陳旭東 楊樹華 王曉放 劉海濤

（1.大連理工大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院；2.沈陽鼓風(fēng)機(jī)集團(tuán)股份有限公司）

0 引言

高壓比、大流量、高效率、寬運(yùn)行工況是離心壓縮機(jī)設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢[1]。復(fù)雜的運(yùn)行工況帶來的各種激振力可導(dǎo)致葉片動(dòng)應(yīng)力過大，從而引起葉片的高周疲勞破壞，疲勞破壞已是壓縮機(jī)主要的破壞形式之一[2]。準(zhǔn)確計(jì)算葉片的動(dòng)應(yīng)力是葉輪強(qiáng)度設(shè)計(jì)中的重要問題[3]。由于離心壓縮機(jī)葉輪結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)密集，葉輪轉(zhuǎn)速變化等因素影響，使得氣流激振力的頻率范圍寬泛，葉輪共振校核難以完全滿足要求。對于不滿足共振要求的振動(dòng)模態(tài)，需要進(jìn)一步進(jìn)行詳細(xì)的葉輪動(dòng)應(yīng)力計(jì)算。葉輪結(jié)構(gòu)阻尼的計(jì)算是否準(zhǔn)確直接決定了葉輪動(dòng)應(yīng)力的計(jì)算精度。

對于半開式離心壓縮機(jī)，葉輪總阻尼包括材料阻尼和氣動(dòng)阻尼。國外學(xué)者在葉輪阻尼的實(shí)驗(yàn)測量方面做了相關(guān)研究，Kammerer[4]通過實(shí)驗(yàn)測試得到了某離心壓縮機(jī)葉輪的阻尼，以及材料阻尼和氣動(dòng)阻尼在總阻尼中所占的比例。Zemp[5]等利用類似的實(shí)驗(yàn)方法，研究了某離心壓縮機(jī)的氣動(dòng)阻尼以及材料阻尼。相關(guān)實(shí)驗(yàn)測試的主要方法是：首先在真空環(huán)境中測量葉輪的阻尼，此時(shí)得到的是材料阻尼。假設(shè)材料阻尼是常數(shù)，再測量實(shí)際運(yùn)行工況下的阻尼，從中減去材料阻尼部分即可得到氣動(dòng)阻尼。這種方法得到的總阻尼雖然比較精確，但實(shí)驗(yàn)測量很難考慮葉輪的所有模態(tài)以及機(jī)組的各種工況，并且實(shí)驗(yàn)成本也比較高。此外，假設(shè)材料阻尼比在各種工況下是常數(shù)也并不合適，Rao[6]得到了材料阻尼比與結(jié)構(gòu)應(yīng)力幅值的非線性關(guān)系。因此，采用實(shí)驗(yàn)測量得到的材料阻尼和氣動(dòng)阻尼的比例可能與實(shí)際情況差別較大。

利用數(shù)值計(jì)算方法準(zhǔn)確估計(jì)不同工況下葉輪的氣動(dòng)阻尼成為關(guān)鍵問題。Parthasarathy[7]利用數(shù)值計(jì)算，得到了某超音速風(fēng)機(jī)葉片的氣動(dòng)阻尼，并研究了葉間相角對氣動(dòng)阻尼的影響。池志強(qiáng)[8]通過數(shù)值方法分析了風(fēng)力機(jī)柔性葉片在多種隱態(tài)風(fēng)速下一階模態(tài)的氣動(dòng)阻尼。相關(guān)研究[9-10]主要針對軸流透平，對離心透平的研究較少。由于轉(zhuǎn)子葉盤的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，軸流透平的葉片往往呈現(xiàn)行波型振動(dòng)，特別對于軸流葉片一類高而短的結(jié)構(gòu)，可假設(shè)所有葉片均固支于其根部振動(dòng)，各葉片以同樣的頻率和振幅做簡諧振動(dòng)，相鄰葉片的振動(dòng)只相差一個(gè)葉間相角，該方法被廣泛應(yīng)用于軸流葉片氣動(dòng)阻尼的計(jì)算中。但對于離心葉輪結(jié)構(gòu)，因其葉片展向短而弦向長，葉-盤振動(dòng)必須整體分析，不同節(jié)徑的振動(dòng)不僅葉間相角不同，頻率亦發(fā)生變化，故離心葉輪氣動(dòng)阻尼的分析方法與軸流葉片有所不同[11]。近年來，工業(yè)離心壓縮機(jī)葉輪的疲勞破壞時(shí)有發(fā)生，葉輪結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度校核是技術(shù)關(guān)鍵[12]，對離心葉輪氣動(dòng)阻尼特性的深入研究有助于提高葉輪動(dòng)應(yīng)力計(jì)算的精度，進(jìn)而提升葉輪可靠性分析的技術(shù)水平。

