梁子璇，郭 棟，朱圣英，任 章

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2. 深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點實驗室，北京 100081；3. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076；4. 北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

高超聲速飛行器能夠依靠氣動升力在臨近空間遠(yuǎn)距離飛行，可執(zhí)行快速偵察或打擊任務(wù)。此類飛行器彈道靈活，若采用特定的威脅規(guī)避制導(dǎo)技術(shù)，則將具備極強(qiáng)的機(jī)動突防能力[1-4]。因此，高超聲速飛行器一旦用作武器，將給現(xiàn)有的導(dǎo)彈防御系統(tǒng)帶來巨大威脅。為了應(yīng)對這種威脅，必須發(fā)展專門針對高超聲速目標(biāo)的先進(jìn)攔截技術(shù)[5-6]。

攔截器的彈道一般分為三個階段[7]：初始段(或發(fā)射段)、中制導(dǎo)段(或巡航段)、末制導(dǎo)段(或交戰(zhàn)段)。中制導(dǎo)段的使命是為末制導(dǎo)段交戰(zhàn)提供有利的初始陣位。所有可行的初始陣位構(gòu)成末段交戰(zhàn)窗口(Terminal engagement window, TEW)，攔截器只有從窗口內(nèi)出發(fā)，才有能力實現(xiàn)對目標(biāo)的攔截。相關(guān)研究中，TEW也稱為攻擊區(qū)、捕獲區(qū)或發(fā)射區(qū)[8-11]。窗口邊界的計算問題可以歸結(jié)為求解不同方向上的最遠(yuǎn)(最大)和最近(最小)距離[12]。當(dāng)評估某一方向上的某一距離是否位于窗口之內(nèi)時，常用的方法是：在特定導(dǎo)引律下，通過數(shù)值積分得到攔截彈道，再根據(jù)最終的脫靶量等指標(biāo)來做出判斷。黃國強(qiáng)等[12]通過大規(guī)模的飛行軌跡仿真，計算出了空空導(dǎo)彈的三維攻擊區(qū)。在此基礎(chǔ)上，吳勝亮等[13]研究了升阻比和隨機(jī)風(fēng)場對空空導(dǎo)彈三維攻擊區(qū)的影響。進(jìn)一步，Hui等[14]針對隨機(jī)風(fēng)場影響，建立了考慮時間變化的四維攻擊區(qū)生成方法。由于最遠(yuǎn)、最近距離的優(yōu)化過程涉及到飛行軌跡的數(shù)值積分，故此類方法的求解效率低，在線使用難度大，不滿足高超聲速目標(biāo)攔截的快速響應(yīng)需求。

臨近空間高超聲速目標(biāo)具有速度高、過載小的特點，其轉(zhuǎn)彎能力遠(yuǎn)低于空空導(dǎo)彈，這為建立解析形式的攔截條件提供了可能。Tyan[15]針對高速非機(jī)動目標(biāo)，基于純比例導(dǎo)引律研究了視線坐標(biāo)系下的攔截條件，并在速度前置角(速度方向與彈目視線方向的夾角)平面建立了捕獲區(qū)。在此基礎(chǔ)上，Wang等[16]基于反比例導(dǎo)引律研究了視線坐標(biāo)系下的攔截條件，并給出了攔截器的最優(yōu)初始位置和速度方向。周覲等[17]針對高超聲速目標(biāo)，分析了比例導(dǎo)引律和反比例導(dǎo)引律對應(yīng)的捕獲區(qū)，并得到了相同條件下后者大于前者的結(jié)論。然而，這些研究中的捕獲區(qū)都建立在速度前置角坐標(biāo)系，不能給出直觀的交戰(zhàn)幾何關(guān)系，此外，攔截條件也都是針對非機(jī)動目標(biāo)建立的。

