乘法概念的二重性及其教學(xué)啟示

孫姝佳 李明蘭

[摘 要]乘法概念在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同階段多次出現(xiàn)，然而學(xué)生對(duì)乘法概念的掌握并不理想。從概念二重性理論對(duì)乘法概念進(jìn)行分析，得出對(duì)乘法的理解應(yīng)具有過(guò)程性和對(duì)象性，而且過(guò)程性意義先于對(duì)象性意義，過(guò)程性意義也是掌握概念的必要條件，而對(duì)象性意義是在操作階段逐步反省后形成的。

[關(guān)鍵詞]乘法;概念二重性;過(guò)程性;對(duì)象性;教學(xué)啟示

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0052-02

一、問(wèn)題的提出

小學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于乘法的學(xué)習(xí)是從整數(shù)乘法開(kāi)始的，后經(jīng)過(guò)小數(shù)乘法再到分?jǐn)?shù)乘法，可以說(shuō)乘法的學(xué)習(xí)貫穿于小學(xué)的各個(gè)階段。如果學(xué)生對(duì)乘法概念沒(méi)有一個(gè)很好的理解，那么他們對(duì)于乘法的學(xué)習(xí)將會(huì)變?yōu)闄C(jī)械的記憶。

比如，在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法時(shí)，學(xué)生普遍將乘法理解為連加。如“3×5”表示3個(gè)5相加，即“5+5+5”。然而在以后的學(xué)習(xí)中，遇到小數(shù)乘法，如“1.34×2.7”時(shí)，學(xué)生便不知該如何理解這個(gè)式子。

是什么原因?qū)е逻@種現(xiàn)象出現(xiàn)呢？ 這涉及乘法概念的特征及對(duì)乘法概念的理解問(wèn)題。本文將嘗試從一個(gè)全新的角度來(lái)探討這一問(wèn)題。

二、 問(wèn)題的研究——乘法概念的二重性

本文對(duì)于乘法概念的研究借助的是A.Sfard在20世紀(jì)90年代提出的數(shù)學(xué)概念二重性理論。該理論認(rèn)為許多概念既表現(xiàn)為一種過(guò)程操作，又表現(xiàn)為對(duì)象結(jié)構(gòu)，概念往往兼有這樣的二重性。比如三角函數(shù)sinα，既可以看作直角三角形中銳角的對(duì)邊與斜邊之比 x/r ， 此時(shí)三角函數(shù)概念被理解為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，體現(xiàn)過(guò)程性特點(diǎn);也可以將其當(dāng)成計(jì)算的一個(gè)結(jié)果，此時(shí)概念具備對(duì)象性特點(diǎn)。

我們也可以將乘法理解為具有這樣二重性的概念。乘法的學(xué)習(xí)是從整數(shù)乘法開(kāi)始的，學(xué)生對(duì)乘法的理解局限在“連加”的意義上，而這種理解體現(xiàn)了一種過(guò)程性，學(xué)生仍把乘法看作幾個(gè)幾相加，并沒(méi)有把乘法概念與加法概念做本質(zhì)的區(qū)分。學(xué)生只有將乘法作為一種新的運(yùn)算來(lái)理解時(shí)，乘法概念才成為一種具有結(jié)構(gòu)性的對(duì)象。

鞏子坤曾將對(duì)乘法概念的理解分為兩部分：乘法意義的理解和乘法運(yùn)算的理解（乘法運(yùn)算的理解又包括對(duì)運(yùn)算算理和運(yùn)算法則的理解）。事實(shí)上，意義的理解體現(xiàn)了乘法概念過(guò)程性的一面，運(yùn)算的理解則體現(xiàn)了乘法概念對(duì)象性的一面。

對(duì)于乘法意義的理解表現(xiàn)為實(shí)現(xiàn)乘法各個(gè)表征之間的轉(zhuǎn)化。比如對(duì)于用符號(hào)表達(dá)的式子“15×4”，學(xué)生可將其理解為一種現(xiàn)實(shí)情境的表征：小鵬有15個(gè)玻璃球，小紅的玻璃球的個(gè)數(shù)是小鵬的4倍，小紅有多少個(gè)玻璃球;也可以用語(yǔ)言表征來(lái)敘述式子的意義：4個(gè)15相加是多少;當(dāng)然也可以用連續(xù)型或離散型圖像來(lái)表示式子的意義;又或是用實(shí)物操作來(lái)解釋式子的含義。這些都是學(xué)生對(duì)乘法意義的理解，我們不難看出，這些表征都體現(xiàn)了一種操作性，是動(dòng)態(tài)的、有步驟的。