本文首先介紹了氣動(dòng)阻尼的數(shù)值計(jì)算方法。通過模態(tài)分析，得到葉輪的固有頻率、振型等數(shù)據(jù)。然后通過線性插值的方式將振型數(shù)據(jù)傳遞到流體仿真模型中，進(jìn)行氣動(dòng)阻尼計(jì)算及分析。在此基礎(chǔ)上，研究了葉片振幅、壓縮機(jī)進(jìn)口的流量、介質(zhì)溫度等對葉輪氣動(dòng)阻尼的影響。

1 氣動(dòng)阻尼計(jì)算方法

葉片表面的非定常氣動(dòng)載荷阻礙葉片振動(dòng)時(shí)，氣動(dòng)載荷做負(fù)功，消耗結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量，即氣體介質(zhì)具有正阻尼效應(yīng)；相反，氣動(dòng)載荷對振動(dòng)中的葉片做正功時(shí)，將使葉片振動(dòng)能量增加，引發(fā)葉片的顫振。由于小幅振動(dòng)引起的流場擾動(dòng)具有線性特點(diǎn)，所以在葉片一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，葉片表面對流體所做的功（即阻尼耗功）為

式中，t0是一個(gè)振動(dòng)周期的開始時(shí)刻；T是振動(dòng)周期；p是葉片表面壓力；v是振動(dòng)速度；n是葉片表面的單位法向量；A是葉片表面面積。葉片振動(dòng)的周期、頻率、振型等振動(dòng)數(shù)據(jù)，由葉片的模態(tài)分析得到。根據(jù)等效黏性阻尼的定義[13]，葉片氣動(dòng)阻尼比為

式中，U0為葉片一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的最大變形能，定義為

式中，v是葉片體積。

本文采用流固弱耦合方法來求解氣動(dòng)阻尼。流固弱耦合方法的主要思想是分別求解結(jié)構(gòu)方程及流體方程，利用線性插值方法將葉片的運(yùn)動(dòng)施加到流固耦合邊界上，實(shí)現(xiàn)葉片在流場中的振動(dòng)。由于Moffatt 和He[14]假設(shè)葉片的模態(tài)和固有頻率不受氣動(dòng)載荷的影響,因此在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中只需考慮無阻尼自由振動(dòng)。主要過程分為以下3步：

1）計(jì)算葉片的固有模態(tài)，得到振型及頻率；

2）利用線性插值方法，設(shè)置最大振幅，將葉片按某階固有振型振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律施加到耦合邊界上，對流場進(jìn)行擾動(dòng)；

3）計(jì)算流場，得到非定常氣動(dòng)力，并結(jié)合已知的葉片振動(dòng)位移，得到一個(gè)葉片振動(dòng)周期內(nèi)的非定常氣動(dòng)功。

氣動(dòng)阻尼計(jì)算利用的是傅里葉變換法（Fourier Transformation Method）。傅里葉變換法的主要思想是，在不同時(shí)刻的情況下，相鄰節(jié)距邊界是具有周期性的。這種方法不需要儲(chǔ)存整個(gè)周期所有節(jié)距邊界上的信號(hào)，只需儲(chǔ)存傅里葉系數(shù)Am來得到任意時(shí)刻的解[15]。時(shí)間傅里葉級數(shù)展開如下

