考慮慣容的顆粒阻尼器等效力學(xué)模型及其受控結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)解研究

黃緒宏，許維炳，王 瑾，閆維明，陳彥江

(北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)試驗(yàn)室，北京 100124)

顆粒阻尼器最早由沖擊減振器發(fā)展而來，用于渦輪機(jī)葉片的減振研究中[1]，然而由于單顆粒沖擊阻尼器在減振過程中會(huì)產(chǎn)生較大的噪聲及其對設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感性限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。多顆粒阻尼器(Multi-particle damper, M-PD)的引進(jìn)改進(jìn)了單顆粒沖擊阻尼器沖擊力大及魯棒性差的缺點(diǎn)。具有減振效果好、作用頻帶寬、成本低、布置靈活、使用壽命長等優(yōu)點(diǎn)，因而在航空及機(jī)械振動(dòng)控制領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用[2-3]，其在土木工程領(lǐng)域中的應(yīng)用與發(fā)展近年來也得到了關(guān)注與重視[4-6]。

Papalou 和Masri[7]用鎢粉代替?zhèn)鹘y(tǒng)的單顆粒沖擊阻尼器，以單層框架結(jié)構(gòu)作為研究對象在寬頻隨機(jī)激勵(lì)下進(jìn)行振動(dòng)臺試驗(yàn)研究，重點(diǎn)分析了質(zhì)量比、容器尺寸、激勵(lì)水平等不同因素對顆粒阻尼器耗能特性的影響。Saeki[8]在水平簡諧激勵(lì)下以單自由度結(jié)構(gòu)(Single-degree of freedom, SDOF)作為研究對象，基于試驗(yàn)研究及離散單元法研究了相關(guān)參數(shù)對M-PD 減振性能的影響，結(jié)果表明顆粒質(zhì)量和尺寸對顆粒阻尼器性能影響顯著。許維炳和王瑾[9-10]針對M-PD 在土木工程領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究，并以實(shí)際高架連續(xù)橋梁縮尺模型及三層框架縮尺模型作為研究對象，進(jìn)行了地震荷載作用下減震效果分析。魯正等[6,11]基于試驗(yàn)研究及離散單元法對地震荷載及風(fēng)荷載作用下M-PD 減振性能進(jìn)行了詳細(xì)分析，驗(yàn)證了M-PD 減振效果。M-PD 試驗(yàn)研究初步探索了其減振性能及機(jī)理，為M-PD 理論模型建立及工程應(yīng)用提供了參考及試驗(yàn)依據(jù)。

M-PD 具有復(fù)雜的非線性特性，合理有效的力學(xué)模型對于進(jìn)一步認(rèn)識M-PD 及實(shí)際工程應(yīng)用具有重要意義。Papalou 和Masri[7]基于等效前后剩余體積及質(zhì)量相同的原則將M-PD 等效為單顆粒阻尼器，并基于試驗(yàn)研究驗(yàn)證了模型的合理性。許維炳[9]將調(diào)頻型顆粒阻尼器(Particle tuned mass damper, PTMD)等效為雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，在試驗(yàn)驗(yàn)證基礎(chǔ)上進(jìn)行了理論分析并提出了簡化設(shè)計(jì)方法。魯正等[12]參考Papalou 提出的等效原則將多顆粒等效為單顆粒，并基于接觸單元法建立了PTMD 等效力學(xué)模型，通過地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)試驗(yàn)驗(yàn)證了等效方法的合理性，最后基于該等效方法也給出了PTMD 的簡化設(shè)計(jì)方法。王寶順等[13]在考慮滾動(dòng)摩擦效應(yīng)的基礎(chǔ)上提出了對應(yīng)等效單顆粒力學(xué)模型，并進(jìn)行了參數(shù)影響分析。為考慮顆粒之間相互作用對減振效果的影響，Huang 等[14]提出了等效連體顆粒質(zhì)量模型。值得注意的是：在機(jī)械領(lǐng)域顆粒阻尼器的振動(dòng)以高頻振動(dòng)為主，阻尼顆粒的速度很大；而土木工程結(jié)構(gòu)相比機(jī)械振動(dòng)頻率低，阻尼顆粒與腔體之間的相對速度一般小于5 m/s[15]。在顆粒未發(fā)生堆積時(shí)，阻尼顆粒在運(yùn)動(dòng)過程中以滾動(dòng)為主，且考慮顆粒之間相互作用后的顆粒在振動(dòng)過程中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更加復(fù)雜。顆粒滾動(dòng)可能會(huì)引起顆粒群額外的慣性屬性，甚至?xí)虼擞绊慚-PD 減振性能及減振機(jī)理。

