趙 遠(yuǎn)，胡建民，王月媛，牛 麗

(哈爾濱師范大學(xué) 光電帶隙材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 物理與電子工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025)

一維原子鏈?zhǔn)枪腆w物理晶格動(dòng)力學(xué)的基本模型，模型雖然簡(jiǎn)單卻極具代表性.利用經(jīng)典的牛頓力學(xué)方法求解的一維原子鏈色散關(guān)系也成為分析晶格原子振動(dòng)特點(diǎn)及晶體性質(zhì)的理論基礎(chǔ).簡(jiǎn)諧近似下求解晶格原子的動(dòng)力學(xué)方程可得晶格常數(shù)為a的一維單原子鏈色散關(guān)系為[1]

(1)

(2)

為進(jìn)一步研究原胞中三個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，孫美慧等人[5]求解一維三原子鏈的動(dòng)力學(xué)方程得到其色散關(guān)系為

-m1m2m3ω6+2β(m2m3+m1m3+m1m2)ω4-

3β2(m1+m2+m3)ω2+2β3(1-cos 3qa)=0

(3)

上式中m1、m2和m3是原胞中依次等間距排列的三個(gè)不同原子的質(zhì)量.如果令m1m2m3=xj，m1+m2+m3=xh，m2m3+m1m3+m1m2=xjh，可得

(4)

(5)

(6)

其中θ=arccosT，而

根據(jù)式(4)、式(5)和式(6)可得一維三原子鏈的色散關(guān)系曲線，如圖1所示.由圖1可見(jiàn)，一維三原子鏈的色散關(guān)系曲線包括3支，分別為聲學(xué)波ω1、低頻光學(xué)波ω2和高頻光學(xué)波ω3，存在兩個(gè)頻率禁帶，即低頻光學(xué)波與聲學(xué)波之間的頻率禁帶ωg1和高、低頻光學(xué)波之間的頻率禁帶ωg2.孫美慧[5]在此基礎(chǔ)上討論了一維三原子鏈與一維單原子鏈色散關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，并未對(duì)頻譜寬度以及頻率禁帶進(jìn)行深入研究.

本文以原胞內(nèi)原子質(zhì)量分別為m1、m2和m3的一維三原子鏈為研究對(duì)象，在恢復(fù)力系數(shù)不變的情況下分析原子質(zhì)量對(duì)頻譜寬度Δω1、Δω2和Δω3以及頻率禁帶ωg1和ωg2的影響規(guī)律，研究結(jié)果可為晶體帶通濾波器的設(shè)計(jì)及晶體的性質(zhì)分析提供理論依據(jù)，也是對(duì)固體物理教學(xué)內(nèi)容的豐富和補(bǔ)充.

圖1 一維三原子鏈簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的色散關(guān)系曲線

1 原子質(zhì)量對(duì)一維三原子鏈頻譜寬度的影響

為分析一維三原子鏈頻譜寬度隨原子質(zhì)量變化的基本規(guī)律，在一維三原子鏈中，取原子質(zhì)量不同m1≠m2≠m3且m1

圖2 一維三原子鏈頻帶頂和頻帶底隨原子質(zhì)量變化的關(guān)系曲線

由圖2可見(jiàn)，隨原子質(zhì)量m1、m2和m3增加，所有頻帶的帶頂和帶底均降低，只是圖2(a)中聲學(xué)波和低頻光學(xué)波頻帶頂隨m1變化，圖2(b)中聲學(xué)波的頻帶頂隨m2變化，圖2(c)中低頻和高頻光學(xué)波的頻帶底隨m3變化相對(duì)微弱，其余頻帶頂和頻帶底均隨原子質(zhì)量的增加而降低.

圖3為一維三原子鏈頻譜寬度隨質(zhì)量變化的關(guān)系曲線，圖3中曲線同樣是在原胞內(nèi)三個(gè)原子、其中兩個(gè)原子質(zhì)量為定值而另一原子質(zhì)量變化的情況下得到的，圖中原子質(zhì)量數(shù)據(jù)使用三個(gè)原子質(zhì)量的相對(duì)值.