本文針對巡航段和平衡滑翔段的高超聲速目標(biāo)，研究水平面的TEW快速生成方法。首先，結(jié)合高超聲速目標(biāo)及攔截器轉(zhuǎn)彎半徑大的特點，建立解析形式的攔截條件。在此基礎(chǔ)上，針對非機(jī)動目標(biāo)和機(jī)動目標(biāo)，依次推導(dǎo)TEW邊界的解析方程。同時，為尋找TEW內(nèi)相對有利的交戰(zhàn)位置，引入了攔截器初始航向角可控裕度的概念。最后，通過仿真驗證了所提出方法的有效性，分析了TEW邊界和可控裕度的影響因素，并與傳統(tǒng)數(shù)值方法進(jìn)行了對比。

1 攔截運(yùn)動建模

對于巡航段和平衡滑翔段的臨近空間高超聲速目標(biāo)，其縱向彈道受到熱流密度、動壓、過載等多種約束，縱向機(jī)動能力較弱[7]。為此，本文忽略攔截器與目標(biāo)在縱向平面的相對運(yùn)動，針對水平面的陣位關(guān)系建立二維交戰(zhàn)窗口。首先，對末制導(dǎo)段攔截運(yùn)動做出如下假設(shè)：

假設(shè)1. 攔截器與目標(biāo)位于相同的高度，僅考慮二者在水平面的相對運(yùn)動；

假設(shè)2. 末制導(dǎo)段持續(xù)時間較短，攔截器與目標(biāo)的速度大小均為常值。

末制導(dǎo)段初始時刻，攔截器與目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。圖中，M和T分別代表攔截器和目標(biāo)，坐標(biāo)原點為目標(biāo)初始位置，x軸與目標(biāo)初始速度方向重合。變量vT和nT分別為目標(biāo)的速度大小和法向過載。攔截器位置由相對距離r和視線方向θ決定，速度大小為vM，法向過載為nM，速度前置角為ηM，彈目視線角為qM，航向角為ψM。

圖1 攔截器與目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Engagement geometry of interceptor and target

由此，建立目標(biāo)與攔截器的運(yùn)動方程

(1)

(2)

式中：(xT,yT)和(xM,yM)分別為目標(biāo)和攔截器的位置，ψT和ψM分別為目標(biāo)和攔截器的航向角。由于目標(biāo)初始速度方向與x軸重合，故有ψT(0) = 0。攔截器的初始航向角為

ψM(0)=π+θ0+ηM(0)

(3)

式中：ηM(0)為攔截器初始速度前置角。進(jìn)入末制導(dǎo)段時，為使導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)，應(yīng)滿足視場角約束。若最大視場角為ηField，則有

-ηField≤ηM(0)≤ηField

(4)

此外，目標(biāo)和攔截器的機(jī)動能力也均受到約束，表達(dá)式為

-NT≤nT(t)≤NT

(5)

-NM≤nM(t)≤NM

(6)

式中：NT和NM分別為目標(biāo)和攔截器的最大法向過載。

令Δv為攔截器速度與目標(biāo)速度在彈目視線垂直方向上的分量之差，則有

Δv(t)=vMsinηM(t)-vTsinθ(t)

(7)

理想的攔截條件是Δv(t) = 0，此時，攔截器與目標(biāo)在彈目視線垂直方向上的投影相同，攔截器可在無控條件下實現(xiàn)對非機(jī)動目標(biāo)的攔截，即“零控攔截”。

2 TEW快速生成方法

2.1 TEW定義

在圖1建立的坐標(biāo)系中，定義

W={(x0,y0)∈R2:xM(0)=x0,yM(0)=y0,

xM(tf)=xT(tf),yM(tf)=yT(tf)}

(8)

式中：(x0,y0)為攔截器初始位置，tf為攔截時間，表征TEW的集合W由所有能夠?qū)崿F(xiàn)攔截的初始位置構(gòu)成。需要注意，本文僅考慮由相對位置、速度、機(jī)動能力等決定的交戰(zhàn)窗口，而實際交戰(zhàn)中攔截器能否命中目標(biāo)是由多種因素綜合決定的。

攔截器的初始位置可由初始彈目距離和視線方向表示：

(9)

