考慮公差的結(jié)構(gòu)可靠性研究

吳霄翔 洪乾坤

（浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院，浙江 杭州 311231）

0 引言

傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)通常為結(jié)構(gòu)重量最小化，尋求滿足各種性能要求的最優(yōu)尺寸設(shè)計值。然后根據(jù)經(jīng)驗給定結(jié)構(gòu)構(gòu)件尺寸的制造公差，要求控制構(gòu)件尺寸在允許的偏差范圍內(nèi)[1]。但是幾何誤差結(jié)合結(jié)構(gòu)中其它存在的不確定性因素（如荷載變化，材料性能退化等），勢必會對結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生擾動，影響可靠性，目前，這方面的研究相對較少。因此關(guān)于公差對結(jié)構(gòu)可靠性的影響研究具有重要的理論意義和工程實踐價值。

本文研究可靠性指標(biāo)的求解策略，利用懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性指標(biāo)的迭代計算，通過優(yōu)化算例計算各種公差下結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)，揭示公差對于結(jié)構(gòu)可靠性的重要影響，為構(gòu)件制造和實際工程設(shè)計提供參考依據(jù)。

1 結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)

1.1 可靠性方法

可靠性優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)是提高結(jié)構(gòu)的設(shè)計質(zhì)量，減小結(jié)構(gòu)破壞的可能性，即保證結(jié)構(gòu)的安全性能在可承受的范圍之內(nèi)。對于一般問題的概率可靠度分析，大多依據(jù)國際安全度聯(lián)合委員會推薦的一次二階矩法，而目前被廣泛應(yīng)用于求解可靠度指標(biāo)的是由Rackwitz和Fiessler[2]在1977年提出的一次二階矩方法中的驗算點法（又稱HL-RF方法），

將隨機變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量u。采用下列標(biāo)準(zhǔn)化方法將區(qū)間變量y轉(zhuǎn)化為0至1區(qū)間分布的標(biāo)準(zhǔn)化變量q，

1.2 概率可靠性指標(biāo)

結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)β的幾何意義：在標(biāo)準(zhǔn)u空間中，功能函數(shù)面g(u)=0上尋找一點u，使其與坐標(biāo)原點的距離最短，由此，可以得到可靠性指標(biāo)計算的優(yōu)化模型為

圖1 可靠性指標(biāo)迭代示意圖

于是，計算可靠性指標(biāo)β轉(zhuǎn)化為求解最短距離的問題，求解這一優(yōu)化問題可采用一次二階矩的HL-RF方法，可靠性指標(biāo)的迭代計算采用如下所示公式：

2 公差對結(jié)構(gòu)可靠性的影響

傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法先確定尺寸參數(shù)的最優(yōu)設(shè)計值，再根據(jù)經(jīng)驗給出尺寸公差的絕對值或相對值，我們模擬傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的思路，利用懸臂梁進(jìn)行考慮公差的結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)計算，揭示其影響。

圖2所示的某圓截面懸臂梁，各參數(shù)如下：懸臂梁長度為L=100cm，材料密度，其自由端受到向下荷載F的作用，材料彈性模量為E，假定F、E為2個隨機變量，描述為：F、E均屬于正態(tài)分布隨機表量，其均值分別取Fu=100N、Eu=10MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為均值的5%。

假定懸臂梁自由端豎向位移大于0.15cm時，結(jié)構(gòu)失效，因此極限狀態(tài)方程可定義為

圖2 懸臂梁結(jié)構(gòu)圖

2.1 確定性優(yōu)化（DDO）

在進(jìn)行傳統(tǒng)確定性優(yōu)化設(shè)計時，不考慮材料性能、載荷等不確定性因素的影響，優(yōu)化設(shè)計中，選取圓截面懸臂梁直徑d作為設(shè)計變量，取2cm為設(shè)計初始值，10cm和0.01cm分別為上下限，以圓截面懸臂梁結(jié)構(gòu)材料重量最小化為目標(biāo)，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可描述為：

式中，d為設(shè)計變量，f(d)為目標(biāo)函數(shù)，dL和dU分別是設(shè)計變量的上下限。

計算得到最優(yōu)尺寸設(shè)計值為4.61cm，然后我們給出直徑尺寸的絕對制造公差，為比較制造公差對結(jié)構(gòu)可靠性的影響，給出若干組數(shù)據(jù)，假定絕對制造公差為Δ=(0,0.1,0.2,,1 )，結(jié)合其他不確定因素，計算得到結(jié)構(gòu)的失效概率如表1所示。從表中可以看出，公差對確定性優(yōu)化的結(jié)構(gòu)安全性有很大影響，會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)普遍失效。

表1 DDO失效概率

2.2 概率可靠性優(yōu)化（RBDO）

在概率可靠性優(yōu)化設(shè)計中，考慮材料性能、載荷等不確定性因素的影響，其他條件均不變，設(shè)定結(jié)構(gòu)概率可靠性指標(biāo)下限為，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型描述為：

式中，βm[g(d)≥0]為功能函數(shù)(d)≥0要求下的概率可靠性指標(biāo)，為預(yù)先給定的可靠性指標(biāo)下限值。

計算得到最優(yōu)尺寸設(shè)計值為4.78cm，然后我們給出尺寸的絕對制造公差，為比較制造公差對結(jié)構(gòu)可靠性的影響，給出若干組數(shù)據(jù)，假定絕對制造公差為△=(0,0.1,0.2,L,1)，結(jié)合材料性能、載荷等其他不確定因素，計算得到結(jié)構(gòu)的失效概率如表2所示。從表中可以看出，公差對進(jìn)行傳統(tǒng)概率可靠性優(yōu)化的結(jié)構(gòu)安全性有較大影響，若人為給出的制造公差較大，會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。

表2 RBDO失效概率

圖3 失效概率與公差的關(guān)系

3 結(jié)語

根據(jù)確定性優(yōu)化（DDO）及概率可靠性優(yōu)化（RBDO）的指標(biāo)和概率數(shù)據(jù)，繪制如圖3所示的曲線圖。由圖可知，若采用傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計方法（DDO和RBDO），人為給出的制造公差結(jié)合其它不確定性因素，將嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的安全性能，甚至導(dǎo)致失效，因此，在設(shè)計階段即確定結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的最佳尺寸及其合理公差，使其既能滿足結(jié)構(gòu)的可靠性要求，又使得結(jié)構(gòu)重量或者成本最小化。