得到其在離散域下的傳遞函數(shù)為式(20)。

圖10 H0(z)隨kp 變化的根軌跡

超前環(huán)節(jié)zk參數(shù)的選取由補(bǔ)償被控對(duì)象G3(z)和濾波環(huán)節(jié)S(z)共同決定，其對(duì)S(z)G3(z)的補(bǔ)償效果如圖11 所示。 當(dāng)取k ＝3 時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)相位滯后的有效校正。

系統(tǒng)采用復(fù)合控制時(shí)H(z)的Nyquist 曲線如圖12 所示。 由圖可知該復(fù)合控制的Nyquist 曲線在單位元內(nèi)，根據(jù)式(18)的穩(wěn)定性判據(jù)可以看出該復(fù)合系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖11 超前環(huán)節(jié)zk 的補(bǔ)償效果圖

圖12 H(z)的Nyquist 曲線

3.2 仿真驗(yàn)證

負(fù)載電流的THD 如圖13 所示，由圖可知負(fù)載電流iL中的奇次諧波含量較高，諧波的THD 為29.62%。

系統(tǒng)采用傳統(tǒng)重復(fù)控制與復(fù)合控制時(shí)電網(wǎng)電流THD 分別如圖14(a)和(b)所示，由圖可知，采用復(fù)合控制時(shí)電網(wǎng)電流isa的THD 值相比于傳統(tǒng)重復(fù)控制，由4.65%降為3.14%，可以精確地補(bǔ)償40 次以內(nèi)的所有奇次諧波，從而證明了該復(fù)合控制方法的有效性。 圖15 為采用復(fù)合控制時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)的電流仿真波形，其中isa、iLa和ica分別為電網(wǎng)電流、負(fù)載電流和APF 的輸出電流。

圖13 負(fù)載電流THD

圖14 電網(wǎng)電流THD

圖15 復(fù)合控制電流穩(wěn)態(tài)波形

為驗(yàn)證復(fù)合控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，在0.3 s 時(shí)將負(fù)載在從半載狀態(tài)變?yōu)闈M載狀態(tài)，傳統(tǒng)重復(fù)控制與復(fù)合控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形分別如圖16 與圖17 所示。

圖16 傳統(tǒng)重復(fù)控制動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形

圖17 復(fù)合控制動(dòng)態(tài)響應(yīng)波形

由圖可知，當(dāng)負(fù)載發(fā)生突變時(shí)，傳統(tǒng)重復(fù)控制的電網(wǎng)電流波形需要3 個(gè)周期才可以恢復(fù)正常，而復(fù)合控制在1 個(gè)周期以內(nèi)就可以恢復(fù)正常。 相比于傳統(tǒng)重復(fù)控制，改進(jìn)型復(fù)合控制瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間更短。仿真結(jié)果表明，該復(fù)合控制策略的瞬態(tài)響應(yīng)速度有了較為明顯的提高，并且延遲時(shí)間也有所減少，其可以快速地對(duì)輸入電流諧波的變化做出反應(yīng)并且達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)APF 電流內(nèi)環(huán)采用傳統(tǒng)重復(fù)控制策略時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度慢的問(wèn)題，分析了電網(wǎng)中的電流諧波主要為奇次諧波，奇次諧波經(jīng)坐標(biāo)變換，在dq 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下為偶次交流分量。 提出了針對(duì)奇次諧波的改進(jìn)快速重復(fù)控制策略，即將比例控制與快速重復(fù)控制相結(jié)合的復(fù)合控制策略，并在MATLAB/Simulink仿真平臺(tái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。 可以得出以下結(jié)論:(1)與傳統(tǒng)重復(fù)控制策略相比該復(fù)合控制策略可以有效地提高系統(tǒng)對(duì)奇次諧波的補(bǔ)償精度；(2)該復(fù)合控制策略只有對(duì)奇次諧波有抑制效果，可以將內(nèi)模延時(shí)時(shí)間減少一半，從而提高了輸入電流諧波的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，有效地改善系統(tǒng)整體的響應(yīng)速度；(3)該復(fù)合控制策略縮短了內(nèi)模環(huán)節(jié)的延遲周期，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小，可以有效地節(jié)省數(shù)據(jù)儲(chǔ)空間。