式中：r0=r(0)，θ0=θ(0)。

于是，求解TEW可轉(zhuǎn)化為搜索(r0,θ0)的可行集。相對于高超聲速目標(biāo)，攔截器很難獲得較大的速度優(yōu)勢，不適合采取尾追的攔截方式。因此，只需考慮θ0∈(-π/2, π/2)的情況。非故障情況下，攔截器在其左、右方向具有同樣的機(jī)動性能。于是，窗口關(guān)于x軸對稱，只需考慮θ0∈[0, π/2)的情況即可。

對于初始距離，約束表達(dá)式為

(10)

式中：rmin和rmax分別為末制導(dǎo)段最小和最大交戰(zhàn)距離。

因此，(r0,θ0)可行集的搜索范圍可縮小至

(11)

TEW的邊界由三部分構(gòu)成，分別為最小交戰(zhàn)距離決定的內(nèi)邊界、最大交戰(zhàn)距離決定的外邊界，以及機(jī)動能力決定的側(cè)向邊界。因此，求解TEW邊界的關(guān)鍵在于確定其側(cè)向邊界對應(yīng)的r0與θ0的關(guān)系。

2.2 高超聲速非機(jī)動目標(biāo)攔截條件

考慮非機(jī)動目標(biāo)，即目標(biāo)法向過載為nT(t)=0，對式(1)進(jìn)行積分得到

(12)

此時，目標(biāo)只能在x軸上被命中。若攔截器初始速度前置角為0，則飛行軌跡如圖2所示。圖中，xM(t*)為攔截器與x軸第一次相交的位置，故yM(t*) = 0。

圖2 初始速度前置角為0時的攔截軌跡示意圖Fig.2 Trajectory of interceptor with zero initial lead angle

引理 1. 對于任意θ0∈(0, π/2)，當(dāng)滿足以下兩個條件之一時，攔截器可以命中非機(jī)動目標(biāo):

條件1：Δv(0) ≤ 0且xM(t*) ≥xT(t*)；

條件2：Δv(0) ≥ 0且xM(t*) ≤xT(t*)。

證. 若滿足條件1，則由xM(t*) ≥xT(t*)與yM(t*) =yT(t*) = 0，可得θ(t*) = 0且0 ≤ηM(t*) ≤ π。進(jìn)而，代入式(7)得到

Δv(t*)=vMsinηM(t*)≥0

(13)

式(7)中，ηM(t*)和θ(t*)均隨時間連續(xù)變化，故Δv(t)為連續(xù)函數(shù)。于是，由式(13)及條件1中的Δv(0) ≤ 0可知，存在t1∈[0,t*]，使得Δv(t1) = 0。根據(jù)“零控攔截”條件可知，攔截器可以命中非機(jī)動目標(biāo)。此時，一條可行的攔截軌跡為：攔截器先以最大法向過載轉(zhuǎn)彎，當(dāng)滿足Δv= 0時，再以零法向過載飛行，最后命中目標(biāo)。需要注意的是，在滿足條件1的情況下，可能存在無數(shù)條能夠命中目標(biāo)的攔截軌跡。例如，當(dāng)Δv(0) = 0時，攔截器可以全程“零控”，也可以采取一定的機(jī)動。軌跡形式與制導(dǎo)方法相關(guān)，而本文研究的交戰(zhàn)窗口只關(guān)注能夠命中目標(biāo)的攔截器初始陣位，故不對軌跡深入討論。

同理可證，滿足條件2時，存在t2∈[0,t*]，使得Δv(t2) = 0，故攔截器同樣可以命中目標(biāo)。

假設(shè)3. 對于高超聲速目標(biāo)攔截器，其最小轉(zhuǎn)彎半徑RM滿足

(14)

定理 1. 對于任意θ0∈(0, π/2)，當(dāng)Δv(0) ≤ 0時，若滿足以下條件，則攔截器可以命中高超聲速非機(jī)動目標(biāo)：

(15)

式中：

(16)

