龔柏春，王 沙，郝明瑞，管敘軍

(1.南京航空航天大學(xué)先進(jìn)航天技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016; 2.復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能協(xié)同技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100074)

0 引 言

編隊(duì)航天器完成特定任務(wù)的前提是編隊(duì)構(gòu)型的保持和重構(gòu)控制，而編隊(duì)控制的前提是編隊(duì)成員的精密相對(duì)導(dǎo)航[1]?；谝欢ǖ膭?dòng)力學(xué)模型進(jìn)行估計(jì)，采用航天器上的敏感器進(jìn)行測(cè)量，最后使用EKF濾波算法或UKF濾波算法進(jìn)行相對(duì)狀態(tài)的更新是目前導(dǎo)航算法的基本框架[2-3]。相對(duì)導(dǎo)航動(dòng)力學(xué)模型、測(cè)量敏感器測(cè)量精度和導(dǎo)航算法一起影響著航天器相對(duì)導(dǎo)航的精度和可觀測(cè)性。

目前，常用的編隊(duì)航天器相對(duì)測(cè)量的敏感器主要有：相對(duì)GPS、微波雷達(dá)、激光雷達(dá)、可見(jiàn)光相機(jī)、紅外相機(jī)和激光測(cè)距儀等。但是GPS相對(duì)導(dǎo)航容易受環(huán)境干擾，另外當(dāng)編隊(duì)成員距離太遠(yuǎn)時(shí)缺少共同的可見(jiàn)星；無(wú)線(xiàn)電測(cè)距導(dǎo)航存在鏡像軌道的缺陷[4-5]；基于光學(xué)相機(jī)測(cè)角的導(dǎo)航又存在相對(duì)軌道不可觀或可觀測(cè)性弱的問(wèn)題，而且太空復(fù)雜的空間環(huán)境很影響相機(jī)的測(cè)量精度[6-9]。此外，還有“無(wú)線(xiàn)電+激光”組合的測(cè)量方式，利用無(wú)線(xiàn)電波束的全天空覆蓋特性，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的定向，再引導(dǎo)激光信號(hào)完成距離測(cè)量。但是編隊(duì)飛行往往對(duì)測(cè)量設(shè)備和載荷的體積和大小有嚴(yán)格的限制，這要求使用盡可能少的測(cè)量裝置完成相對(duì)軌道的確定。

無(wú)線(xiàn)電僅測(cè)距、光學(xué)僅測(cè)角方式導(dǎo)航設(shè)備因?yàn)橄鄬?duì)簡(jiǎn)單、可靠性高，基于這兩種測(cè)量方式實(shí)現(xiàn)航天器編隊(duì)相對(duì)導(dǎo)航已經(jīng)成為了領(lǐng)域內(nèi)的發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)此國(guó)內(nèi)外學(xué)者也進(jìn)行了大量的研究。Woffiden和Geller[10]提出了通過(guò)軌道機(jī)動(dòng)來(lái)提高僅測(cè)角相對(duì)系統(tǒng)的可能性，但是頻繁的軌道機(jī)動(dòng)會(huì)帶來(lái)航天器燃料的消耗。Gaias等[11]從相對(duì)軌道要素的角度研究了僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航，得出了半長(zhǎng)軸不可觀測(cè)的結(jié)論。Newman等[12]利用QV (Quadratic Volterra)級(jí)數(shù)建立二階非線(xiàn)性相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，由此在一定程度上解決僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航的狀態(tài)可觀測(cè)性問(wèn)題，但是計(jì)算復(fù)雜度較大。Chen和Xu等[13]采用雙星協(xié)同測(cè)量的策略，高學(xué)海和梁斌等[14]采用雙相機(jī)測(cè)量的策略，引入測(cè)量基線(xiàn)解決僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航的可觀測(cè)性問(wèn)題，但是雙相機(jī)策略增加了硬件成本。Wang等[15]通過(guò)在編隊(duì)飛行相對(duì)導(dǎo)航中引入一致性約束，解決了近圓軌道僅測(cè)距相對(duì)導(dǎo)航的不可觀測(cè)性，但是對(duì)于僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航問(wèn)題仍然存在相對(duì)軌道模糊性問(wèn)題。

因此，本文將在采用一致性約束濾波的基礎(chǔ)上，提出一種利用測(cè)角相機(jī)偏離航天器質(zhì)心安裝的桿臂效應(yīng)來(lái)避免編隊(duì)飛行僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航收斂于鏡像軌道的方法，該方法既不需要進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)輔助，也不需要承擔(dān)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)帶來(lái)的計(jì)算負(fù)擔(dān)，只依賴(lài)單個(gè)相機(jī)就能實(shí)現(xiàn)航天器近程編隊(duì)的相對(duì)導(dǎo)航。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

