龐振華，劉 放，唐 語，吳 濤

（西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031）

0 引言

目前，大部分港口、工廠、車間都在向自動(dòng)化方向發(fā)展，在未來工業(yè)自動(dòng)化也將是主要的發(fā)展方向。要發(fā)展自動(dòng)化，起重機(jī)起到了至關(guān)重要的作用，然而起重機(jī)的搖擺仍然是目前需要解決的主要問題之一。抑制起重機(jī)的搖擺能有效的提高其工作效率，能更好的促進(jìn)工業(yè)自動(dòng)化的進(jìn)程；并且抑制起重機(jī)的擺動(dòng)保證工業(yè)系統(tǒng)的安全運(yùn)行。

國內(nèi)外有許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究并且取得了相應(yīng)的成果[1]。目前的防搖措施主要有機(jī)械防搖和電子防搖。在機(jī)械防搖上，吳俊杰，吉陽，等采用吊盤式機(jī)械防搖方案[2]；Ho-Hoon Lee采用在運(yùn)動(dòng)過程中改變繩長[3]，研究結(jié)果表明，上述防搖方式能有效的抑制吊重的擺動(dòng)。在電子防搖方式上，張圓圓，何永玲等采用模糊控制算法[4]，通過模糊控制規(guī)則進(jìn)行控制；梁成，劉放，等采用PD控制[5]；趙華洋，李理，等采用神經(jīng)元控制的方法對(duì)起重機(jī)進(jìn)行防擺研究[6]，Aydin Yesildirek采用基于切換Lyapunov函數(shù)的非線性控制器[7]。LEAT，MOON S C等采用自適應(yīng)滑膜控制對(duì)不同長度的纜線造成的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究[8]，周奇才，王璐，等研究彈性起重機(jī)防搖[9]。

為了改善起重機(jī)在運(yùn)動(dòng)過程中的搖擺問題，本文提出了一種速度、擺角的雙PI控制方法。通過仿真軟件計(jì)算出無防搖控制下，起重機(jī)的自由擺動(dòng)。最后分析了兩種啟動(dòng)方案對(duì)所提出的控制方法的影響。

1 建立起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 建立抽象模型

將起重機(jī)實(shí)際模型進(jìn)行抽象處理（如圖1所示），在笛卡爾坐標(biāo)系中，小車與重物連在一起，小車受驅(qū)動(dòng)力可在橫梁上自由運(yùn)動(dòng)，重物在小車運(yùn)動(dòng)情況下進(jìn)行自由擺動(dòng)。該系統(tǒng)可通過兩個(gè)廣義坐標(biāo)變量來描述，小車相對(duì)于原點(diǎn)O的距離為x，重物擺動(dòng)角度與中心線夾角為θ。

在本次研究中忽略鋼絲繩與小車之間的阻尼；忽略鋼絲繩的質(zhì)量。

圖1 起重機(jī)抽象模型

1.2 建立動(dòng)力學(xué)方程

小車在驅(qū)動(dòng)力F的作用下移動(dòng)，重物隨之進(jìn)行自由擺動(dòng)，小車與橫梁之間的阻尼系數(shù)為c。利用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[10]：

其中L是拉格朗日函數(shù)，由于該系統(tǒng)為2自由度模型，故qi（i=1，2）是兩個(gè)廣義坐標(biāo)變量。q1代表的是小車的位移x，q2代表重物擺動(dòng)角度θ。Ti代表系統(tǒng)外力，若系統(tǒng)僅有保守力做功，則Ti為0。L可以描述為：

其中K是整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能，P代表系統(tǒng)的勢能。

系統(tǒng)的動(dòng)能有兩部分組成，第一部分為小車的動(dòng)能，第二部分為重物的動(dòng)能。小車的速度為沿橫梁移動(dòng)的速度，重物的絕對(duì)速度為重物隨小車的牽連速度ve和重物繞小車中心轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)速度vr的合速度，如圖2所示。

通過幾何關(guān)系可得：

其中v1為小車的絕對(duì)速度，v2為重物的絕對(duì)速度；重物的牽連速度ve=v1；相對(duì)速度

系統(tǒng)動(dòng)能K：

系統(tǒng)勢能P：

拉格朗日函數(shù)L：

圖2 速度合成圖

將式(6)代入拉格朗日方程得：

上式中：m1為小車質(zhì)量；m2為重物質(zhì)量；c為小車與橫梁之間的阻尼系數(shù)，x為小車的位移，F(xiàn)為小車所受的驅(qū)動(dòng)力；l為鋼絲繩的長度；θ為重物的角位移。