對于等效單顆粒力學(xué)模型而言，由于其構(gòu)造簡單，且沖擊單顆粒阻尼器相關(guān)理論分析成果可以被應(yīng)用到該模型的理論分析中，因此具有較好的推廣性。假設(shè)顆粒發(fā)生周期2 次碰撞，Masri 等[16-17]分別給出了單自由度結(jié)構(gòu)及多自由度結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)解析解，并通過求解誤差傳遞矩陣對周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論。Popplewel 等[18]在周期多次碰撞理論分析基礎(chǔ)上指出當(dāng)發(fā)生周期2 次碰撞時(shí)減振效果最優(yōu)，并對最優(yōu)碰撞間距進(jìn)行了理論推導(dǎo)[19]。閆維明等[20]在周期運(yùn)動(dòng)解析基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到了最優(yōu)碰撞間距，并對并聯(lián)式單向單顆粒阻尼器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

鑒于此，在不考慮顆粒堆積的前提下，本文擬通過引入慣容器來考慮顆粒群滾動(dòng)及其他非線性影響因素對多顆粒阻尼器減振機(jī)理的影響，建立具有慣容屬性的多顆粒阻尼器等效單顆粒力學(xué)模型。結(jié)合阻尼顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分別進(jìn)行未碰撞時(shí)及發(fā)生碰撞后MPD-SDOF 系統(tǒng)的響應(yīng)分析，重點(diǎn)討論了慣容系數(shù)q 對未碰撞時(shí)位移放大系數(shù)及周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解的影響，并分別基于數(shù)值仿真分析及振動(dòng)臺試驗(yàn)研究對理論解析的合理性進(jìn)行驗(yàn)證?？紤]慣容影響后的理論分析結(jié)果可為土木工程領(lǐng)域中多顆粒阻尼器減振機(jī)理分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

1 考慮慣容屬性的多顆粒阻尼器—單自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

多顆粒阻尼器通過運(yùn)動(dòng)過程中顆粒之間及顆粒與容器之間碰撞和摩擦，消耗、存儲(chǔ)并傳遞振動(dòng)能量，藉此以達(dá)到減輕結(jié)構(gòu)振動(dòng)的目的。多顆粒在運(yùn)動(dòng)過程中表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性特性，因此進(jìn)行帶有多顆粒阻尼器結(jié)構(gòu)的精確分析是相當(dāng)困難的。研究表明，在顆粒未發(fā)生堆積時(shí)，多顆粒可以等效為單顆粒從而建立多顆粒阻尼器等效力學(xué)模型[21,7]。多顆粒等效為單顆粒的原則為：1)顆粒在等效前后的質(zhì)量相等；2)顆粒在等效前后顆粒材料特性及形狀不發(fā)生變化；3)等效前后顆粒阻尼器內(nèi)空隙與腔體體積比一致。

與機(jī)械領(lǐng)域相比，土木工程領(lǐng)域結(jié)構(gòu)振動(dòng)以水平振動(dòng)為主，結(jié)構(gòu)振動(dòng)具有低幅低頻的特性，顆粒在運(yùn)動(dòng)過程中以滾動(dòng)為主，且多顆粒在振動(dòng)過程中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更加復(fù)雜。然而目前顆粒阻尼器力學(xué)模型建立過程中，忽略了顆粒滾動(dòng)對減振機(jī)理的影響。借鑒車輛工程中加速阻力的概念[22]，假設(shè)顆粒在外荷載作用下(簡諧激勵(lì)或地震動(dòng)激勵(lì))相互獨(dú)立滾動(dòng)，則顆粒群對應(yīng)加速阻力FJ可由下式表示：