本文采用航天器軌道坐標(biāo)系(LVLH)，原點(diǎn)位于航天器質(zhì)心O，x軸沿航天器軌道徑向方向ri由地心Oe指向航天器質(zhì)心O，y軸在軌道平面內(nèi)沿航天器的速度vi方向，z軸和x，y軸組成右手正交坐標(biāo)系，與軌道平面的法線(xiàn)平行，如圖1所示。

圖1 航天器軌道坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Illustration of spacecraft orbital coordinate system

假設(shè)航天器在近圓軌道上編隊(duì)、慣性飛行，編隊(duì)成員之間的相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)可以用知名的HCW (Hill-Clohessy-Wiltshire)動(dòng)力學(xué)模型[16]描述：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：r=[x,y,z]T,v=[vx,vy,vz]T是LVLH系下的相對(duì)位置、相對(duì)速度的三軸分量，n是航天器的軌道角速度。

2 測(cè)量模型

如圖2所示，追蹤航天器上的相對(duì)測(cè)量敏感器即光學(xué)相機(jī)偏離質(zhì)心安裝，假設(shè)相機(jī)在追蹤航天器本體系(依據(jù)慣性主軸定義)下的安裝位置矢量已知，為d=[dx,dy,dz]T。相機(jī)的輸出為在其相平面測(cè)量坐標(biāo)系下目標(biāo)航天器的單位視線(xiàn)矢量L。

圖2 偏置相機(jī)測(cè)量示意圖Fig.2 Diagram of offset camera measurement

由于追蹤航天器的姿態(tài)可由慣導(dǎo)、星敏感器等設(shè)備測(cè)量獲得，相機(jī)在追蹤航天器本體系下的安裝姿態(tài)已知，那么可以將本體系的偏心安裝矢量和相機(jī)測(cè)量坐標(biāo)系下的單位視線(xiàn)矢量投影到LVLH系下。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的描述，這里直接假設(shè)已經(jīng)進(jìn)行了投影，即d和L均是在LVLH系下的變量。

因此，基于LVLH系下的單位視線(xiàn)矢量L的定義可以建立相對(duì)導(dǎo)航的測(cè)量模型如下

(6)

式中：εr是服從高斯分布的零均值白噪聲。

3 一致性擴(kuò)展卡爾曼濾波

考慮由多個(gè)航天器組成的編隊(duì)，每個(gè)航天器可以利用定向傳感器對(duì)其他航天器進(jìn)行測(cè)量，并且利用無(wú)線(xiàn)電通信將其自己的估計(jì)結(jié)果發(fā)送到鄰近航天器。圖3是分散式傳感器和通信網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于三個(gè)航天器的示例，航天器i對(duì)航天器j進(jìn)行測(cè)量并估計(jì)航天器j相對(duì)于其自身軌道坐標(biāo)系Li的位置xij和速度vij，即iXij=[xij;vij]，左上標(biāo)i表示在Li中表示向量Xij。

三個(gè)航天器的相對(duì)位置滿(mǎn)足幾何約束：

X12+X23+X31=0

(7)

然而，由于估計(jì)狀態(tài)在不同的坐標(biāo)系中表示，因此需要將這些估計(jì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下：

1X12+J122X23+J133X31=0

(8)

式(8)中廣義旋轉(zhuǎn)矩陣Jij的定義如下：

(9)

Jij表示將航天器j的估計(jì)結(jié)果轉(zhuǎn)換到航天器i的軌道坐標(biāo)系下，Rij表示從Lj到Li的旋轉(zhuǎn)矩陣，ωj表示Lj相對(duì)于慣性系的角速度在Lj中的表示。

圖3 測(cè)量與通信拓?fù)鋱DFig.3 Measurement and communication topology diagram

一致性擴(kuò)展卡爾曼濾波算法[17](Consensus extended Kalman filter, CEKF)時(shí)間更新方程：

(10)

(11)

CEKF濾波算法狀態(tài)更新方程：

(12)

(13)

(14)

(15)

4 可觀測(cè)性分析

4.1 測(cè)量相機(jī)偏心安裝可觀測(cè)性分析

相機(jī)測(cè)量輸出采用式(6)視線(xiàn)矢量的形式：

(16)

在HCW模型下，由式(1)遞推得到

L(x0,y0,z0,vx 0,vy 0,vz 0)=

(17)

用[x′0,y′0,z′0,v′x 0,v′y 0,v′z 0]T表示EKF收斂軌道的狀態(tài)初值，收斂軌道與真實(shí)軌道在任意時(shí)刻得到相同測(cè)量值的等價(jià)條件是：