而對(duì)于乘法運(yùn)算的理解則是在對(duì)乘法運(yùn)算算理理解的基礎(chǔ)上，掌握乘法運(yùn)算法則，從而達(dá)到對(duì)乘法概念的整體性理解，并將乘法概念看作一種不同于加法的新運(yùn)算，從而將乘法概念看作一種結(jié)構(gòu)化的對(duì)象。這種結(jié)構(gòu)化的對(duì)象作為一種運(yùn)算，不僅形成具有運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算定律等層次性和關(guān)系性的內(nèi)部組織，而且能打破本身的局限性，伸展出一些“觸角”，比如與其他概念（如冪運(yùn)算）的縱橫聯(lián)系，編織成網(wǎng)絡(luò)。

因此，對(duì)于文章開(kāi)頭的現(xiàn)象，也許我們可以歸因于學(xué)生未真正理解乘法的概念，但更深層次的原因在于乘法概念具有二重性的特征，而學(xué)生只停留在乘法過(guò)程性的理解，沒(méi)有將其作為一個(gè)結(jié)構(gòu)化的對(duì)象。

三、進(jìn)一步研究——過(guò)程性意義先于對(duì)象性意義

學(xué)習(xí)一種運(yùn)算，首先要讓學(xué)生理解運(yùn)算的意義，因?yàn)橹挥欣斫饬诉\(yùn)算的意義，才能知道何時(shí)使用這種運(yùn)算，也才能從意義出發(fā)推導(dǎo)運(yùn)算的法則。加之上述對(duì)乘法概念特征的分析不難看出，乘法概念過(guò)程性意義的學(xué)習(xí)確實(shí)應(yīng)先于對(duì)象性意義的學(xué)習(xí)。

閆云梅等人曾在論文中分析乘法的現(xiàn)實(shí)模型，提出了實(shí)現(xiàn)乘法概念建構(gòu)的教學(xué)建議。筆者整理分析得出如圖1所示的教學(xué)示意圖。可以看出，對(duì)于乘法概念的學(xué)習(xí)需經(jīng)歷兩次建構(gòu)，第一次建構(gòu)從乘法的現(xiàn)實(shí)模型中逐步實(shí)現(xiàn);第二次建構(gòu)通過(guò)數(shù)系的擴(kuò)展來(lái)實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于第一次建構(gòu)，是經(jīng)歷多種現(xiàn)實(shí)模型后逐步實(shí)現(xiàn)的，剛開(kāi)始對(duì)乘法概念的理解依靠于現(xiàn)實(shí)情境，這具有操作性特點(diǎn);經(jīng)過(guò)“同數(shù)連加”，到“加法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ńY(jié)構(gòu)”，再到慢慢理解算理，直到最后總結(jié)出乘法運(yùn)算律，乘法概念才開(kāi)始成為一個(gè)較完整的對(duì)象。這個(gè)轉(zhuǎn)變不經(jīng)一定數(shù)量的操作是得不出本質(zhì)規(guī)律的，更無(wú)法將概念發(fā)展成為對(duì)象，因此過(guò)程性意義要先于對(duì)象性意義去掌握且很有必要。

第一次乘法概念的建構(gòu)為小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，隨后通過(guò)數(shù)系的拓展，又將乘法概念的系統(tǒng)做了第二次完善。如果在整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)中沒(méi)有理解到概念的對(duì)象層面，那么學(xué)生將無(wú)法理解小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的意義，對(duì)運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)也將變?yōu)闄C(jī)械記憶。對(duì)于“1.34×2.7”這個(gè)式子，只有經(jīng)過(guò)對(duì)象化過(guò)程后，不再將乘法看作“連加”的過(guò)程，而是依照乘法運(yùn)算規(guī)律，將乘法看作一種新的獨(dú)立的運(yùn)算，才可以從乘法分配率來(lái)抽象理解這個(gè)式子，或者從乘法的“因數(shù)的變化引起積的變化規(guī)律”來(lái)形式化理解這個(gè)式子。