這種算法需要利用至少兩個(gè)葉片通道，如圖1 所示。計(jì)算中，采集的是相鄰兩個(gè)葉片通道交界面上（邊界2）的傅里葉系數(shù)。交界面離周期邊界遠(yuǎn)，信號(hào)質(zhì)量高，計(jì)算比較準(zhǔn)確。

圖1 葉片通道簡化模型Fig.1 The simplified model for passages

圖2 相鄰振動(dòng)葉片間的相位差Fig.2 The phase difference between adjacent vibrating blades

對于典型的葉輪機(jī)械氣體動(dòng)力學(xué)問題（即葉片顫振和強(qiáng)迫響應(yīng)），葉片-輪盤結(jié)構(gòu)通常為周向勻速旋轉(zhuǎn)的循環(huán)對稱模式。對于這類葉片振動(dòng)分析，相鄰振動(dòng)葉片間的相位差如圖2所示，它可以表示為

2 葉輪模態(tài)分析

本文研究對象為一離心壓縮機(jī)半開式徑向葉輪，其出口直徑1 179mm，出口寬度90.39mm，葉片數(shù)為19。由于葉輪是循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)，可以采用葉輪扇區(qū)模型進(jìn)行有限元分析。圖3是葉輪有限元分析模型，葉輪葉片部分采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，輪盤部分采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。考慮葉輪離心力的影響，采用有限元分析軟件Ansys進(jìn)行模態(tài)分析。葉輪一階模態(tài)頻率為384.6Hz，一階模態(tài)振型如圖4所示。

圖3 葉輪有限元模型Fig.3 FE model for impeller

圖4 葉輪一階模態(tài)振型Fig.4 Deformation for the 1st impeller mode

3 半開式離心葉輪氣動(dòng)阻尼分析

3.1 氣動(dòng)阻尼計(jì)算參數(shù)和設(shè)置

葉輪流體域和固體域交界面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)不一一對應(yīng)，需要通過線性插值的方式，將葉片振型的節(jié)點(diǎn)位移數(shù)據(jù)傳遞到交界面上的流體域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)。額定工況下，葉輪的進(jìn)口總壓為99 000Pa，進(jìn)口總溫為298K，質(zhì)量流量為54.88kg/s，轉(zhuǎn)速5 556r/min。Ansys CFX中葉片通道的網(wǎng)格劃分如圖5所示，單個(gè)通道網(wǎng)格單元總數(shù)約為14萬。計(jì)算工質(zhì)為理想空氣。由于離心葉輪中存在較強(qiáng)的逆壓梯度，其可能導(dǎo)致流動(dòng)分離。而SST模型對于強(qiáng)逆壓梯度的邊界層流動(dòng)和流動(dòng)分離預(yù)測有很好的表現(xiàn)，故湍流模型采用SST模型[15]。CFD計(jì)算模型如圖6所示。

圖5 葉片流道網(wǎng)格Fig.5 Mesh of passage for CFD calculation

圖6 CFD計(jì)算模型Fig.6 CFD calculation model

瞬態(tài)CFD計(jì)算以定常計(jì)算結(jié)果為初值，計(jì)算中，一個(gè)振動(dòng)周期設(shè)置70 個(gè)時(shí)間步。額定工況下，葉輪一階模態(tài)的氣動(dòng)阻尼計(jì)算結(jié)果如圖7 所示，由式（1）計(jì)算得到氣動(dòng)阻尼在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的耗能為0.000 284J。根據(jù)式（3）可得葉片的應(yīng)變能為U0=0.018 2J，再由式（2）得氣動(dòng)阻尼比為0.001 24。

圖7 氣動(dòng)阻尼耗功收斂曲線Fig.7 Convergence for aerodynamic damping work

為了盡量消除網(wǎng)格數(shù)量引起的離散誤差，本文選擇4 種網(wǎng)格數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性分析，結(jié)果如表1 所示。由表1可以發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)格數(shù)14萬時(shí)計(jì)算結(jié)果基本滿足計(jì)算精度要求。因此，綜合考慮計(jì)算時(shí)間和計(jì)算資源，本文決定采用14萬網(wǎng)格數(shù)。

