“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”研究的可能性與可行性

鄧凱

筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中一直努力探索并實(shí)踐“讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得不簡(jiǎn)單”，并在此基礎(chǔ)上提出“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張。但是有何證據(jù)表明數(shù)學(xué)能變簡(jiǎn)單？有何證據(jù)表明能讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)？基于對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的追問(wèn)，筆者在“中國(guó)知網(wǎng)”以“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”“簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)”“簡(jiǎn)易數(shù)學(xué)”“簡(jiǎn)約數(shù)學(xué)”為主題詞分別檢索到382篇、96360篇、3182篇和3486篇文獻(xiàn)，從中篩選出與“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”相關(guān)的189篇文獻(xiàn)泛讀后，再?gòu)闹羞x出36篇重要文獻(xiàn)精讀，然后根據(jù)這些文獻(xiàn)及被引文獻(xiàn)追蹤研究重要作者的著作，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多位數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家均對(duì)“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”的必要性和可行性有相關(guān)的論述。

一、“讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)”是可能的

當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞在1976年就任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席時(shí)曾說(shuō)：“如果我們積累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡(jiǎn)化和統(tǒng)一?！薄斑^(guò)去曾經(jīng)使成年人困惑的問(wèn)題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解?！?阿蒂亞的這兩句話表明數(shù)學(xué)家的使命不僅在于研究數(shù)學(xué)，還在于努力將數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化和統(tǒng)一，讓數(shù)學(xué)變得更容易理解，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然。

英國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、哲學(xué)家懷特海在著作《教育的目的》的第六章“數(shù)學(xué)課程”中指出：“我們的數(shù)學(xué)課程，應(yīng)該被設(shè)計(jì)得能夠簡(jiǎn)單明了地對(duì)具有明顯重要性的概念進(jìn)行舉例說(shuō)明?！彼€指出：“數(shù)學(xué)的一般用處，應(yīng)該是簡(jiǎn)單地研究一些一般定理，通過(guò)實(shí)例來(lái)給這些定理以有力的說(shuō)明?！睉烟睾５倪@兩個(gè)觀點(diǎn)一方面強(qiáng)調(diào)抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，另一方面強(qiáng)調(diào)內(nèi)容簡(jiǎn)單明了。

著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾說(shuō)：“幾何學(xué)之所以堪稱輝煌，就在于它只從很少的幾條公理出發(fā)，而最終卻得到了如此之多的結(jié)果。歐幾里得只用了5條公理就把千頭萬(wàn)緒的幾何素材組織起來(lái)，組成了一個(gè)有機(jī)的整體。”?牛頓這段經(jīng)典的名言表明，數(shù)學(xué)本身是“簡(jiǎn)潔”的，不僅內(nèi)容簡(jiǎn)潔，而且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、邏輯簡(jiǎn)潔、形式簡(jiǎn)潔。事實(shí)上，數(shù)學(xué)就是人們?cè)诓粩嘣噲D用簡(jiǎn)潔的方式揭示隱藏著的自然奧秘，并在“求簡(jiǎn)”目標(biāo)驅(qū)動(dòng)下興起和發(fā)展起來(lái)的。

數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因在《數(shù)學(xué)與知識(shí)的探求》中寫道：“如果沒(méi)有符號(hào)體系，數(shù)學(xué)將迷失在文字的荒原中。”?這句話不僅表明數(shù)學(xué)通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言變得更簡(jiǎn)單，而且表明符號(hào)化是讓數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單的一種方法。

因此，數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單，既是數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的需求。隨著時(shí)代的發(fā)展，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理特點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)不僅是可能的，而且是未來(lái)的趨勢(shì)。

二、“讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)”是可行的

中國(guó)科學(xué)院院士、數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家張景中先生寫過(guò)《把數(shù)學(xué)變得更容易》《把數(shù)學(xué)變得容易一些》《把高等數(shù)學(xué)變得更容易》《從數(shù)學(xué)難學(xué)談起》等多篇文章舉例論證了“數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單是可行的”這一論點(diǎn)。

他在《把數(shù)學(xué)變得更容易》一文中不僅提出了“教育數(shù)學(xué)就是要把數(shù)學(xué)變得更容易”，而且以“重建三角（筆者注：用單位菱形面積表示正弦及推廣）”在無(wú)錫、寧波、廣州等地實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，論證通過(guò)“重建三角”能讓初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得更簡(jiǎn)單。