圖3 一維三原子鏈頻譜寬度隨原子質(zhì)量變化的關(guān)系曲線

由圖3可見(jiàn)，原胞內(nèi)三個(gè)原子的質(zhì)量變化對(duì)三支格波的頻譜寬度均有影響，這與一維雙原子鏈明顯不同，一維雙原子鏈聲學(xué)波頻譜寬度只與重原子質(zhì)量有關(guān).這說(shuō)明在原胞內(nèi)含有三個(gè)原子的情況下頻譜寬度的改變是晶體中所有原子參與的集體運(yùn)動(dòng)行為.由圖3(a)可見(jiàn)，聲學(xué)波頻譜寬度Δω1隨原子質(zhì)量m1、m2和m3的增加均逐漸減小，即聲學(xué)波的頻率極限不斷降低，其變化率隨m3變化最為顯著，隨m1變化微弱，說(shuō)明聲學(xué)波頻譜寬度變化主要取決于大原子質(zhì)量變化.由圖3(b)可見(jiàn)，低頻光學(xué)波頻譜寬度Δω2隨小原子質(zhì)量增加顯著增加，隨大原子質(zhì)量的增加而顯著降低，隨中間原子質(zhì)量的增加先增大而后減小，變化相對(duì)微弱.

由圖3(c)可見(jiàn)，高頻光學(xué)波頻譜寬度Δω3隨小原子質(zhì)量增加而顯著增加，而隨大原子質(zhì)量增加顯著減小，與低頻光學(xué)波頻譜寬度變化規(guī)律相近，這說(shuō)明光學(xué)波頻譜寬度變化更多地取決于大原子和小原子質(zhì)量的變化.對(duì)比圖3(b)和(c)可見(jiàn)，中間原子質(zhì)量變化對(duì)光學(xué)波，特別是對(duì)低頻光學(xué)波頻譜寬度影響相對(duì)微弱.

2 原子質(zhì)量對(duì)一維三原子鏈頻率禁帶的影響

圖4(a)和4(b)分別是一維三原子鏈頻率禁帶ωg1和ωg2隨原胞中原子質(zhì)量變化的關(guān)系曲線.圖4中同樣取原胞內(nèi)三個(gè)原子，其中兩個(gè)原子質(zhì)量為定值而另一原子質(zhì)量變化，原子質(zhì)量數(shù)據(jù)使用三個(gè)原子質(zhì)量的相對(duì)值.由圖4可見(jiàn)，原胞內(nèi)三個(gè)原子質(zhì)量的變化都顯著影響頻率禁帶的變化，說(shuō)明頻率禁帶變化是原胞內(nèi)三個(gè)原子均參與的集體運(yùn)動(dòng)行為.

由圖4(a)和4(b)可見(jiàn)，頻率禁帶ωg1和ωg2均隨小原子質(zhì)量m1的增加而逐漸變窄，而隨大原子質(zhì)量m3的增加逐漸變寬；隨中間原子質(zhì)量m2的增加，ωg1逐漸變窄而ωg2逐漸變寬.一維三原子鏈的頻率禁帶ωg1和ωg2分別取決于低頻光學(xué)波頻帶底ω2b與聲學(xué)波頻帶頂ω1t，以及高頻光學(xué)波頻帶底ω3b與低頻光學(xué)波頻帶頂ω2t的變化.隨原子質(zhì)量的增加，低頻光學(xué)波頻帶底ω2b和聲學(xué)波頻帶頂ω1t、高頻光學(xué)波頻帶底和低頻光學(xué)波頻帶頂均降低的情況下，頻率禁帶可能變寬也可能變窄，主要取決于二者下降的幅度.

