李羿萱，杜選民，周勝增，高 運(yùn)

(上海船舶電子設(shè)備研究所，上海 201108)

0 引 言

隨著被動(dòng)聲吶檢測(cè)性能的不斷提高，聲吶的作用距離得到有效提高，在聲吶作用距離內(nèi)可檢測(cè)到的目標(biāo)數(shù)大大增加，多目標(biāo)軌跡分布情況越來(lái)越復(fù)雜，同時(shí)背景雜波數(shù)目也隨之增多，如何在多目標(biāo)復(fù)雜的情況下對(duì)感興趣的威脅目標(biāo)進(jìn)行有效跟蹤具有迫切需求。

傳統(tǒng)的被動(dòng)聲吶跟蹤方法，適用于目標(biāo)較少且方位間隔較大的情況，對(duì)于目標(biāo)較多且軌跡變化比較復(fù)雜的情況，例如目標(biāo)交叉、鄰近、新目標(biāo)出現(xiàn)、已有目標(biāo)突然消失等情形，往往會(huì)出現(xiàn)失跟、漏跟以及錯(cuò)跟等情況。例如多假設(shè)跟蹤[1]和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法[2]等基于數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)技術(shù)的多目標(biāo)跟蹤方法，在目標(biāo)數(shù)較少、多目標(biāo)情況不復(fù)雜的條件下，可以獲得一定的有效跟蹤效果，但是在目標(biāo)數(shù)目增加或者目標(biāo)情況復(fù)雜的情況下，容易在計(jì)算復(fù)雜度增大的同時(shí)導(dǎo)致跟蹤效果較差。這是由于這些算法的中心思想是將多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題解析成多個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題，再對(duì)各個(gè)單目標(biāo)分別進(jìn)行濾波處理，最后通過(guò)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的方法融合每個(gè)單目標(biāo)處理后的結(jié)果。

針對(duì)傳統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤算法面對(duì)強(qiáng)干擾或多目標(biāo)軌跡情況復(fù)雜時(shí)跟蹤效果較差的問(wèn)題，Mahler 教授提出了基于隨機(jī)有限集理論（RFS）的概率假設(shè)密度濾波[3]（PHD）的多目標(biāo)跟蹤算法，實(shí)現(xiàn)了集函數(shù)的積分運(yùn)算到單個(gè)變量積分運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問(wèn)題，解決了計(jì)算復(fù)雜度“爆炸”的問(wèn)題，適用于較復(fù)雜背景下的多目標(biāo)跟蹤。Vo 教授的研究小組為了解決PHD 濾波器不存在一般意義上解析解的問(wèn)題，分別提出了能提供閉合解的高斯混合PHD（GM-PHD）濾波器和粒子PHD（P-PHD）濾波器[4]。其中，GM-PHD 濾波器既可以提供PHD 的解析解，又避免了粒子采樣和聚類(lèi)等復(fù)雜操作，具有運(yùn)算效率高、計(jì)算量較小的優(yōu)點(diǎn)，已在雷達(dá)的多目標(biāo)領(lǐng)域得到應(yīng)用[5]。

本文針對(duì)多目標(biāo)干擾情況下被動(dòng)聲吶的多目標(biāo)中威脅目標(biāo)方位的自動(dòng)跟蹤進(jìn)行研究，提出一種基于GM-PHD 濾波器的威脅目標(biāo)方位的自動(dòng)跟蹤算法。首先利用GM-PHD 濾波器對(duì)多目標(biāo)時(shí)間方位歷程圖進(jìn)行處理，得到觀測(cè)區(qū)域內(nèi)所有存在目標(biāo)的方位信息，對(duì)這些存在目標(biāo)的方位進(jìn)行功率譜估計(jì)，再利用GMPHD 濾波器對(duì)觀測(cè)區(qū)域內(nèi)所有目標(biāo)的線譜進(jìn)行跟蹤，通過(guò)提取不同頻段線譜能量區(qū)分干擾目標(biāo)和威脅目標(biāo)，有效地找出多目標(biāo)中威脅目標(biāo)的軌跡及方位信息。最后，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)所提算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 算法原理

為了精確地找到感興趣的威脅目標(biāo)的方位，首先對(duì)多目標(biāo)的時(shí)間方位歷程圖（BTR）進(jìn)行多目標(biāo)方位跟蹤處理，本文使用GM-PHD 濾波的算法進(jìn)行多目標(biāo)的跟蹤處理，得到觀測(cè)區(qū)域內(nèi)所有存在目標(biāo)的方位，并對(duì)每一個(gè)存在目標(biāo)的方位進(jìn)行功率譜估計(jì)和頻率歸一化，得到每個(gè)目標(biāo)的線譜信息，再使用GM-PHD 濾波算法對(duì)目標(biāo)線譜進(jìn)行跟蹤，通過(guò)分析不同頻段線譜的能量特征，找出感興趣的威脅目標(biāo)并給出威脅目標(biāo)的方位信息。