他在《把數(shù)學(xué)變得容易一些》一文中提出“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀滓恍敝饕?個(gè)途徑：想想哪些難點(diǎn)是人為制造的，不必要的規(guī)定要改掉，制造點(diǎn)人為的“容易”（對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是具體、熟悉，而不是抽象、陌生）;引進(jìn)新的概念時(shí)，必須適合學(xué)生的思想，符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)（要返璞歸真，要把條件變得較少、較簡(jiǎn)單;盡可能對(duì)一些定理少加附加條件）;教給學(xué)生比較一般的解題方法。

與此相應(yīng)地，人教版數(shù)學(xué)教材在近年的修訂過(guò)程中，多處數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)變得比原來(lái)更簡(jiǎn)單了，有兩處變化是典型的例證。第一處是七年級(jí)下冊(cè)第10章“10.1統(tǒng)計(jì)調(diào)查”這一節(jié)中對(duì)“總體”“個(gè)體”“樣本”的描述定義。現(xiàn)行教材中寫道：“全校學(xué)生是要考察的全體對(duì)象，稱為總體，組成總體的每一個(gè)學(xué)生稱為個(gè)體，而被抽取調(diào)查的那部分學(xué)生構(gòu)成總體的一個(gè)樣本?！边@段話有一段旁白：“為了強(qiáng)調(diào)調(diào)查目的，人們有時(shí)也把全校學(xué)生喜愛(ài)的電視節(jié)目作為總體，每一個(gè)學(xué)生喜愛(ài)的電視節(jié)目作為個(gè)體?！痹摻滩倪@樣處理就是為了淡化和簡(jiǎn)化概念，學(xué)生更容易理解。第二處是八年級(jí)下冊(cè)第15章“15.3分式方程”這一節(jié)關(guān)于分式方程應(yīng)用題的檢驗(yàn)，跟檢驗(yàn)分式方程的解一樣，只需檢驗(yàn)解方程的結(jié)果是否為該分式方程的解，不需要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際。其原因是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》只要求“能解化為一元一次方程的分式方程”，所得結(jié)果只要不是增根都符合實(shí)際，因此可省去這個(gè)環(huán)節(jié)。

遵循張景中院士提出的3個(gè)途徑，在教學(xué)中可以對(duì)教材中的一些概念、定理、例題等進(jìn)行科學(xué)合理的處理，可以讓學(xué)生先簡(jiǎn)單地了解，然后通過(guò)“螺旋式上升”的教學(xué)讓學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中完整地理解與掌握，也可以讓數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單一些，讓更多的學(xué)生有興趣、有信心學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

三、“讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)”是可能的

祖丹和孔凡哲從28位數(shù)學(xué)家（亞里士多德、畢達(dá)哥拉斯等）對(duì)數(shù)學(xué)品格的相關(guān)論述中，歸納統(tǒng)計(jì)得到數(shù)學(xué)必備品格的七個(gè)要素，按其重要性排序?yàn)椋簲?shù)學(xué)興趣、創(chuàng)新、自強(qiáng)不息、嚴(yán)謹(jǐn)、勇于質(zhì)疑、化繁為簡(jiǎn)、獨(dú)立思考。這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果說(shuō)明，化繁為簡(jiǎn)是數(shù)學(xué)教師作為數(shù)學(xué)人“先天”的品格，讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)不僅是數(shù)學(xué)教師必備的品格，也是其教學(xué)該有的自發(fā)行為。統(tǒng)計(jì)結(jié)果還說(shuō)明要培養(yǎng)學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備品格，通過(guò)讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)是最直接的方式。

華羅庚運(yùn)用講授法傳授知識(shí)主張“深入淺出見(jiàn)功夫”，在教學(xué)內(nèi)容的處理上，他主張：“高的內(nèi)容放低了，難的內(nèi)容改易了，繁的內(nèi)容化簡(jiǎn)了?！彼€曾對(duì)他的助教說(shuō)：“高水平的教師總能把復(fù)雜的東西講簡(jiǎn)單，把難的東西講容易;反之，如果把簡(jiǎn)單的東西講復(fù)雜了，把容易的東西講難了，那就是低水平的表現(xiàn)。”?華羅庚先生不僅這樣說(shuō)，而且自己上課時(shí)堅(jiān)持讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)，他的學(xué)生回憶道：“他講課時(shí)先把枝節(jié)的地方很快講完，馬上就進(jìn)入主題，讓人很容易理解?！?華羅庚先生身體力行地證明了讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)是可能的，但需要教師具有較高的教學(xué)水平。

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因則指出了一種具體的方法，他在其著作《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中提到：“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來(lái)審視、理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單?！?/p>

