非齊度量測度空間上奇異積分算子的Lipschitz交換子

崔洪艷，趙 凱

(1.青島黃海學院數理教學部，山東 青島 266427；2.青島大學數學與統計學院，山東 青島 266071)

0 引言

雖然雙倍條件在調和分析理論中起著重要的作用，但是近年來的許多研究結果表明，在非雙倍條件下，Rn上許多經典的函數空間理論和奇異積分算子有界性的結果依然成立.[1-4]

文獻[5]引入了一類同時滿足幾何雙倍條件和上雙倍條件的非齊度量測度空間，這類空間實際上包含了齊型空間和非雙倍測度空間.文獻[6-7]引入了非齊度量測度空間上的Hardy空間，并討論了此空間的等價刻畫和奇異積分算子的有界性.關于非齊度量測度空間奇異積分算子及交換子的有界性問題也被許多作者關注[8-13].文獻[14-15]對Herz型空間的研究取得了豐碩的成果.基于上述結果，2018年，文獻[16]引進了非齊度量測度空間上的Herz空間和Herz型Hardy空間，討論了其等價刻畫和相互關系，并研究了Calderón-Zygmund算子的有界性問題.

自1965年Calderón[17]研究交換子以來，交換子理論備受關注，取得了豐富成果[10-12，18-20].基于齊型空間的結果，本文主要在非齊度量測度空間上，討論Calderón-Zygmund算子和廣義分數次積分算子與Lipschitz函數生成的交換子在Morrey-Herz型空間的有界性問題，證明了這兩類交換子都是Morrey-Herz空間上有界的.

1 基本概念和理論

定義1[16]設(X，d)是一個度量空間.如果存在某個正整數N0，使得對任意的球B(x，r)?X，其中x∈X，r∈(0，∞)，都存在至多N0個球{B(xi，r/2)}i構成B(x，r)的一個覆蓋，則稱度量空間(X，d)是幾何雙倍的.

定義2[5]如果μ是X上的Borel測度，并存在一個控制函數λ：X×(0，∞)→(0，∞)，使得對每一個x∈X，λ(x，r)關于r都單調不減，且存在一個依賴于λ的正常數C(λ)，使得對任意的x∈X和r∈(0，∞)，有

(1)

則稱度量測度空間(X，d，μ)是上雙倍的.

(2)

非齊度量測度空間(X，d，μ)是既滿足幾何雙倍條件又滿足上雙倍條件的度量測度空間.以下總假設(X，d，μ)是一個非齊度量測度空間，并且控制函數λ滿足(2)式.

定義3[5]令a，β>1，若μ(αB)≤βμ(B)，則球B?X被稱為是一個(α，β)-倍球，其中對于所有的球B∶=B(cB，rB)和ρ∈(0，∞)，ρB∶=B(cB，ρrB).

定義4[5]設η>0，若對所有的r∈(0，2diam(X))和a∈(1，2diam(X)/r)，存在一個只依賴于a和X的常數C(a)>1，使得對于所有的x∈X，λ(x，ar)≥C(a)λ(x，r)，并且

(3)

則稱控制函數λ滿足η-弱逆倍條件.

易知，若η1<η2，λ滿足η1-弱逆倍條件，則λ也滿足η2-弱逆倍條件.

(4)

其中

(5)

定義7令β∈(0，1].函數f：X→C稱為屬于Lipβ(μ)，如果

(6)

或者

(7)

2 奇異積分算子及主要結果

定義8[9]如果存在一個正常數C(K)，使得：

(ⅰ) 對于任意的x，y∈X，x≠y，

(8)

(9)

(10)

則稱T是非齊度量測度空間上的一個Calderón-Zygmund算子.

關于非齊度量測度空間上Calderón-Zygmund算子有界性問題可參見文獻[9].下面是Calderón-Zygmund算子有界性的一個重要結論：

引理2[9]假設(X，d，μ)是一個非齊度量測度空間，T是一個Calderón-Zygmund算子，則以下幾種情況是等價的：

(ⅰ)T在L2(μ)上是有界的；

(ⅱ) 對于q>1，T在Lq(μ)上是有界的；

(ⅲ)T是L1(μ)到弱-L1(μ)有界的.

(ⅰ) 對于任意的x，y∈X，x≠y，|Kσ(x，y)|≤CKσ[λ(x，d(x，y))]σ-1；

則稱Tσ是非齊度量測度空間上的一個廣義分數次積分算子.

引理3[10]設Tσ是非齊度量測度空間上的一個廣義分數次積分算子，0<σ<1，則以下兩個結論是等價的：

積分算子T和函數b生成的交換子定義為

[T，b]f(x)∶=b(x)Tf(x)-T(bf)(x)，x∈X.

本文的主要結果如下：

(11)

對于I2，由引理2可知，T是Lq(μ)上有界的.因此，注意到定義7，有

這樣，由不等式

(12)

及η-弱逆倍條件，可以得到

對于I1，注意到若j≤l-1，x∈Cl，y∈Bj，且x∈X2Bj，則λ(x，d(x，y))～λ(x0，d(x，x0)).因此，由定義8，并應用H?lder不定式，有

所以，由(12)式，并應用η-弱逆倍條件，得

至此，結合(11)式，定理1得證.

對于J2，由引理3知Tσ是Lq1(μ)到Lq2(μ)有界的.因此，注意到定義7，有

同樣，由不等式(12)可知

(13)

再利用η-弱逆倍條件，可以得到

對于J1，注意到j≤l-1，x∈Cl，y∈Bj，且x∈X2Bj，所以

λ(x，d(x，y))～λ(x0，d(x，x0)).

因此，由定義9，并應用H?lder不定式，有

由(13)式，并應用η-弱逆倍條件，得

這就完成了定理2的證明.