將上述數(shù)學(xué)模型寫成矩陣形式：

2 控制算法

PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值ri與實(shí)際值輸出值yo構(gòu)成控制偏差：

PID控制規(guī)律為：

式(11)可以寫為：

式中：ki=kp/Ti為積分增益；kd=kpTd為微分增益。

本文研究兩種小車啟動(dòng)方式對(duì)起重機(jī)控制系統(tǒng)的影響。兩種啟動(dòng)方式采用相同的控制原理，不同點(diǎn)在于施加驅(qū)動(dòng)力的方式。第一種方式是先施加恒定的驅(qū)動(dòng)力，達(dá)到一定的速度之后再采用控制算法降低重物的擺動(dòng)角度；第二種方式是直接采用控制算法控制小車達(dá)到設(shè)定速度并降低重物擺動(dòng)角度。

圖3 控制框圖

該起重機(jī)控制系統(tǒng)采用的控制方法如圖3所示，采用兩個(gè)控制器控制，其中速度控制器將小車運(yùn)動(dòng)速度穩(wěn)定在參考值附近；角度控制器將重物的角位移控制在極小的范圍內(nèi)。

3 模型仿真與數(shù)據(jù)分析

選取適當(dāng)參數(shù)代入上述動(dòng)力學(xué)方程，各參數(shù)選取結(jié)果如表1所示。Simulink和MATLAB優(yōu)化工具箱用作仿真平臺(tái)。

表1 仿真參數(shù)

3.1 無控制下重物擺角變化

下圖為小車在無阻尼情況下施加恒定驅(qū)動(dòng)力，加速一段時(shí)間后取消外力時(shí)重物擺角的變化（如圖4所示）。圖中的3條曲線代表小車運(yùn)動(dòng)時(shí)重物擺動(dòng)情況，每條曲線所代表的小車的加速時(shí)間不同。

曲線1代表小車在10N的驅(qū)動(dòng)力下加速1s得到的重物擺動(dòng)曲線。在t=0.5s的時(shí)刻，重物擺角出現(xiàn)最大值，擺角大小約為0.225rad，最大振幅僅出現(xiàn)一次。在加速1s之后，小車保持直線運(yùn)動(dòng)，上下振幅有所減小，振幅約為0.103rad。由于鋼絲繩與小車之間的連接沒有阻尼存在，因此在小車直線運(yùn)動(dòng)階段重物進(jìn)行等幅振蕩。

圖4 重物自由擺動(dòng)

曲線2代表小車在相同驅(qū)動(dòng)力下加速2s，重物自由擺動(dòng)的曲線。在小車加速過程中，重物出現(xiàn)了兩次的最大振幅，振幅大小與曲線1中的最大振幅接近。在2s之后，小車保持直線運(yùn)動(dòng)，重物在小車運(yùn)動(dòng)過程中進(jìn)行等幅振蕩，振幅大約為0.185rad。

曲線3代表的是小車加速3s，重物在鋼絲繩的牽引下自由擺動(dòng)曲線。小車在加速過程中，重物在-0.25～0rad之間擺動(dòng)，其中最大擺角為-0.223（rad）。加速過程結(jié)束后，小車保持直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)重物開始進(jìn)行等幅振蕩，振幅為0.215rad。

綜合3條曲線分析，小車在加速過程，重物擺動(dòng)的振幅大小基本相同，同時(shí)也是運(yùn)動(dòng)過程中的最大振幅，并且重物僅在θ<0的范圍內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)加速過程結(jié)束，小車保持直線運(yùn)動(dòng)，由于重物的存在，小車速度在一定范圍內(nèi)振蕩。加速1s，小車速度約在1.1m/s附近上下振蕩；加速2s，小車速度約在2.3m/s附近上下振蕩；加速3s，小車速度約在3.4m/s附近上下振蕩。

重物在無外部激勵(lì)下保持等幅振蕩，但是3次仿真結(jié)果的振幅大小不相同。通過圖4可知，勻速情況下振幅大小與加速時(shí)間相關(guān)，小車加速結(jié)束時(shí)刻重物所在的位置影響重物后續(xù)擺動(dòng)的振幅，但是3種情況下擺動(dòng)周期相差不大。

3.2 無驅(qū)動(dòng)力情況下，小車和重物加速度和擺角變化

當(dāng)小車在原點(diǎn)時(shí)，直接給控制器輸入控制信號(hào)，控制小車和重物運(yùn)動(dòng)。本次研究3種參考速度下小車的運(yùn)動(dòng)情況和重物擺動(dòng)規(guī)律。