L(x0,y0,z0,vx 0,vy 0,vz 0)=ηL(x′0,y′0,z′0,v′x 0,v′y 0,v′z 0)

(18)

式中:η是大于0的常數(shù)。

下面分兩種情況討論相機(jī)偏置僅測(cè)角情形下EKF的收斂軌道。

1)當(dāng)dz≠0時(shí)

比較等式(18)的第三行得到：

(19)

注意到cosnt,sinnt是線(xiàn)性無(wú)關(guān)并且隨時(shí)間變化的，而且dz≠0，那么收斂軌道為了在任意時(shí)刻都能得到與真實(shí)軌道相同的單位視線(xiàn)矢量，必須有：

η=1,z′0=z0,v′z 0=vz 0

(20)

同時(shí)比較等式(18)的第一行和第二行，可以得到如下關(guān)系：

(21)

(22)

比較式(21)和式(22)的常數(shù)項(xiàng)和關(guān)于cosnt,sinnt,nt的系數(shù)得到如下方程：

v′x 0=vx 0,y′0=y0,x′0=x0,v′y 0=vy 0

(23)

同時(shí)注意到式(20)，此時(shí)EKF收斂軌道的初始相對(duì)參數(shù)和真實(shí)軌道的初始相對(duì)參數(shù)一致，即此時(shí)航天器不存在模糊軌道。

2)當(dāng)dz=0時(shí)

通過(guò)式(18)的第三行得到：

z′0=ηz0,v′z 0=ηvz 0

(24)

同時(shí)比較式(18)的第一行和第二行，可以得到如下關(guān)系：

(25)

(26)

比較式(25)和式(26)的各項(xiàng)系數(shù)得到：

(27)

當(dāng)dx≠0時(shí)，必須有η=1，結(jié)合式(24)，得到：

(x′0,y′0,z′0,v′x 0,v′y 0,v′z 0)=(x0,y0,z0,vx 0,vy 0,vz 0)

此時(shí)，收斂軌道的初始相對(duì)參數(shù)和真實(shí)軌道的初始相對(duì)參數(shù)一致，航天器不存在模糊軌道。

當(dāng)dx=0時(shí)，有：

(x′0,y′0,z′0,v′x 0,v′y 0,v′z 0)=(ηx0,ηy0+

(1-η)dy,ηz0,ηvx 0,ηvy 0,ηvz 0)

(28)

根據(jù)上面兩種情形的討論，僅測(cè)角EKF在不同的偏置情況下的收斂軌道總結(jié)如表1所示。

dx=dz=0是測(cè)角敏感器偏于質(zhì)心安裝的特殊情況,濾波收斂軌道是(ηx0,ηy0,ηz0,ηvx 0,ηvy 0,ηvz 0)，這與不考慮偏置情形下僅測(cè)角的可觀測(cè)性分析結(jié)果[18-19]是一致的。

表1 不同偏置情形下濾波的收斂軌道Table 1 EKF convergent trajectories under different of fsetcases

4.2 一致性算法與相機(jī)偏置僅測(cè)角

盡管當(dāng)dx,dz取不同值時(shí)，系統(tǒng)的可觀測(cè)性會(huì)有不同，但是總的來(lái)說(shuō)，收斂軌道可以寫(xiě)成這樣的形式：(αrT+(1-α)dT;αvT)。

設(shè)三個(gè)航天器的估計(jì)結(jié)果分別收斂于：

在一致性的約束下，三個(gè)航天器的收斂軌道應(yīng)該滿(mǎn)足等式(8)，展開(kāi)后得到：

(29)

取等式(29)前三行分析：

αr1+(1-α)d1+R12(βr2+(1-β)d2)+

R13(γr3+(1-γ)d3)=0

(30)

注意到α=β=γ=1時(shí)表示的真實(shí)相對(duì)軌道也滿(mǎn)足上式：

r1+R12r2+R13r3=0

(31)

等式(30)和等式(31)相減得到：

(α-1)(r1-d1)+R12(β-1)(r2-d2)+

R13(γ-1)(r3-d3)=0

(32)

上式表明，只要r1-d1,R12(r2-d2),R13(r3-d3)，即測(cè)量視線(xiàn)不共面，那么α=β=γ=1，三個(gè)航天器都收斂于真實(shí)的相對(duì)軌道。在r1+R12r2+R13r3=0的條件下，一般只要使d1,R12d2,R13d3線(xiàn)性不相關(guān)，就能滿(mǎn)足這個(gè)條件。

