基于物理觀念 突出問題本質(zhì) 強(qiáng)化科學(xué)思維
——對(duì)一道物理復(fù)賽理論題解法的分析思考

陳鴻翔

(湖州市菱湖中學(xué) 浙江 湖州 313018)

1 問題呈現(xiàn)與命題分析

第35屆全國中學(xué)生物理復(fù)賽理論題第2題呈現(xiàn)如下.

【原題】如圖1所示，勁度系數(shù)為κ的輕彈簧左端固定，右端連一質(zhì)量為m的小球；彈簧水平，它處于自然狀態(tài)時(shí)，小球位于坐標(biāo)原點(diǎn)O；小球可在水平地面上滑動(dòng)，它與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.小球初始速度為零，將此時(shí)小球相對(duì)于原長的伸長量記為-A0(A0>0,但A0并不是已知量).重力加速度大小為g，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.

(1)如果小球至多只能向右運(yùn)動(dòng)，求小球最終靜止的位置和此種情形下A0應(yīng)滿足的條件；

(2)如果小球完成第一次向右運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)右邊后，至多只能向左運(yùn)動(dòng)，求小球最終靜止的位置和此種情形下A0應(yīng)滿足的條件；

(3)如果小球只能完成n次往返運(yùn)動(dòng)(向右經(jīng)過原點(diǎn)，然后向左經(jīng)過原點(diǎn)，算1次往返)，求小球最終靜止的位置和此種情形下A0應(yīng)滿足的條件；

(4)如果小球只能完成n次往返運(yùn)動(dòng)，求小球從開始運(yùn)動(dòng)直至最終靜止的過程中運(yùn)動(dòng)的總路程.

圖1 原題題圖

因此，要系統(tǒng)地解決該問題，必須要從振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)出發(fā)，以運(yùn)動(dòng)和相互作用的物理觀念為指導(dǎo)，運(yùn)用矢量分析法，結(jié)合數(shù)學(xué)工具——振動(dòng)的微分方程得出小球沿水平面做機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式，進(jìn)而通過類比歸納的方式解決小球最終靜止位置x與彈簧初始形變量A0的關(guān)系.故可構(gòu)建解決問題的核心素養(yǎng)導(dǎo)向與要求的脈絡(luò)圖如圖2所示.

圖2 問題解決的核心素養(yǎng)脈絡(luò)圖

2 基于問題物理本質(zhì)下的解法探討與呈現(xiàn)

2.1 對(duì)小球靜止位置x與A0所滿足條件的求解

根據(jù)運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念指導(dǎo)下的解析要求，需對(duì)小球向右與向左運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行受力分析與運(yùn)動(dòng)分析，其受力分析如圖3所示.

(a)小球向右運(yùn)動(dòng)

(b)小球向左運(yùn)動(dòng)

根據(jù)受力分析與運(yùn)動(dòng)分析，取向右為小球運(yùn)動(dòng)的正方向，并結(jié)合牛頓第二定律可得小球向右運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)微分方程為

整理以后有

其中

因此可得小球運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(1)

列出小球向左運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)微分方程

同理可得小球向左運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(2)

對(duì)式(1)和式(2)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)可得小球運(yùn)動(dòng)速度v隨時(shí)間變化的關(guān)系式分別為

v=ωAcos (ωt+φ)v=ωBcos (ωt+φ)

(3)

可得

v=ωAcos (2nπ+φ)=ωAcosφ=0

由于小球仍能向右運(yùn)動(dòng)，故κAn>μmg,因此系數(shù)A<0,故cosφ=0，sinφ=1，因此小球開始第n+1次往返并向右運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程滿足

(4)

因此可得到小球此時(shí)向左返回時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(5)

因此,通過類比歸納得出小球經(jīng)n次往返運(yùn)動(dòng)到最左端時(shí)相對(duì)于O點(diǎn)的位移大小為

(6)

其中A0為小球運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻相對(duì)于O點(diǎn)的位移大小，即彈簧初始時(shí)刻的形變量大小，因此An也可理解為彈簧經(jīng)小球n次往返后的形變量大小.