圖5表示的是控制器設(shè)定的參考速度分別為1.1m/s，2.3m/s，3.4m/s的情況下，重物擺角隨時(shí)間的變化。曲線1代表控制系統(tǒng)中的參考速度為1.1m/s時(shí)，重物擺動(dòng)情況；曲線2代表參考速度為2.3m/s時(shí)，重物擺動(dòng)情況；曲線2代表參考速度為3.4m/s時(shí)，重物擺動(dòng)情況。

參考速度為1.1m/s的情況下，小車的加速時(shí)間大約為5s，在此段時(shí)間內(nèi)，重物產(chǎn)生不規(guī)則振動(dòng)，擺角的最大值約為0.13rad，出現(xiàn)最大擺角的時(shí)刻約為0.5s。在小車的加速過程中，重物振動(dòng)的振幅逐漸衰減，大約6s之后，振幅衰減到0rad，小車以1.1m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖5 重物擺角變化

曲線2和曲線3分別表示參考速度為2.3m/s和3.4m/s時(shí)，重物擺動(dòng)的規(guī)律。曲線2的最大擺角出現(xiàn)在0.58s，最大擺角為0.30rad；曲線3的最大擺角出現(xiàn)在0.64s，最大擺角為0.45rad。這兩次控制時(shí)間與第一種情況相似，重物擺角都在大約6s之后穩(wěn)定到0rad，并且重物的振動(dòng)都在逐漸衰減。雖然3種情況下最大擺角相差較大，但是都能在1s之后快速衰減到可接受的范圍內(nèi)。

當(dāng)參考速度為2.3m/s和3.4m/s時(shí)，控制系統(tǒng)為了使小車快速到達(dá)設(shè)定速度，系統(tǒng)會(huì)在剛開始的時(shí)候給小車一個(gè)較大的驅(qū)動(dòng)力從而產(chǎn)生很大的加速度（如圖6所示）。當(dāng)參考速度為2.3m/s時(shí)，最大加速度為7.7m/s2；參考速度為3.4m/s時(shí)，最大加速度為11.3m/s2。因此系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生較大的沖擊。

3.3 施加驅(qū)動(dòng)力后，小車和重物加速度和擺角變化

小車在啟動(dòng)過程中先采用恒定驅(qū)動(dòng)力啟動(dòng)，當(dāng)加速到一定速度之后再采用PID控制算法將小車速度控制在預(yù)期值，并抑制重物的擺動(dòng)。圖7展示了上述情況下重物擺動(dòng)角度的變化。

圖6 小車加速度變化

圖7 重物擺角變化

如圖7所示，曲線1為施加1s恒定驅(qū)動(dòng)力的重物擺動(dòng)曲線；曲線2為施加2s恒定驅(qū)動(dòng)力的重物擺動(dòng)曲線；曲線3為施加2s恒定驅(qū)動(dòng)力的重物擺動(dòng)曲線。3條曲線大約在0.47s出現(xiàn)最大值，最大擺角為0.22rad，而且3種情況下最大值相同，這是因?yàn)榍?s內(nèi)小車在恒定驅(qū)動(dòng)力下運(yùn)動(dòng)。從圖7可以看出，在恒定驅(qū)動(dòng)力結(jié)束之后，控制系統(tǒng)能迅速的將重物擺動(dòng)的角度抑制在極小的范圍內(nèi)，控制期間的最大擺動(dòng)角度約為0.04rad。由于加速時(shí)間不同，抑制重物擺動(dòng)的時(shí)間略有差別。曲線1停擺時(shí)間約為6s；曲線2停擺時(shí)間約為7s；曲線3停擺時(shí)間約為8s.若不考慮恒定驅(qū)動(dòng)力的加速時(shí)間，重物停擺時(shí)間相差不大。

如圖8所示，小車在3種情況下小車在0時(shí)刻的加速度最大，加速度最大值約為3.3m/s2，之后小車加速度的峰值越來越小。小車的最大加速度是由恒定驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的，在控制階段，小車的加速度明顯降低，并且快速穩(wěn)定到0m/s2。

圖8 小車加速度變化

4 結(jié)語

根據(jù)仿真數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的控制算法在兩種情況下啟動(dòng)都能很好地控制小車的行駛速度，同時(shí)能有效的抑制重物的擺動(dòng)。

小車勻速運(yùn)行速度較低時(shí)，完全由控制器控制小車的啟動(dòng)，能有效的降低重物的最大擺角，并且系統(tǒng)能快速到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

小車勻速行駛的速度較高時(shí)，完全由控制器控制小車的啟動(dòng)會(huì)顯著增加重物的最大擺角，并且小車會(huì)受到較大的柔性沖擊。先施加恒定驅(qū)動(dòng)力后在采用控制器能有效的減小重物的最大擺角和小車的柔性沖擊。