證. 當(dāng)Δv(0) ≤ 0時，攔截器軌跡類似圖2中所描述，xM(t*)的取值由攔截器法向過載決定。當(dāng)攔截器采用正的最大法向過載，即nM(t) =NM時，xM(t*)取值最大。若以航向角為自變量，式(2)可寫為

(17)

取nM(t) =NM，積分式(17)可得

(18)

令yM(t*) = 0，則有

(19)

(20)

由式(14)可知上式成立，故ψM(t*)有解?？紤]到ψM(t*)∈(π, 2π)，可解得

ψM(t*)=2π-arccosF1

(21)

代入式(18)，可得

(22)

另一方面，由于攔截器采用最大法向過載轉(zhuǎn)彎，時間t*為

(23)

代入式(12)，可得

(24)

結(jié)合式(21)有

(25)

當(dāng)xM(t*) ≥xT(t*)，即滿足式(15)時，由引理1中條件1可知，攔截器可以命中非機(jī)動目標(biāo)。

注1. 當(dāng)攔截器轉(zhuǎn)彎半徑滿足式(14)時，定理1也可作為其它低速目標(biāo)的攔截條件。

定理2. 對于任意θ0∈(0, π/2)，當(dāng)Δv(0) ≥ 0時，若滿足以下條件，則攔截器可以命中高超聲速非機(jī)動目標(biāo)：

(26)

式中：

(27)

定理2與定理1的證明過程類似，這里不再贅述。

2.3 高超聲速非機(jī)動目標(biāo)TEW生成方法

定理1的證明中，攔截器采用正的最大法向過載，并得到xM(t*)最大值。當(dāng)xT(t*)不超過xM(t*)最大值時，攔截器能夠命中目標(biāo)，故位置(r0,θ0)在TEW內(nèi)。否則，攔截器無法在第一次與x軸相交時命中目標(biāo)。這種情況下，攔截器只能調(diào)整航向并以尾追方式來攔截目標(biāo)，由于調(diào)整航向過程中可能丟失目標(biāo)，并且無較大速度優(yōu)勢下的尾追過程將耗費(fèi)過長的時間，可以認(rèn)為攔截失敗，故位置(r0,θ0)不在TEW內(nèi)。同理，定理2對應(yīng)負(fù)的最大法向過載和xM(t*)的最小值。因此，定理1和定理2可用于判斷方向θ0∈(0, π/2)上的位置r0是否在TEW內(nèi)。而對于θ0=0，攔截器在目標(biāo)正前方，顯然可以命中。

理想的“無控攔截”期望Δv(0) = 0，根據(jù)式(7)得到理想的速度前置角為

(28)

式中：C=vM/vT為攔截器與目標(biāo)的速度比。

將式(28)代入式(3)，得到理想的航向角為

r0cosθ0=

(30)

由式(30)可解得位置(r0,θ0)處攔截器最小航向角ψmin。同理，可以求得最大航向角ψmax。事實上，由軌跡對稱性可知，最大、最小航向角的軌跡在同一點(稱之為H點)命中目標(biāo)，且兩條軌跡關(guān)于H點和初始點(稱之為M點)構(gòu)成的直線對稱。因此，一旦得到最小航向角，可直接由下式計算最大航向角

ψmax=2ψMH-ψmin

(31)

式中：ψMH為M點指向H點的方向角。

在此基礎(chǔ)上，考慮視場角約束，得到位置(r0,θ0)處的最小、最大航向角為

(32)

攔截器能夠命中目標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)Ψmax(r0,θ0) ≥Ψmin(r0,θ0)，即滿足

(33)

ψmin(r0,θ0)≤π+θ0+ηField

(34)

事實上，式(34)中的不等號條件對應(yīng)TEW邊界內(nèi)部的點，而等號條件剛好對應(yīng)TEW側(cè)向邊界。將式(34)取等并代入式(30)，有

(35)

式中：

(36)

因此，對于視線方向θ0，TEW側(cè)向邊界對應(yīng)的初始距離r0可通過求解式(35)得到。

需要注意，雖然TEW內(nèi)部的點都滿足初始航向角Ψmax(r0,θ0)≥Ψmin(r0,θ0)，但是不同位置所允許的初始航向角變化范圍不同。為此，定義航向角可控裕度

