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      無窮限反常積分的狄利克雷(Dirichlet)判別法的應(yīng)用探討

      2021-04-15 03:31:00
      卷宗 2021年9期
      關(guān)鍵詞:有界乘積收斂性

      李 霞

      (沈陽理工大學(xué)理學(xué)院,遼寧 沈陽 110159)

      無窮限反常積分是定積分的一種推廣形式,其收斂性的判別在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論體系與其他學(xué)科實(shí)際應(yīng)用中都有著重要的意義.在諸多收斂性判別法中,狄利克雷(Dirichlet)判別法則是理論意義重要但實(shí)際操作難以下手的一個定理.因此,能否找到一類適合狄利克雷判別法條件要求的被積函數(shù),成為解決問題的關(guān)鍵,本文通過實(shí)例進(jìn)行類推,以期對狄利克雷判別法的實(shí)際應(yīng)用有所促進(jìn).

      定理[1]設(shè)f(x),g(x)在[a, +∞)上有定義,

      (1) ?X>a,g(x)∈R[a,X],?M> 0,使得對

      (2)f(x)在[a, +∞]上單調(diào),且

      由定理,狄利克雷判別法將函數(shù)乘積的無窮積分的收斂性判定問題轉(zhuǎn)化為判定兩個函數(shù)是否滿足特定條件的形式. 但在具體應(yīng)用中,相對于判別部分因式是否單調(diào)趨于零,更為困難的則是尋找是否有部分因式作為被積函數(shù)時積分有界.

      先討論可以應(yīng)用狄利克雷判別法的例子.

      解 : 對g(x)=cosx,?M=2,對于?X> 1,

      由狄利克雷判別法,當(dāng)α> 0時,收斂.

      從例1發(fā)現(xiàn),當(dāng)取g(x)為三角函數(shù)時,可以很輕松地得到其積分有界的結(jié)論,從而直接應(yīng)用狄利克雷判別法求證,在某種程度上,是三角函數(shù)的周期性及函數(shù)值有規(guī)律的取值使其很好地滿足了判別法的條件,那么三角函數(shù)的特性能否化為更一般的規(guī)律呢?

      例2:g(x)是(?∞,+∞)上周期為2π的連續(xù)函數(shù),

      證明:對?α> 0,收斂[1].

      證明:顯然,對?X> 1,g(x)在[1 ,X]上連續(xù)且可積,故g(x)在[1 ,X]上有最值.

      既 ?m,M∈R,m<M,當(dāng)x∈ [ 1 ,X]時,m≤g(x)≤M成立.

      由狄利克雷判別法,對?α> 0,收斂.

      例2提取了三角函數(shù)一個周期內(nèi)積分為零這一特性,構(gòu)成了更為一般的條件.進(jìn)一步,條件“g(x)是(?∞,+∞)上周期為2π的連續(xù)函數(shù),可弱化為“g(x)是(?∞,+∞)上周期為T的連續(xù)函數(shù),其中T為實(shí)數(shù),T> 0”。

      這樣就找到了更具普適性的一類函數(shù),可以通過證明其積分有界,從而利用狄利克雷判別法證明其與某單調(diào)趨于零函數(shù)的乘積的廣義積分收斂.但是,這也僅僅窺得問題答案的冰山一角,相信經(jīng)過深入的理論研究,可以有更多發(fā)現(xiàn).

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