圖1 多目標(biāo)中威脅目標(biāo)方位的自動(dòng)跟蹤流程圖Fig. 1 Flow chart of automatic tracking of threat target position in multiple targets

2 基于GM-PHD 濾波器的多目標(biāo)跟蹤

2.1 PHD 濾波基本算法

假設(shè)在k時(shí)刻，目標(biāo)的數(shù)目是M(k)，且在k?1時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)隨機(jī)集是Xk?1={xk?1,1,···,xk?1,M(k?1)}，則k時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)隨機(jī)有限集可以表示為Xk={xk,1,···,xk,M(k)} 。觀測(cè)集可以表示為Zk={zk,1,···,zk,N(k)}，觀測(cè)到的目標(biāo)數(shù)目可以表示為N(k)。

可以將k時(shí)刻的狀態(tài)集Xk表示為隨機(jī)集：

其中，Sk|k?1(x) 表示由k?1時(shí) 刻至k時(shí)刻時(shí)仍然存在的目 標(biāo) 的 隨 機(jī) 有 限 集；Bk|k?1(x) 表 示 由k?1時(shí) 刻 的 狀 態(tài)x在k時(shí)刻衍生出的目標(biāo)隨機(jī)有限集； Γk表示在k時(shí)刻瞬間出現(xiàn)的新目標(biāo)的隨機(jī)有限集。

以此類(lèi)推，觀測(cè)集Zk也可以用隨機(jī)有限集的形式來(lái)表示：

其中，Kk表示虛警或雜波產(chǎn)生的觀測(cè)值的隨機(jī)有限集，Θk(x) 表示由真實(shí)目標(biāo)Xk產(chǎn)生的觀測(cè)值的隨機(jī)有限集[4]。

多目標(biāo)系統(tǒng)需要滿足以下3 個(gè)假設(shè)條件[3]：

1）每個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過(guò)程與其產(chǎn)生的觀測(cè)彼此相互獨(dú)立；

2）由先驗(yàn)概率預(yù)測(cè)獲得的多目標(biāo)隨機(jī)有限集（RFS）遵循泊松分布；

3）雜波的隨機(jī)有限集遵循泊松分布，并且與目標(biāo)所產(chǎn)生的觀測(cè)的隨機(jī)有限集相互獨(dú)立。

PHD 濾波的基本遞歸方程如下：

式中：vk|k?1(·)表 示多目標(biāo)隨機(jī)有限集的預(yù)測(cè)PHD，vk(·)表示多目標(biāo)隨機(jī)有限集的更新PHD。更新PHD 函數(shù)vk(·)是一個(gè)單目標(biāo)狀態(tài)空間上的多峰值函數(shù)，對(duì)其積分可以獲得所選區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)的期望數(shù)，其物理意義是狀態(tài)空間中目標(biāo)個(gè)數(shù)的后驗(yàn)強(qiáng)度，其所對(duì)應(yīng)的峰值即為目標(biāo)狀態(tài)，其峰值個(gè)數(shù)表示目標(biāo)個(gè)數(shù)。

2.2 基于GM-PHD 濾波器的被動(dòng)聲吶目標(biāo)跟蹤方法

將GM-PHD 濾波器應(yīng)用于被動(dòng)聲吶的目標(biāo)跟蹤，除了要遵循PHD 濾波器的假設(shè)外，多目標(biāo)的線性高斯模型應(yīng)包括新生目標(biāo)、消失目標(biāo)、一直存在目標(biāo)的3 種情況。

被動(dòng)聲吶的觀測(cè)范圍為[0°,180°]，目標(biāo)狀態(tài)變量用xk=[ak,]表 示，其中ak表示k時(shí)刻時(shí)目標(biāo)的角度，表示k時(shí)刻目標(biāo)的角度變化率。

在多目標(biāo)的跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型遵循下式的線性高斯條件：

其中：fk|k?1(·|·)表 示單目標(biāo)轉(zhuǎn)移概率密度；N(·;m,P)表示均值為m；協(xié)方差為P的高斯分布；Fk?1表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Qk?1表示過(guò)程噪聲協(xié)方差。

目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fk和噪聲協(xié)方差矩陣Qk分別為：

其中，取T=1表 示采樣時(shí)間，過(guò)程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差 σv=1 m/s2。

目標(biāo)觀測(cè)模型服從下式的線性高斯條件：

其中，gk(·|·) 表示單目標(biāo)量測(cè)似然函數(shù)，Hk表示觀測(cè)矩陣，Rk表示觀測(cè)噪聲協(xié)方差。

目標(biāo)的觀測(cè)方程為：

其中，觀測(cè)向量zk=[θk]， θk為聲吶觀測(cè)的目標(biāo)方位信息，nk為環(huán)境噪聲。

假設(shè)每個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型和觀測(cè)模型都符合線性高斯模型，各目標(biāo)的存活概率PS,k(·) 和發(fā)現(xiàn)概率PD,k(·)相互獨(dú)立，則基于GM-PHD 的被動(dòng)聲吶目標(biāo)跟蹤算法具體步驟為：