λ(r0,θ0)=Ψmax(r0,θ0)-Ψmin(r0,θ0)

(37)

于是，可將λ(r0,θ0) ≥ 0作為判斷某一位置是否在TEW內(nèi)的依據(jù)。不僅如此，λ(r0,θ0)也可以作為攔截器初始位置選擇的依據(jù)，其值越大，意味著該位置處航向角的可控區(qū)間越大，攔截條件對擾動的敏感度也就越低。

2.4 高超聲速機(jī)動目標(biāo)TEW生成方法

臨近空間高超聲速目標(biāo)通常采用傾斜轉(zhuǎn)彎來實現(xiàn)側(cè)向機(jī)動。在不發(fā)生傾側(cè)角突然反號的情況下，其法向過載曲線變化緩慢，故末制導(dǎo)段的法向過載近似為常值。因此，計算高超聲速機(jī)動目標(biāo)的TEW時，可考慮以下三種情況：

情況1：目標(biāo)的法向過載為nT(t) = 0；

情況2：目標(biāo)的法向過載為nT(t) =NT；

情況3：目標(biāo)的法向過載為nT(t) = -NT。

對于攔截器某一初始位置，若以上三種情況下的目標(biāo)都可以被命中，則認(rèn)為該位置在TEW內(nèi)。情況1對應(yīng)非機(jī)動目標(biāo)，已在上一節(jié)研究，下面考慮情況2。此時，積分得到目標(biāo)軌跡為

(38)

(39)

若目標(biāo)在t=tf時刻被命中，則有

(40)

由上一節(jié)可知，攔截器最小航向角應(yīng)滿足

(41)

式中：

(42)

若令A(yù)= [ψM(tf)+ψmin]/2且B= [ψM(tf) -ψmin]/2，則式(41)可以寫為

(43)

消除A可得

(44)

從式(44)中解出B之后，代入式(43)可以得到A，進(jìn)而最小航向角為ψmin=A-B。而后，由式(31)可計算出最大航向角，再由式(32)得到考慮視場角約束的最小和最大航向角。對于情況3，可采用類似方法求解兩個航向角，這里不再贅述。

(45)

式中：Λ(r0,θ0)為攔截機(jī)動目標(biāo)時的航向角可控裕度，且

(46)

Λ(r0,θ0)≤λ(r0,θ0)

(47)

即攔截機(jī)動目標(biāo)時，同一位置對應(yīng)的可控裕度有所降低。這表明，相比于非機(jī)動目標(biāo)，機(jī)動目標(biāo)對攔截器的初始航向角提出了更為苛刻的要求。

3 仿真校驗

在PC機(jī)(CPU: 3.4 GHz)上利用MATLAB進(jìn)行仿真。結(jié)合臨近空間高超聲速目標(biāo)運(yùn)動特性，設(shè)定仿真條件如下：目標(biāo)速度vT=2500 m/s；攔截器速度vM=3000 m/s，最大法向過載NM=6g，最大視場角ηField=30°；末制導(dǎo)段，攔截器與目標(biāo)的最小交戰(zhàn)距離rmin=5 km，最大交戰(zhàn)距離rmax=50 km。

3.1 目標(biāo)非機(jī)動情況下的TEW

在目標(biāo)非機(jī)動情況下，TEW仿真結(jié)果如圖3所示。圖中，坐標(biāo)原點(0, 0)為目標(biāo)的初始位置，TEW的內(nèi)外邊界分別由最小和最大交戰(zhàn)距離決定，側(cè)向邊界通過求解式(35)得到。P點為窗口內(nèi)一點，坐標(biāo)(40 km，10 km)。由P點出發(fā)，攔截器可以通過不同軌跡命中目標(biāo)，其中，最大和最小初始航向角對應(yīng)的軌跡如圖4所示，兩條軌跡分別采用正、負(fù)最大法向過載。

