例談?wù)T導(dǎo)公式的轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)功能

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

誘導(dǎo)公式是高中三角函數(shù)中的重要公式，利用誘導(dǎo)公式可以使看似復(fù)雜的三角函數(shù)問題得到巧妙的解答，起到事半功倍的作用.誘導(dǎo)公式充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，而轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想主要是通過誘導(dǎo)公式的誘導(dǎo)功能實(shí)現(xiàn)的.下面舉例說明誘導(dǎo)公式的轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)功能.

一、利用公式轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)出所需要的“角”

分析此題是給角求值問題，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化導(dǎo)出特殊的銳角，然后運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求解.

二、利用公式轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)出所需要的“函數(shù)名”

例2 求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值.

分析不難發(fā)現(xiàn)1°+89°=90°，2°+88°=90°，…，44°+46°=90°,所以sin89°=sin(90°-1°)=cos1°，sin88°=sin(90°-2°)=cos2°，…，sin44°=sin(90°-46°)=cos44°，再利用公式sin2α+cos2α=1(α∈R)即可求解.

解析由1°+89°=90°，得sin89°=sin(90°-1°)=cos1°，所以sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于正、余弦的互余關(guān)系問題，都可用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)出所需要的函數(shù)名，即若α與β是互余角，則sinα=cosβ，cosα=sinβ.

三、利用公式轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)出所需要的“函數(shù)式”

分析結(jié)合函數(shù)式的特點(diǎn)，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及輔助角公式，把函數(shù)式最終化為y=Asin(ωx+φ)+K的形式，然后再求最小正周期和最值.

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及輔助角公式，把函數(shù)式最終化為我們需要的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+K的形式，體現(xiàn)了解題活動(dòng)的目標(biāo)意識(shí).

四、利用公式轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)出所需要的“聯(lián)系”

點(diǎn)評(píng)對(duì)于這類問題，要善于發(fā)現(xiàn)已知角和結(jié)論角互余(或互補(bǔ))關(guān)系，充分利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)出所需要的已知式和被求值式之間的關(guān)系.

例5 設(shè)函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，且滿足f(2019)=-1，求f(2020)的值.

分析根據(jù)已知條件，尋求f(2019)和f(2020)之間的關(guān)系，這個(gè)聯(lián)系就是我們解答問題的關(guān)鍵.

解析因?yàn)閒(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，f(2019)=-1，所以f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-1.

所以f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)

=asin[π+(2019π+α)]+bcos[π+(2019π+β)]

=-asin(2019π+α)-bcos(2019π+β)

=-[asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)]

=-(-1)=1.

點(diǎn)評(píng)f(2020)和f(2019)是通過“π+α”的誘導(dǎo)公式聯(lián)系轉(zhuǎn)化溝通的.