一道校級(jí)競賽選拔題的解答與思考

鄭 良

(安徽省合肥市第四中學(xué) 230000)

一、試題呈現(xiàn)與解答

題目設(shè)x,y,z為整數(shù)，且x+y+z=3，x3+y3+z3=3，則x2+y2+z2=____.

解法1設(shè)x=1+a，y=1+b，z=1+c，由x+y+z=3中，得a+b+c=0，代入x3+y3+z3=3，得a3+b3+c3+3(a2+b2+c2)=0.因?yàn)閍3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0，所以a3+b3+c3-3abc=0.所以a2+b2+c2=-abc，且abc≤0.

所以x2+y2+z2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+3=3-abc.

(1)若a,b,c中存在數(shù)為零時(shí)，可得a=b=c=0，那么x2+y2+z2=3，此時(shí)x=y=z=1滿足條件；

(2)若a,b,c中不存在數(shù)為零時(shí)，由abc≤0可知它們?yōu)閮烧回?fù)，不妨設(shè)a≥b>0>c.

將c=-a-b代入a2+b2+c2=-abc，得2(a2+ab+b2)=ab(a+b).

當(dāng)ab=2，a+b=2時(shí)，方程組無解；

當(dāng)a+b=6，ab=9時(shí)，a=3，b=3，此時(shí)c=-6，即x=4,y=4,z=-5，所以x2+y2+z2=57.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

分別解得x=y=1，無解，x=y=4.

當(dāng)x=y=1時(shí)，z=3-(x+y)=1，x2+y2+z2=3；

當(dāng)x=y=4時(shí)，z=3-(x+y)=-5，x2+y2+z2=57.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

解法3不妨設(shè)x≥y≥z，由x+y+z=3，得x≥1，z≤1，所以x+y=3-z≥2.

由x+y=3-z，得x3+y3=3-z3.

因?yàn)閤+y|x3+y3，即3-z|3-z3.

(1)當(dāng)3-z=2，即z=1時(shí)，x+y=2，x3+y3=2，得x=y=1，此時(shí)x2+y2+z2=3；

(2)當(dāng)3-z=3，即z=0時(shí)，x+y=3，x3+y3=3，方程組無實(shí)數(shù)解；

(3)當(dāng)3-z=4，即z=-1時(shí)，x+y=4，x3+y3=4，方程組無實(shí)數(shù)解；

(4)當(dāng)3-z=6，即z=-3時(shí)，x+y=6，x3+y3=30，方程組無實(shí)數(shù)解；

(5)當(dāng)3-z=8，即z=-5時(shí)，x+y=8，x3+y3=128，得x=y=4，此時(shí)x2+y2+z2=57；

(6)當(dāng)3-z=12，即z=-9時(shí)，x+y=12，x3+y3=732，方程組無整數(shù)解；

(7)當(dāng)3-z=24，即z=-21時(shí)，x+y=24，x3+y3=9264，方程組無整數(shù)解.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

目前太谷縣全縣50%飲用水來源于龐莊水庫，龐莊水庫主要向兩個(gè)水廠（站）供水，分別是太谷縣自來水公司在楊家莊村設(shè)立的水廠和小白供水站。主要用水區(qū)域?yàn)樘瓤h城、小白鄉(xiāng)、水秀鄉(xiāng)、胡村鎮(zhèn)。

解法4令d=y+z，e=z+x，f=x+y，則d+e+f=6，d,e,f均為整數(shù)，不妨設(shè)f最大，故f≥2.

3def=3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)3-(x3+y3+z3)=24，所以def=8.

得(f-2)2(f-8)≥0.

當(dāng)f=2時(shí)，則d+e=4，de=4.解得d=e=f=2.即x=y=z=1，此時(shí)x2+y2+z2=3；

當(dāng)f≠2，則f≥8.又def=8，d,e,f均為整數(shù)，故f=8，則d+e=-2，de=1，解得d=e=-1，即x=y=4，z=-5，此時(shí)x2+y2+z2=57.

綜上所述，x2+y2+z2的值為3和57.

評(píng)注解法1從增量的角度設(shè)元，從而將x,y,z的關(guān)系轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系，構(gòu)建目標(biāo)x2+y2+z2與a,b,c的聯(lián)系，再結(jié)合a+b+c=0和abc≤0，利用符號(hào)法則進(jìn)行分類討論，對(duì)于“a,b,c中沒有數(shù)為零時(shí)”，通過變形利用整數(shù)的分解進(jìn)行轉(zhuǎn)化，無論哪種情況，都要驗(yàn)證所求值的存在性.

解法2直接聯(lián)立消去z，構(gòu)建xy與x+y的關(guān)系，利用整數(shù)的性質(zhì)及數(shù)的整除性化無限為有限，求解關(guān)于x、y的方程組，最終確定目標(biāo).當(dāng)然也可將3(x+y)2-(xy+9)(x+y)+8=0視為關(guān)于x+y的一元二次方程，根據(jù)(xy+9)2-96為完全平方數(shù)求解.

解法3從x+y與x3+y3之間的關(guān)系入手，利用整除的性質(zhì)得到3-z|24，進(jìn)而求解關(guān)于x，y的方程組，最終確定目標(biāo).

解法4根據(jù)已知條件巧妙換元，利用公式3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)3-(x3+y3+z3)實(shí)施化歸，進(jìn)而構(gòu)建不等式進(jìn)行消元，等價(jià)變形是解題的關(guān)鍵.

二、兩點(diǎn)思考

1.注重邏輯推理過程，確保過程與結(jié)果的正確性

很多學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)x=y=z=1是滿足條件的一組解，直接得出“結(jié)果x2+y2+z2=3”.事實(shí)上，x=y=z=1只是滿足條件的局部解，是否是唯一解并未加以證實(shí)，豈能用特殊代替一般.以上解答中，根據(jù)對(duì)稱性均對(duì)實(shí)數(shù)x,y,z進(jìn)行了排序，從而利用平均值原理簡化求解過程，通過以上過程可知滿足條件的解(x,y,z)為四組，分別為(1,1,1)，(4,4,-5)，(4,-5,4)，(-5,4,4).平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，我們要加強(qiáng)推理，逐步形成嚴(yán)謹(jǐn)有序的推理習(xí)慣，積累規(guī)范表達(dá)的基本技能.

2.理解與掌握“四基”，提高解題的合理性與靈活性