圖3 攔截非機(jī)動目標(biāo)的TEWFig.3 TEW for interception of non-maneuvering target

在P點處，攔截器最大和最小初始航向角分別為210.03°和201.39°，由式(37)可得，該位置可控裕度為8.64°。類似地，對所有位置求解最大和最小初始航向角，并計算可控裕度，得到的TEW如圖5所示。離目標(biāo)較遠(yuǎn)的位置，由于具有更充足的航向調(diào)整時間，對應(yīng)的可控裕度相對較大。實際作戰(zhàn)中，若可控裕度過小，則意味著該位置的航向角約束苛刻，不易作為末制導(dǎo)段的初始位置。假設(shè)作戰(zhàn)所允許的最小可控裕度分別為3°、7°、10°，則相應(yīng)的TEW如圖6所示。不難發(fā)現(xiàn)，隨著可控裕度要求的提升，TEW逐漸變小。最大可控裕度出現(xiàn)在(43 km, 24 km)和(43 km, -24 km)附近，這兩個位置可以作為末制導(dǎo)段最佳初始陣位。

圖4 攔截器最大與最小初始航向角對應(yīng)的軌跡Fig.4 Interceptor’s trajectories with maximum and minimum heading angles

圖5 帶可控裕度的非機(jī)動目標(biāo)TEWFig.5 TEW with controllable margin

需要指出，采用與文獻(xiàn)[13]和[14]類似的數(shù)值方法也能得到高超聲速目標(biāo)的TEW。具體來說，就是給定初始位置后，在特定導(dǎo)引律下對攔截器和目標(biāo)的飛行軌跡進(jìn)行數(shù)值積分，再根據(jù)脫靶量判斷該位置是否屬于TEW，最后通過尋找某一視線方向上最近和最遠(yuǎn)位置得到TEW邊界。相比而言，本文所提出的解析方法，直接由式(35)即可得到某一視線方向上的TEW邊界，理論上求解更快。為進(jìn)行仿真對比，假設(shè)攔截器采用比例導(dǎo)引律，在同樣條件下用數(shù)值方法生成TEW。結(jié)果表明，兩種方法得到的TEW邊界幾乎重合，驗證了解析方法的正確性。此外，計算時間統(tǒng)計表明，解析方法生成一個TEW只需要0.2 s，而基于比例導(dǎo)引律的數(shù)值方法則需要770 s?？梢?，本文提出的解析方法在求解速度上優(yōu)勢明顯，具有在線使用的潛能。

圖6 不同最小可控裕度下的TEWFig.6 TEWs under various minimum controllable margins

3.2 目標(biāo)機(jī)動情況下的TEW

針對機(jī)動目標(biāo)，假定最大法向過載為NT= 2g。此時，TEW可綜合nT(t) = 0g、nT(t) = 2g，以及nT(t) = -2g三種情況得到。對于nT(t) = 2g，攔截器在P點處的初始航向角可行區(qū)間為[199.99°，208.58°]，最大、最小初始航向角對應(yīng)的攔截軌跡如圖7所示。對于nT(t) = -2g，可行區(qū)間為[202.79°，211.49°]。結(jié)合nT(t) = 0g的結(jié)果可知，攔截機(jī)動目標(biāo)的初始航向角可行區(qū)間為[202.79°，208.58°]，故可控裕度為5.79°，明顯低于非機(jī)動目標(biāo)時的可控裕度。

圖7 目標(biāo)法向過載nT (t) = 2 g對應(yīng)的攔截軌跡Fig.7 Interception trajectories for target with nT (t) = 2 g

圖8給出了NT= 2g情況下的TEW仿真結(jié)果。與圖5對比可以看出，目標(biāo)最大法向過載提升后，TEW的覆蓋范圍略有減小，且TEW內(nèi)的同一位置的可控裕度也減小，但最大可控裕度對應(yīng)的位置不發(fā)生明顯改變。這意味著，目標(biāo)的機(jī)動能力的提升會使得攔截器初始航向角約束更為苛刻，但對最佳初始位置影響不大。