因此,小球開始第n+1次往返至右端的最大位移Bn的大小滿足

(7)

根據(jù)以上分析可得到小球做機(jī)械振動(dòng)的位移-時(shí)間圖像如圖4所示.

圖4 小球做機(jī)械振動(dòng)的位移-時(shí)間圖像

根據(jù)圖4并結(jié)合式(6)和式(7)可得到小球經(jīng)n次往返運(yùn)動(dòng)后所靜止的位置x及A0所滿足的條件為

(1)若小球第n次往返中向左通過O點(diǎn)并不再向右返回，則

-An<0κAn≤μmg

故有

此時(shí)小球靜止于

(2)若小球開始第n+1次往返并向右運(yùn)動(dòng)但未通過O點(diǎn)，則κAn>μmg，Bn≤0，故有

(3)若小球開始第n+1次往返向右通過O點(diǎn)，但不再向左運(yùn)動(dòng)，則Bn>0，κBn≤μmg，故有

此時(shí)小球靜止于

(4)若小球在第n+1次往返中向左運(yùn)動(dòng)但未通過O點(diǎn)，則-An+1≥0，κBn>μmg，故有

此時(shí)小球靜止于

點(diǎn)評(píng)：解決動(dòng)力學(xué)問題，最能突出問題物理本質(zhì)的求解方法是給出物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并結(jié)合物體隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)圖像，從而能夠在任意時(shí)刻描述物體的受力情況與運(yùn)動(dòng)情況.盡管在高中階段的機(jī)械振動(dòng)問題中引入運(yùn)動(dòng)的微分方程要求較高，但對(duì)于中學(xué)物理競(jìng)賽而言，適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法的應(yīng)用與拓展有助于加深學(xué)生對(duì)物理模型建構(gòu)與定量解析的認(rèn)識(shí)，并加強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)思維.

2.2 運(yùn)用數(shù)列求和計(jì)算小球運(yùn)動(dòng)全過程的路程

從深化學(xué)生物理觀念與深度培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的角度來說，最好的方法就是拓展問題已有的解法，從而在豐富問題本身物理涵義的基礎(chǔ)上對(duì)答題的思路與角度加以延伸，使學(xué)生在觀念上予以認(rèn)同，思維上獲得感知.

由于小球在運(yùn)動(dòng)過程中所受的摩擦阻力大小恒定不變且已知，因此,在求解路程的常規(guī)方法上選擇能量守恒定律，即彈簧彈性勢(shì)能的減少量等于小球克服摩擦力阻力的功，即

但由于小球往返運(yùn)動(dòng)中相對(duì)于O點(diǎn)向左與向右的位移滿足隨往返次數(shù)n呈現(xiàn)等差數(shù)列的變化規(guī)律，不妨利用等差數(shù)列求和公式來計(jì)算小球運(yùn)動(dòng)過程中的總路程s.

已知小球第n次運(yùn)動(dòng)到最右端時(shí)與O點(diǎn)的距離為

第n次返回最左端時(shí)與O點(diǎn)的距離為

根據(jù)上文中圖4所示，并結(jié)合小球機(jī)械振動(dòng)的往復(fù)性特點(diǎn)可知運(yùn)動(dòng)過程的總路程s滿足

s=A0+(A1+…+An-1)×2+An+

(B0+B1+…+Bn-1)×2=

s=A0+(A1+…+An-1+An)×2+

(B0+B1+…+Bn-1)×2+Bn=

s=A0+(A1+…+An-1+An)×2+

An+1+(B0+B1+…+Bn-1+Bn)×2=

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有阻力作用下的機(jī)械振動(dòng)其振幅逐漸減小，求解小球運(yùn)動(dòng)的總路程不僅需要考慮等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，同時(shí)還需要考慮振動(dòng)往復(fù)性與運(yùn)動(dòng)反向前后行進(jìn)路程大小的對(duì)稱性，故不能簡(jiǎn)單地對(duì)數(shù)列{An}與{Bn}求和.因此,該方法對(duì)機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)探討更深入，雖然在模型的構(gòu)建上與解析上有更高的要求，但對(duì)于學(xué)生思維與推理能力的鍛煉能起到更好的作用與效果.