圖4 一維三原子鏈頻率禁帶隨原子質(zhì)量變化的關(guān)系曲線

首先，頻率禁帶ωg1隨m1的增加而顯著變窄，這是圖2(a)中隨m1的增加聲學(xué)波頻帶頂ω1t微弱降低，而低頻光學(xué)波頻帶底ω2b顯著降低造成的；頻率禁帶ωg2隨m1的增加而逐漸變窄，這是圖2(a)中隨m1的增加高頻光學(xué)波頻帶底ω3b顯著降低，而低頻光學(xué)波頻帶頂ω2t微弱降低造成的.其次，隨m2的增加頻率禁帶ωg1顯著變窄，而頻率禁帶ωg2顯著變寬，這是圖2(b)中隨m2的增加，低頻光學(xué)波頻帶底ω2b顯著降低而聲學(xué)波頻帶頂ω1t微弱降低，以及低頻光學(xué)波的頻帶頂ω2t顯著降低而高頻光學(xué)波的頻帶底ω3b微弱降低導(dǎo)致的.最后，頻率禁帶ωg1和ωg2均隨m3的增加逐漸變寬，這是圖2(c)中隨m3的增加低頻光學(xué)波頻帶底ω2b微弱降低，而聲學(xué)波頻帶頂ω1t顯著降低，以及高頻光學(xué)波頻帶底ω3b微弱降低，而低頻光學(xué)波頻帶頂ω2t顯著降低引起的.

利用一維光子晶體超晶格概念和光子帶隙結(jié)構(gòu)可以設(shè)計(jì)各種不同的濾波器[6]，光子晶體研究的核心內(nèi)容之一就是能帶結(jié)構(gòu)的調(diào)整.一維三原子鏈可以看作是具有兩個(gè)頻率禁帶的晶體帶通濾波器，本文的相關(guān)研究結(jié)果可為帶通濾波器的設(shè)計(jì)提供理論參考.

3 結(jié)論

本文通過(guò)數(shù)值分析討論一維三原子鏈原胞內(nèi)原子質(zhì)量對(duì)色散關(guān)系的影響，主要研究頻譜寬度和頻率禁帶隨原子質(zhì)量變化的基本規(guī)律.

頻譜寬度研究結(jié)果表明，在原胞中只有一個(gè)原子質(zhì)量發(fā)生變化的情況下，隨小原子質(zhì)量m1增加，聲學(xué)波頻譜寬度Δω1逐漸變窄且變化微弱，而兩個(gè)光學(xué)波頻譜寬度Δω2和Δω3顯著增寬；隨中間原子質(zhì)量m2增加，Δω1和Δω3逐漸變窄，而Δω2先增寬而后變窄且變化微弱；隨大原子質(zhì)量m3增加，Δω1、Δω2和Δω3均顯著變窄.頻率禁帶研究結(jié)果表明，在原胞中只有一個(gè)原子質(zhì)量發(fā)生變化的情況下，隨小原子質(zhì)量m1的增加，頻率禁帶ωg1和ωg2均顯著變窄；隨中間原子質(zhì)量m2增加，ωg1顯著變窄而ωg2顯著增寬；隨大原子質(zhì)量m3的增加，ωg1和ωg2均顯著加寬.引起上述結(jié)果的主要原因是原子質(zhì)量變化導(dǎo)致格波頻率和頻譜寬度發(fā)生變化.此外，與一維雙原子鏈色散關(guān)系不同，一維三原子鏈原胞內(nèi)任意一個(gè)原子質(zhì)量發(fā)生變化都會(huì)引起所有格波頻譜寬度和頻率禁帶的變化，說(shuō)明色散關(guān)系所表征的晶格振動(dòng)模式是原胞內(nèi)三個(gè)原子全部參與的集體運(yùn)動(dòng)行為.

本文相關(guān)研究結(jié)果可為帶通濾波器設(shè)計(jì)提供理論參考，同時(shí)也是對(duì)固體物理教學(xué)內(nèi)容的豐富和補(bǔ)充.