表1 網(wǎng)格無關(guān)性分析Tab.1 Grid independence analysis

3.2 葉片振幅對氣動(dòng)阻尼的影響

在葉輪阻尼及動(dòng)應(yīng)力未知的情況下，葉片的振幅是無法準(zhǔn)確估計(jì)的。這里研究葉片振幅大小對氣動(dòng)阻尼的影響，考察了額定工況半開式離心葉輪前三階模態(tài)的氣動(dòng)阻尼比，計(jì)算結(jié)果如圖8 所示。對于同一模態(tài)，在不同振幅下，葉片的氣動(dòng)阻尼比基本保持不變，相關(guān)文獻(xiàn)也得到了類似結(jié)果[16-18]。Bidkar[18]引進(jìn)了一個(gè)無量綱量KC：

其中，A是振幅；c是結(jié)構(gòu)特征長度。

當(dāng)KC 值遠(yuǎn)小于1 時(shí)，氣動(dòng)阻尼比幾乎與振幅無關(guān)。對于離心壓縮機(jī)葉輪而言，振幅A 的范圍在10-5～10-3m，特征長度c的范圍在10-1～1m，KC值遠(yuǎn)小于1。因此，在同一工況某模態(tài)下葉片氣動(dòng)阻尼比可近似為常數(shù)。

圖8 前三階模態(tài)不同振幅下的葉片氣動(dòng)阻尼比Fig.8 Aerodynamic damping ratio for different modes

3.3 進(jìn)口氣體流量及溫度對氣動(dòng)阻尼的影響

在機(jī)組實(shí)際運(yùn)行時(shí)，根據(jù)生產(chǎn)工藝需求，需要改變進(jìn)口氣體流量。為了研究流量對氣動(dòng)阻尼的影響，本文計(jì)算了不同流量下葉片一階模態(tài)的氣動(dòng)阻尼比，結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同流量下的葉片氣動(dòng)阻尼比Fig.9 Aerodynamic damping ratio for different flow rate

可以發(fā)現(xiàn)，同一模態(tài)同一工況下，不同葉片振幅下的葉片氣動(dòng)阻尼比基本不變。表2是不同流量下，取了各振幅的氣動(dòng)阻尼比平均值。可以發(fā)現(xiàn)，隨著進(jìn)口流量的增加，葉片氣動(dòng)阻尼比顯著增大。

表2 不同流量下的平均氣動(dòng)阻尼比Tab.2 Average aerodynamic damping ratio for different flow rate

從壓縮機(jī)運(yùn)行特性方面分析流量對氣動(dòng)阻尼的影響規(guī)律。離心壓縮機(jī)軸功率隨進(jìn)口氣體流量的增大而增大，功率可表示為

其中，T0為作用在葉片上的扭矩；ω0為角頻率。轉(zhuǎn)速不變的情況下，葉片上的扭矩隨功率的增大而增大。而作用在葉片上的扭矩由葉片表面的壓力差決定。因此，氣體流量的增大會(huì)使得葉片表面壓差（壓力載荷）增大。

如圖11 和圖12 所示是不同流量下，0.5 和0.9 倍葉高處（見圖10）的壓力面與吸力面氣動(dòng)壓力差沿流線的分布（葉片一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的平均值）。可以發(fā)現(xiàn)，流量增大時(shí)，葉片表面壓差增大。因此，由式（1）可知，氣動(dòng)阻尼耗功增大，即氣動(dòng)阻尼比隨流量的增大而增大。對于本文研究的半開式離心葉輪，進(jìn)口質(zhì)量流量由85%額定流量變化到104%額定流量，氣動(dòng)阻尼比由0.000 50變?yōu)?.001 61，增大了2.22倍。

圖10 葉輪葉片子午流道Fig.10 Meridional view of blade

圖11 0.5倍葉高處葉片表面的壓差Fig.11 Pressure difference of blade surface at 0.5 blade height

圖12 0.9倍葉高處葉片表面的壓差Fig.12 Pressure difference of blade surface at 0.9 blade height