人教版初中數(shù)學(xué)教材主編章建躍撰寫了多篇論文如《數(shù)學(xué)教學(xué)要“準(zhǔn)”“精”“簡(jiǎn)”》《追求本質(zhì)、簡(jiǎn)單、自然的數(shù)學(xué)教學(xué)》等都提出數(shù)學(xué)教學(xué)要追求“簡(jiǎn)”。當(dāng)然，章建躍表達(dá)言語(yǔ)中不止“簡(jiǎn)”和“簡(jiǎn)單”，還包含“準(zhǔn)”“精”“本質(zhì)”“自然”等內(nèi)容。數(shù)學(xué)課真正實(shí)現(xiàn)了“簡(jiǎn)”和“簡(jiǎn)單”的目標(biāo)，同時(shí)就能實(shí)現(xiàn)“準(zhǔn)”“精”“本質(zhì)”“自然”的目標(biāo)，它們之間是相輔相成的。

因此，讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)不僅是可能的，而且是必須的。數(shù)學(xué)教師必須提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)能力，努力讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)。

四、“讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)”是可行的

不少數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、科普工作者以及廣大教師都努力探索過(guò)讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)，因此相關(guān)文獻(xiàn)十分豐富，而且各自從不同的角度提出了讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)的具體措施與方法。

華羅庚說(shuō)：“退到最原始而不失去重要性的地方，把簡(jiǎn)單的、特殊的問(wèn)題弄清楚了，并從這些簡(jiǎn)單的問(wèn)題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發(fā)現(xiàn)一般問(wèn)題的結(jié)論，或者得到化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題的途徑，從而再‘進(jìn)到一般性問(wèn)題上來(lái)?！边@是讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)的基本原理。

英國(guó)史里斯·韋林（Chris?Waring）著有《極簡(jiǎn)數(shù)學(xué)》，作者通過(guò)實(shí)例將代數(shù)、幾何、概率、統(tǒng)計(jì)等學(xué)科的知識(shí)分解為生活中的場(chǎng)景，將看似抽象、復(fù)雜的運(yùn)算用實(shí)物表現(xiàn)出來(lái)。這是“具身數(shù)學(xué)”“手工數(shù)學(xué)”“測(cè)量數(shù)學(xué)”的源頭。

美國(guó)賽·太蒙尼（Cy?Tymony）著有《數(shù)學(xué)本來(lái)很簡(jiǎn)單》，作者富有創(chuàng)意地將數(shù)學(xué)符號(hào)用易于理解和記憶的方式書寫，比如在表示速率的R中畫一個(gè)正在跑步的人像，在表示時(shí)間的T中畫一個(gè)計(jì)時(shí)的表等，作者還創(chuàng)設(shè)了一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)理解數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)運(yùn)算。這是“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的基本思想。

英國(guó)理查德·埃爾威斯（Richard?Elwes）著有《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單學(xué)——化繁為簡(jiǎn)“學(xué)數(shù)學(xué)”》，作者試圖用一些小故事、小游戲和簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表述從小學(xué)到高中的數(shù)學(xué)核心概念和運(yùn)算法則等內(nèi)容。這是“故事數(shù)學(xué)”和“游戲數(shù)學(xué)”的基本思想。

斯坦福大學(xué)教授喬·博勒（Jo?Boaler）的著作《這才是數(shù)學(xué)》，該書提出將數(shù)學(xué)可視化，設(shè)計(jì)開(kāi)放性數(shù)學(xué)作業(yè)，不留家庭作業(yè)等觀點(diǎn)。這是“視頻數(shù)學(xué)”的源頭。

在研究上述著作的基礎(chǔ)上，筆者還研讀了大量與“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”相關(guān)的心理學(xué)、教育學(xué)、信息學(xué)、數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育等文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)“讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)”主要有以下策略：通過(guò)“具身數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)具身化、通過(guò)“圖畫數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)圖片化、通過(guò)“視頻數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)可視化、通過(guò)“游戲數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)娛樂(lè)化、通過(guò)“手工數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)模型化、通過(guò)“故事數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)情境化、通過(guò)“史料數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)文化化、通過(guò)“測(cè)量數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)數(shù)量化、通過(guò)“列舉數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)數(shù)字化、通過(guò)“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)化，等等。這些形式都能實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué)的目標(biāo)，都能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上輕松地理解數(shù)學(xué)概念、掌握運(yùn)算法則、理清數(shù)學(xué)關(guān)系以及建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，學(xué)生通過(guò)具身認(rèn)知、圖像感知及建立聯(lián)結(jié)等方式自然而然地獲得數(shù)學(xué)認(rèn)知與發(fā)展。

注：本文系中山市教育科研2020年度重點(diǎn)立項(xiàng)課題“‘至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)的理論與實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：A2020019）的階段性成果。

責(zé)任編輯 羅 峰