5 數(shù)值仿真

在MATLAB環(huán)境下建立仿真算法校驗(yàn)所得結(jié)論，航天器參數(shù)設(shè)置如表2所示，濾波器參數(shù)設(shè)置如表3所示。HCW方程假設(shè)主航天器運(yùn)行于近圓軌道，為此三個(gè)航天器的偏心率設(shè)置要足夠小。航天器在近地空間飛行，航天器與航天器之間的距離在2～8 km之間，仿真時(shí)不考慮J2和大氣阻力等攝動(dòng)因素。測(cè)角相機(jī)的精度取為8.4×10-4rad，對(duì)應(yīng)的角度為0.048°。測(cè)角相機(jī)的偏置量大小與航天器之間的距離相關(guān)，航天器之間的距離增加，測(cè)角相機(jī)的偏置量也要相應(yīng)增加，對(duì)于10 km以?xún)?nèi)的航天器相對(duì)導(dǎo)航，測(cè)角相機(jī)的偏置量在5～10 m比較合適。一致性反饋系數(shù)為通過(guò)經(jīng)驗(yàn)調(diào)參獲得的較優(yōu)值，在這里設(shè)置為0.03。

表2 航天器軌道根數(shù)設(shè)置Table 2 Spacecraft orbit parameters setting

表3 濾波器參數(shù)設(shè)置Table 3 Key parameters in consensus extended Kalman filter

為了驗(yàn)證論文所提算法的有效性和測(cè)試性能，下面將進(jìn)行兩組仿真：第一組對(duì)比了不同偏置情形下，EKF算法估計(jì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道是否收斂，第二組對(duì)比了同樣偏置情形下CEKF算法和EKF算法的收斂性能。

1)測(cè)角相機(jī)偏心安裝EKF仿真結(jié)果

圖4、圖5、圖6分別表示不考慮偏置、添加x方向偏置和添加z方向偏置時(shí)卡爾曼濾波對(duì)航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的三軸位置估計(jì)誤差。由仿真結(jié)果可知，不添加偏置的EKF相對(duì)狀態(tài)估計(jì)誤差不收斂，呈現(xiàn)周期變化，這就說(shuō)明估計(jì)的相對(duì)軌道狀態(tài)收斂于模糊軌道。而添加x方向和z方向偏置的EKF估計(jì)誤差收斂到零附近，可見(jiàn)估計(jì)初始的相對(duì)軌道狀態(tài)收斂于真實(shí)的相對(duì)軌道。

圖4 d=[0,0,0]T時(shí)EKF對(duì)X12三軸位置估計(jì)誤差Fig.4 EKF position error for X12 when d=[0,0,0]T

圖5 d=[5,0,0]TEKF對(duì)X12三軸位置估計(jì)誤差Fig.5 EKF position error for X12 when d=[5,0,0]T

圖6 d=[0,0,5]T時(shí)EKF對(duì)X12三軸位置估計(jì)誤差Fig.6 EKF position error for X12 when d=[0,0,5]T

2)測(cè)角相機(jī)偏心安裝CEKF仿真結(jié)果

設(shè)三個(gè)航天器的相機(jī)偏置量分別是：

d1=[5,0,0]T,d2=[0,5,0]T,d3=[0,0,5]T

在這樣的相機(jī)偏置條件下，結(jié)合之前的可觀測(cè)性分析結(jié)果，可以預(yù)測(cè)：X23在EKF算法下收斂于模糊軌道，在CEKF算法下收斂于真實(shí)相對(duì)軌道。圖7表達(dá)了X23的真實(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道和兩種濾波算法估計(jì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道，仿真結(jié)果和預(yù)測(cè)是一致的。EKF算法估計(jì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道收斂于和真實(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道具有同樣形狀但是不同大小的模糊軌道，CEKF算法估計(jì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道隨著時(shí)間的推移，逐漸收斂于真實(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道。

圖8和圖9表達(dá)了X23在EKF和CEKF濾波下的三軸位置估計(jì)誤差。

圖8 EKF濾波對(duì)X23的三軸位置估計(jì)誤差Fig.8 EKF position estimate error for X23

圖9 CEKF濾波對(duì)X23的三軸位置估計(jì)誤差Fig.9 CEKF position estimate error for X23

6 結(jié) 論

本文基于HCW動(dòng)力學(xué)方程研究了測(cè)量敏感器偏于航天器質(zhì)心安裝情況下EKF和CEKF的收斂情況，可觀測(cè)性分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明：當(dāng)測(cè)角相機(jī)偏置安裝時(shí)，偏置量在航天器軌道坐標(biāo)系下x或z軸分量不為0時(shí)，能有效地避免EKF算法收斂于鏡像模糊軌道；此外，如果三個(gè)航天器相機(jī)的偏置量不共面，CEKF算法也能收斂于真實(shí)相對(duì)軌道。