圖8 目標(biāo)最大法向過載NT = 2 g情況下的TEWFig.8 TEW for target with NT = 2 g

3.3 TEW影響因素分析

TEW外邊界和內(nèi)邊界分別由最大和最小交戰(zhàn)距離決定，而側(cè)向邊界受到攔截器速度、最大視場角、最大法向過載等因素的影響。以非機(jī)動目標(biāo)為例，考慮攔截器速度降低至2500 m/s和提升至3500 m/s兩種情況，相應(yīng)的TEW如圖9所示。隨著攔截器速度的提升，TEW的覆蓋范圍逐漸增大，但由于速度增大會影響轉(zhuǎn)彎能力，窗口同一位置對應(yīng)的可控裕度有所降低。圖10比較了攔截器不同最大視場角對應(yīng)的TEW。視場角的增大會使得TEW覆蓋范圍增大，但對于大部分位置(接近邊界的位置除外)，其可控裕度幾乎不變。圖11比較了攔截器最大法向過載分別為5g、6g、7g時的TEW?？梢钥闯?，最大法向過載增大后，TEW覆蓋范圍變化不大，但內(nèi)部位置對應(yīng)的可控裕度明顯提升。綜上，攔截器速度、最大視場角、最大法向過載的改變會對TEW產(chǎn)生不同影響。提升速度和最大視場角都可以增大TEW的覆蓋范圍，而降低速度或提升最大法向過載可以增大TEW內(nèi)位置的可控裕度。

本文提出的TEW生成方法基于圖1建立的坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點由目標(biāo)的初始位置和航向角決定。實際作戰(zhàn)中，攔截器無法準(zhǔn)確地獲得目標(biāo)運(yùn)動信息。初始位置偏差會使得TEW產(chǎn)生位移，而初始航向角偏差會使得TEW產(chǎn)生轉(zhuǎn)動?？紤]目標(biāo)信息xT(0),yT(0)和ψT(0)的測量誤差，假設(shè)三者都服從零均值高斯分布，且三倍標(biāo)準(zhǔn)差分別為100 m、100 m和1°。隨機(jī)生成100組測量誤差，計算出相應(yīng)的TEW邊界如圖12所示。結(jié)果表明，測量信息存在誤差情況下，所提出的方法依然有效。同時，鑒于測量誤差產(chǎn)生的影響并不大，可以基于標(biāo)稱條件計算TEW。

圖9 攔截器不同速度情況下的TEWFig.9 TEWs for interceptor with various velocities

圖10 攔截器不同最大視場角情況下的TEWFig.10 TEWs for interceptor with various maximum field angles

圖11 攔截器不同最大法向過載情況下的TEWFig.11 TEWs for interceptor with various maximum normal accelerations

圖12 考慮目標(biāo)信息測量誤差的TEWFig.12 TEWs under measurement errors of target

4 結(jié) 論

本文針對高超聲速目標(biāo)攔截問題，研究了末段交戰(zhàn)窗口，建立了解析形式的攔截條件，提出了非機(jī)動目標(biāo)和機(jī)動目標(biāo)末段交戰(zhàn)窗口的解析求解方法。仿真表明，解析方法得到的窗口邊界與傳統(tǒng)數(shù)值方法的結(jié)果一致，但求解時間大幅減小，具有在線使用的潛力。分析了影響末段交戰(zhàn)窗口的主要因素，并發(fā)現(xiàn)增大窗口覆蓋范圍可通過提升攔截器速度和視場角實現(xiàn)，而增大窗口內(nèi)位置的可控裕度可通過降低速度或提升最大法向過載實現(xiàn)。此外，所提出的窗口生成方法對目標(biāo)信息的測量誤差具有較好的適應(yīng)性，當(dāng)存在一定的測量誤差時，窗口變化不大。本文所建立的末段交戰(zhàn)窗口，主要針對高超聲速目標(biāo)的二維攔截問題，后續(xù)研究中可基于三維彈目相對運(yùn)動建立相應(yīng)的攔截條件，進(jìn)而得到三維交戰(zhàn)窗口。