數(shù)學(xué)之美
——淺談數(shù)學(xué)模型

趙中鑫

（山東省濟(jì)南市章丘雙語學(xué)校，山東 濟(jì)南 250200）

1 什么是數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型，一般是指用數(shù)學(xué)語言、符號(hào)或圖形等形式來刻畫，描述反映特定的問題或具體事物之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。黃仁宇先生曾在《萬歷十五年中》這樣寫道：“公元1587年，是平平淡淡的一年，這平平淡淡的一年中發(fā)生了許多事件。這些事件，表面看來呈似末端小節(jié)，但事實(shí)上卻是以前發(fā)生大事的癥結(jié)，也是將在以后掀起波瀾的機(jī)緣。其間的關(guān)系因果恰為歷史的重點(diǎn)。”數(shù)學(xué)的綜合題，從歷史角度看，因果在其中，另有平時(shí)的末端小節(jié)，才能引起最后的波瀾。因此建立數(shù)學(xué)模型是必要的，數(shù)學(xué)模型的一般化、典型化和精確化的特點(diǎn)，正是綜合題的癥結(jié)。

2 數(shù)學(xué)模型的意義

2.1 對(duì)于美的感受

某國的一堂公開課上的題目是在一塊矩形場(chǎng)地上筑一花壇，使其面積為場(chǎng)地的一半。上海進(jìn)才中學(xué)提倡用二次曲線畫“米老鼠”或其他畫作，發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線創(chuàng)作美術(shù)的想象力。幾何，往往給人以美的感受，而幾何中的模型，更是花之牡丹，令人心曠神怡。

2.2 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科能力的作用

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》提出的四大戰(zhàn)略主題之一，即為“堅(jiān)持能力為重”，指出“提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力”。數(shù)學(xué)學(xué)科能力是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展中經(jīng)長期積淀而形成的，蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)中，它脫離不了具體數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)科能力存在于數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，而數(shù)學(xué)學(xué)科主要活動(dòng)包括：數(shù)學(xué)計(jì)算，數(shù)學(xué)證明，數(shù)學(xué)建模。

3 數(shù)學(xué)模型的來源

1）從同類型的題目中總結(jié)出通法通解，總結(jié)出模型，模型的名稱根據(jù)模型的特點(diǎn)進(jìn)行命名。例如手拉手模型，瓜豆原理，蝴蝶模 型等。

（1）手拉手模型。

兩個(gè)頂角相等且共頂點(diǎn)的等腰三角形構(gòu)成等腰三角形

模型 手拉手

（2）瓜豆原理。

一般情況下，在某些多動(dòng)點(diǎn)問題中，動(dòng)點(diǎn)之間往往存在著某種關(guān)聯(lián)性，這就導(dǎo)致了其運(yùn)動(dòng)具有關(guān)聯(lián)性。我們依然可以從圖形變換的角度去分析兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性：從動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)Q隨著主動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)、確定而確定.這里定點(diǎn)A可視為旋轉(zhuǎn)中心，由∠A=90°及AP=AQ可以將點(diǎn)Q看成是由主動(dòng)點(diǎn)P以定點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°而來。

2）從歷史背景和歷史故事中總結(jié)出符合初中階段的模型，例如弦圖模型，費(fèi)馬點(diǎn)，胡不歸模型，婆羅摩羯多模型

（1）弦圖模型。

“弦圖”是由八個(gè)形狀相同、大小相等的直角三角形，拼成的四個(gè)長方形而圍成的中空也為正方形的正方形。早在一千七百多年前，三國時(shí)期的吳國數(shù)學(xué)家趙爽，在為我國數(shù)學(xué)巨著《周髀算經(jīng)》作注釋時(shí)，就利用它對(duì)勾股定理作出了嚴(yán)格而又簡捷的證明。

（2）費(fèi)馬點(diǎn)。

費(fèi)馬點(diǎn)問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔·托里拆利（氣壓計(jì)的發(fā)明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個(gè)問題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個(gè)點(diǎn)也稱為 托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動(dòng)了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義。

（3）胡不歸模型。

話說，從前有一小伙子外出務(wù)工，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．小伙子略懂?dāng)?shù)學(xué)常識(shí)，考慮到“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，就走布滿沙石的路直線路徑，而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”這個(gè)問題引起了人們的思索，小伙子能否節(jié)省路上時(shí)間提前到家？如果可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問題．

（4）婆羅魔羯多模型。

若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊。如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中點(diǎn)。

推廣過圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角線交點(diǎn)作任一邊的垂線，必過以其對(duì)邊為一邊，以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外心

3）由圖形的性質(zhì)總結(jié)出的模型，例如角平分線模型，中點(diǎn)四大模型，造橋選址模型，旋轉(zhuǎn)最值模型

4 至善至美的人生態(tài)度

數(shù)學(xué)總是做到至善至美，完美無缺，這是數(shù)學(xué)最高的品質(zhì)和最高的精神境界，從大的方面說，歐氏幾何公理體系的構(gòu)建，數(shù)學(xué)家通過300余年的努力來證明費(fèi)馬定理，陳景潤對(duì)哥德巴赫猜想的苦苦追求，都是追求數(shù)學(xué)“完美”的典型事例。從小的方面說，二次函數(shù)方程的曲線，既有曲線的優(yōu)美，又有數(shù)形結(jié)合的風(fēng)采。有的模型我用數(shù)學(xué)軟件做出來之后，通過展示他們的變化過程，學(xué)生們都表示非常的震撼。數(shù)學(xué)的美學(xué)風(fēng)格和藝術(shù)風(fēng)格是一脈相承的，正如埃舍爾的畫，正是數(shù)學(xué)與美學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一，統(tǒng)一中又透露著哲學(xué)思想。把數(shù)學(xué)美真正落實(shí)到課堂上還有許多工作要做，今后我要讓更多的孩子體會(huì)數(shù)學(xué)美，從模型中讓同學(xué)們回味自己美的體驗(yàn)，表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)美的感受，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)美的價(jià)值。