夏彬彬

摘要：在處理矩陣問(wèn)題時(shí)，矩陣的分塊以及矩陣的初等變換起到了重要作用。利用矩陣的初等變換求逆矩陣相比較解方程組求逆矩陣要更加簡(jiǎn)潔，同時(shí)，在不知矩陣是否可逆時(shí)要先分情況進(jìn)行討論后再求解。在求解更加復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，要對(duì)分塊矩陣的子矩陣進(jìn)行分類討論，確定其是否可逆，若不可逆，則構(gòu)造出可逆矩陣進(jìn)行求解。本文通過(guò)舉例給出了分塊矩陣以及初等變化對(duì)求解矩陣問(wèn)題的優(yōu)越性，相比較而言，求解方程組解決矩陣問(wèn)題就顯得更加繁瑣，不推薦使用。

關(guān)鍵詞：分塊矩陣;逆矩陣;初等變換

中圖分類號(hào)：0151.21 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1概述

矩陣是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的數(shù)表，表中的元素可以是復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)，也可以是別的數(shù)域中的元素。矩陣的概念最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的數(shù)表，這一概念是由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出的。

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，矩陣是非常重要的常見(jiàn)工具，被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、優(yōu)化理論、數(shù)值分析領(lǐng)域等。在天體物理、量子力學(xué)以及數(shù)學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

分塊矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，是處理階數(shù)較高的矩陣時(shí)常采用的技巧，也是數(shù)學(xué)在多領(lǐng)域的研究工具。對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊，使高階矩陣的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為低階矩陣的運(yùn)算，同時(shí)也使原矩陣的結(jié)構(gòu)顯得簡(jiǎn)單而清晰，從而能夠大大簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，或給矩陣的理論推導(dǎo)帶來(lái)方便。有不少數(shù)學(xué)問(wèn)題利用分塊矩陣來(lái)處理或證明，將顯得簡(jiǎn)潔、明快，特別是在一些復(fù)雜問(wèn)題的處理方面，分塊矩陣具有很大的優(yōu)越洼。

分塊矩陣是一個(gè)矩陣，它是把矩陣分別按照橫豎分割成一些小的子矩陣，然后把每個(gè)小矩陣看成一個(gè)元素。分塊矩陣最重要的應(yīng)用之一在于矩陣乘法，對(duì)矩陣加法而言，分塊與否，并不能帶來(lái)運(yùn)算的簡(jiǎn)便性。在對(duì)矩陣進(jìn)行分塊后做乘法運(yùn)算的時(shí)候，只有按照“前列等于后行”的原則分塊，才能在計(jì)算乘法的時(shí)候，轉(zhuǎn)化為普通矩陣的乘法，否則分塊是沒(méi)有意義的。

矩陣的初等變換以及矩陣的分塊是處理矩陣問(wèn)題最常用的兩種有效方法，尤其是面對(duì)復(fù)雜的矩陣問(wèn)題時(shí)顯得更加簡(jiǎn)便，本論述通過(guò)對(duì)分塊矩陣求逆的不同方法的舉例，體現(xiàn)出矩陣分塊之后的簡(jiǎn)潔性。

定義3分塊矩陣的行（列）初等變換是指對(duì)一個(gè)分塊矩陣實(shí)施下列變換。

1.交換分塊矩陣兩行（列）;

2.用一個(gè)可逆的方陣左（右）乘以分塊矩陣的某一行（列）的諸小塊;

3.用一個(gè)矩陣左（右）乘以分塊矩陣的任一行（列）加到另一行（列）上去。

分塊矩陣與一般矩陣相比可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，一般在處理某些高階的矩陣時(shí)常常被用到，并且分塊矩陣與一般矩陣的初等變換形式略有不同。一般矩陣的初等變換是用一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素，或者是給某一行（列）的每一個(gè)元素乘以—個(gè)數(shù)之后加到另一行（列）上去。而對(duì)于分塊矩陣來(lái)說(shuō)，相比較一般矩陣乘以的數(shù)，此時(shí)變成了乘以矩陣，其他均相同。

定義4設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B使得AB=I，那么A稱為可逆矩陣，B稱為A的逆矩陣。這里的矩陣可逆，既包括一般矩陣，又包括分塊形式的矩陣。

通過(guò)利用初等變換求矩陣的逆矩陣以及利用解方程組求矩陣的逆矩陣的兩種方法進(jìn)行對(duì)比，可以直觀的看到初等變換求分塊矩陣的逆矩陣要比列方程組求解分塊矩陣的逆矩陣簡(jiǎn)潔方便得多。同時(shí)也減少了計(jì)算量。這個(gè)例子也直接說(shuō)明了在求解分塊矩陣的逆矩陣時(shí)，雖然方法較多，但初等變換這種方法求逆會(huì)更加

3結(jié)束語(yǔ)

分塊矩陣是處理高階矩陣的常用有效工具，其初等變換求逆較為方便，減少了運(yùn)算量。遇到以上問(wèn)題時(shí)，可以優(yōu)先采用初等變換進(jìn)行求逆。對(duì)于使用列方程組對(duì)矩陣進(jìn)行求逆時(shí)，不僅增加了計(jì)算量，而且也容易出錯(cuò)，所以在平時(shí)求解矩陣問(wèn)題的時(shí)候，推薦將高階矩陣轉(zhuǎn)換為分塊矩陣后，利用初等變換進(jìn)行進(jìn)一步求解。