最后，考察氣體進(jìn)口溫度對氣動(dòng)阻尼的影響。由于壓縮機(jī)進(jìn)口氣體參數(shù)為當(dāng)?shù)卮髿鈪?shù)，進(jìn)口氣體溫度隨環(huán)境的變化而變化，不是恒定值。因此，本文研究了兩種工況下的氣動(dòng)阻尼結(jié)果。這兩種工況包括夏季工況，進(jìn)口溫度為25℃；冬季工況，進(jìn)口溫度為-10℃。由于進(jìn)口壓力的變化相對較小，本文忽略壓力對計(jì)算結(jié)果的影響，即兩種工況下的進(jìn)口總壓取值都為99 000Pa。

壓縮機(jī)運(yùn)行工況的相似條件為：

其中，Qa，Qa' 為兩種工況下的進(jìn)口氣體體積流量；ml為葉輪結(jié)構(gòu)幾何比例；R' ，R 為氣體常數(shù)；Ta' ，Ta為進(jìn)口氣體溫度。對于同一臺(tái)機(jī)組，ml=1；對于同一種氣體，R' =R。因此，冬季工況下，進(jìn)口體積流量為

圖13 是95%～104%額定流量下的氣動(dòng)阻尼計(jì)算結(jié)果。冬季工況與夏季工況計(jì)算結(jié)果類似，氣動(dòng)阻尼比隨著進(jìn)口流量的增大而增大。流量由95%額定流量增大到104%額定流量，氣動(dòng)阻尼比增大了86.1%。

表3 不同進(jìn)口氣體溫度下葉片的氣動(dòng)阻尼比Tab.3 The aerodynamic damping ratio for different inlet air temperature

4 結(jié)論

圖13 冬季工況下不同流量的氣動(dòng)阻尼比Fig.13 Aerodynamic damping ratio for different flow rate in winter

對于本文研究的半開式離心葉輪，冬季工況下，進(jìn)口流量為額定流量的90%時(shí)，數(shù)值計(jì)算不能收斂。這是由于在冬季工況下，進(jìn)口氣體溫度較低，密度較大，質(zhì)量流量一定的情況下，體積流量減小。機(jī)組在冬季變工況運(yùn)行，如果進(jìn)口體積流量進(jìn)一步減小，機(jī)組很可能進(jìn)入非穩(wěn)定流動(dòng)狀態(tài)，甚至發(fā)生喘振。此時(shí)，數(shù)值計(jì)算得到的流場也是非穩(wěn)定的，無法得到一個(gè)恒定的氣動(dòng)阻尼值。

最后，由表3可知，額定流量下，對于葉輪的一階模態(tài)，夏季工況（進(jìn)口氣體溫度為25℃）和冬季工況（進(jìn)口氣體溫度為-10℃）葉片的氣動(dòng)阻尼比分別為0.001 24和0.003 03，冬季工況葉片的氣動(dòng)阻尼比夏季工況增大了1.46倍。

本文研究了某半開式離心葉輪的氣動(dòng)阻尼特性，并且對氣動(dòng)阻尼的影響因素進(jìn)行了理論分析。流固弱耦合計(jì)算可以使固體域與流體域分別建模，通過線性插值完成位移載荷的傳遞，從而使計(jì)算大大簡化，實(shí)現(xiàn)任意固有頻率及不同流場狀態(tài)下的氣動(dòng)阻尼的計(jì)算。

分析發(fā)現(xiàn)葉輪在同一工況同一模態(tài)下的氣動(dòng)阻尼比與葉片振幅基本無關(guān)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，進(jìn)口氣體溫度一定時(shí)，葉輪氣動(dòng)阻尼比隨流量的增大而增大；而質(zhì)量流量一定時(shí)，葉輪氣動(dòng)阻尼比隨進(jìn)口氣體溫度的減小而增大。因此，在設(shè)計(jì)中需要考慮變工況對氣動(dòng)阻尼的影響。

半開式葉輪的總阻尼包括氣動(dòng)阻尼和材料阻尼兩部分，本文只對氣動(dòng)阻尼特性進(jìn)行了初步研究，需要進(jìn)一步綜合考慮氣動(dòng)阻尼和材料阻尼的共同作用，才能獲得準(zhǔn)確的動(dòng)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果。