1）預(yù)測(cè)

假設(shè)在k?1時(shí)刻，多目標(biāo)的后驗(yàn)強(qiáng)度（PHD）可以用高斯混合形式表示：

在k時(shí)刻，也可以通過(guò)高斯混合形式來(lái)表示預(yù)測(cè)的多目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)（PHD）：

其中，可以利用卡爾曼濾波分別推導(dǎo)得到存活目標(biāo)和衍生目標(biāo)的高斯分量的預(yù)測(cè)均值和協(xié)方差：

2）更新

根據(jù)卡爾曼濾波得到更新后的多目標(biāo)概率假設(shè)密度（PHD）的高斯分量的特征參數(shù)如下：

由式（4）可得更新后的多目標(biāo)概率假設(shè)密度（PHD）為：

其中：

3）合并與裁剪

在GM-PHD 濾波實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，隨著時(shí)間的增加，后驗(yàn)概率的高斯項(xiàng)的數(shù)目會(huì)不斷增多，所以需要通過(guò)對(duì)濾波后的高斯分量進(jìn)行合并和裁剪來(lái)達(dá)到控制高斯項(xiàng)數(shù)目的目的[6]?？梢酝ㄟ^(guò)設(shè)置合并閾值U，將兩個(gè)歐氏距離在門(mén)限U內(nèi)的高斯分量合并為一個(gè)；可以通過(guò)設(shè)置裁剪閾值T，裁剪掉權(quán)值低于T的高斯分量。

經(jīng)過(guò)對(duì)高斯混合分量的合并與裁剪，可以估計(jì)目標(biāo)的數(shù)目為分量的權(quán)值之和

2.3 基于GM-PHD 濾波的線譜跟蹤方法

通過(guò)對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行方位跟蹤得到各個(gè)目標(biāo)的方位信息后，對(duì)其進(jìn)行功率譜估計(jì)，并進(jìn)行頻率歸一化的計(jì)算，將標(biāo)準(zhǔn)化的頻譜通過(guò)基于GM-PHD 濾波的線譜跟蹤器進(jìn)行線譜跟蹤。

基于GM-PHD 濾波的線譜跟蹤與2.2 節(jié)中方位跟蹤的區(qū)別在于，將目標(biāo)的狀態(tài)變量用表示，其中fk表示k時(shí)刻時(shí)線譜的頻率，表示k時(shí)刻時(shí)線譜的頻率變化率，其預(yù)測(cè)與更新過(guò)程均與方位跟蹤的過(guò)程相同。

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

海試數(shù)據(jù)由拖曳式48 元均勻線列陣采樣獲得，試驗(yàn)過(guò)程中合作目標(biāo)包含豐富的線譜成分，方向由68°向57°變化，同時(shí)存在約15 個(gè)干擾目標(biāo)。圖2 為寬帶能量檢測(cè)檢測(cè)圖，圖中包含給出個(gè)多個(gè)目標(biāo)的軌跡，在實(shí)際應(yīng)用中很難快速找出感興趣的窄帶線譜目標(biāo)。

GM-PHD 濾波跟蹤算法對(duì)圖2 數(shù)據(jù)的跟蹤結(jié)果，如圖3 所示。

圖2 真實(shí)海試數(shù)據(jù)的寬帶能量檢測(cè)圖Fig. 2 Broadband energy detection map of real sea trial data

圖3 基于GM-PHD 濾波器的真實(shí)海試數(shù)據(jù)的跟蹤結(jié)果Fig. 3 Tracking results of real sea trial data based on GM-PHD filter

通過(guò)對(duì)所選區(qū)域所有存在目標(biāo)的方位進(jìn)行線譜特征分析，可以找出感興趣的威脅目標(biāo)，其時(shí)間方位歷程圖如圖4 所示。

圖4 威脅目標(biāo)的時(shí)間方位歷程圖Fig. 4 Time-bearing gragh of the threat target

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用GM-PHD 濾波算法在復(fù)雜情況下的被動(dòng)聲吶的多目標(biāo)跟蹤時(shí)的良好性能，建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)與觀測(cè)的隨機(jī)有限集模型，有效地跟蹤了多目標(biāo)的方位軌跡，驗(yàn)證了高斯混合概率密度假設(shè)濾波跟蹤算法可以在強(qiáng)雜波的條件下，對(duì)多目標(biāo)交叉鄰近、新目標(biāo)衍生或新生、目標(biāo)突然消失的多目標(biāo)復(fù)雜情況進(jìn)行有效跟蹤。

本文基于此實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜情況下多目標(biāo)中威脅目標(biāo)方位的自動(dòng)跟蹤，成功獲取了威脅目標(biāo)的時(shí)間方位歷程圖，有望在被動(dòng)聲吶中得到工程實(shí)用。