可見(jiàn)，乘法概念具有過(guò)程性和對(duì)象性，對(duì)這兩個(gè)層面的理解并不矛盾。過(guò)程性意義先于對(duì)象性意義，過(guò)程性意義是掌握概念的必要條件，而對(duì)象性意義是在操作階段逐步反省后形成的。

四、教學(xué)啟示

1.重視乘法概念的教學(xué)

過(guò)程與對(duì)象同屬于乘法概念的兩個(gè)側(cè)面。概念學(xué)習(xí)中， 過(guò)程與對(duì)象的作用同等重要， 二者不可偏廢。對(duì)乘法概念的教學(xué)若不重視從過(guò)程性過(guò)渡到對(duì)象性，學(xué)生很難利用乘法的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。根據(jù)鞏子坤的研究，事實(shí)上也確實(shí)如此。盡管課堂上有對(duì)學(xué)生從過(guò)程到對(duì)象的引導(dǎo)，但學(xué)生在獨(dú)立解決問(wèn)題時(shí)仍?xún)A向于直接進(jìn)行運(yùn)算，或直觀(guān)給出解釋?zhuān)怯贸朔ㄟ\(yùn)算規(guī)律進(jìn)行理解。這說(shuō)明當(dāng)前我們對(duì)于乘法概念的教學(xué)不夠重視，學(xué)生仍局限于對(duì)運(yùn)算法則的機(jī)械記憶，還未從根本上將乘法概念作為一個(gè)對(duì)象。因此，教師應(yīng)進(jìn)一步重視乘法概念的教學(xué)。

2.注重從“過(guò)程”到“對(duì)象”的螺旋上升

乘法概念在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同階段多次出現(xiàn)，我們要注意乘法知識(shí)的螺旋上升，逐步深化學(xué)生對(duì)概念的理解。在低年級(jí)，乘法從幾個(gè)相同的數(shù)相加開(kāi)始學(xué)習(xí)，后來(lái)隨著學(xué)習(xí)的數(shù)越來(lái)越大，直到引入乘法的豎式計(jì)算，這時(shí)教師會(huì)對(duì)學(xué)生解釋豎式計(jì)算的算理，使學(xué)生初步了解乘法運(yùn)算的規(guī)律并總結(jié)出乘法運(yùn)算律，對(duì)乘法的理解也逐漸從過(guò)程上升到對(duì)象。進(jìn)入高年級(jí)，在學(xué)習(xí)了小數(shù)、分?jǐn)?shù)后，學(xué)生又進(jìn)一步理解數(shù)系擴(kuò)展后的乘法意義，將整數(shù)乘法運(yùn)算規(guī)律類(lèi)比到小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)中，同時(shí)補(bǔ)充“乘法也表示一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的過(guò)程性意義。從微觀(guān)看，對(duì)于同一個(gè)概念可能會(huì)得到不止一個(gè)“過(guò)程—對(duì)象”的區(qū)分方式。

3.使學(xué)生形成良好的概念體系

對(duì)概念的理解形成體系，不僅有利于形成具有層次性、關(guān)系性的內(nèi)部知識(shí)，且易發(fā)現(xiàn)概念與外部知識(shí)的關(guān)系，從而形成更大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系。事實(shí)上，作為對(duì)象的概念，在某一個(gè)層次和更高一級(jí)層次之間起著一種樞紐作用：它既操作別的對(duì)象，又被高層次的運(yùn)算來(lái)操作，也就是說(shuō)，對(duì)于成為對(duì)象的概念更容易形成概念系統(tǒng)，從而更利于整體把握知識(shí)。因此，教師應(yīng)注重讓學(xué)生形成良好的概念體系。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李士锜.熟能生巧嗎[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（3）.

[2] 鞏子坤.有理數(shù)運(yùn)算的理解水平及其教與學(xué)的策略研究[D].重慶：西南大學(xué)，2006.

[3] 李士锜. 熟能生笨嗎？：再談“熟能生巧”問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1999，8（3）.

[4] 人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室.小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法（第二冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2001.

[5] 閆云梅，劉琳娜，劉加霞.小學(xué)階段乘法的不同現(xiàn)實(shí)模型分析與教學(xué)建議[J].課程·教材·教法，2014，34（3）.

[6] 佘文娟，王光明.也談A.Sfard數(shù)學(xué)概念的二重性理論[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（8）.

（責(zé)編 羅 艷）