圖 1 兩端點(diǎn)慣性元件—慣容Fig.1 Two-terminal inertial element—inerter

圖 2 力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model

2 未碰撞時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

圖 3 考慮慣容后 隨μ及λ 變化規(guī)律Fig.3 Change rule of with μ and λ after considering q

圖 4 位移放大系數(shù)頻響曲線Fig.4 Frequency response curve of displacement amplification coefficient

3 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解

研究表明，簡諧激勵(lì)下當(dāng)顆粒發(fā)生穩(wěn)定周期2 次碰撞時(shí)減振效果最優(yōu)[27]。Masri 等[16-17]分別給出了單自由度結(jié)構(gòu)及多自由度結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)解析解，并通過數(shù)值仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了解析解的準(zhǔn)確性。與沖擊阻尼器相比，考慮顆粒群慣容屬性后穩(wěn)態(tài)周期2 次碰撞的穩(wěn)態(tài)解析解發(fā)生改變。為了從理論解析的角度上評價(jià)顆粒阻尼器減振機(jī)理及能量變化規(guī)律，本文將顆粒與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)過程劃分為多個(gè)非碰撞過程及碰撞過程分別建立運(yùn)動(dòng)微分方程，以此得到周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解。

3.1 MPD-SDOF 運(yùn)動(dòng)微分方程

當(dāng)阻尼顆粒不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時(shí)，由式(3)得未碰撞時(shí)體系運(yùn)動(dòng)方程為：

其中：F0為對應(yīng)外部激勵(lì)荷載幅值；ω 為外部荷載激勵(lì)頻率；假設(shè)顆粒發(fā)生穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)后，某次周期運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻顆粒位于容器左側(cè)，φ 為對應(yīng)初始時(shí)刻外部激勵(lì)荷載初始未知相位角，t 為穩(wěn)定后簡諧激勵(lì)作用的時(shí)間；meq為等效質(zhì)量。則對應(yīng)未碰撞時(shí)MPD-SDOF 運(yùn)動(dòng)位移關(guān)于時(shí)間的解析表達(dá)式如下所示：

當(dāng)阻尼顆粒與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時(shí)，由于碰撞接觸時(shí)間短且碰撞為正碰撞，可以用恢復(fù)系數(shù)e 表示碰撞前后主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的速度跳躍關(guān)系[16]。由動(dòng)量交換及碰撞恢復(fù)系數(shù)定義可知碰撞前后主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的速度關(guān)系如下所示：

3.2 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解的邊界條件

由文獻(xiàn)[16]分析可知，當(dāng)MPD-SDOF 發(fā)生對稱2 次碰撞穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)后，體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)關(guān)于平衡狀態(tài)對稱，即顆粒及單自由度結(jié)構(gòu)的周期運(yùn)動(dòng)位移-速度相軌跡是相對平面原點(diǎn)對稱的一條封閉曲線，如圖5 所示。

圖 5 MPD-SDOF 位移-速度相位圖Fig.5 Phase diagram of MPD-SDOF

假設(shè)圖5 為MPD-SDOF 開始穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)完整運(yùn)動(dòng)周期。A—B 段表示第一次碰撞過程主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，B—C 段表示第一次碰撞后非碰撞階段主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，C—D 段表示第二次碰撞過程主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，D—A 段表示第二次碰撞后非碰撞階段主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。其中，A 點(diǎn)表示第一次碰撞前的時(shí)刻(t=0-)，B 點(diǎn)表示第一次碰撞后的時(shí)刻(t=0+)，C 點(diǎn)表示第二次碰撞前的時(shí)刻(t=(π/ω)-)，D 點(diǎn) 表 示 第 二 次 碰 撞 后 的 時(shí) 刻(t=(π/ω)+)。則對應(yīng)MPD-SDOF 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)邊界條件如下所示。

1) 第一次碰撞對應(yīng)體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)邊界條件為：

2) 第二次碰撞對應(yīng)體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)邊界條件為：

3.3 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解求解

1) 由第一次碰撞狀態(tài)邊界條件式(12)及碰撞前后主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒速度關(guān)系式(11)可得：

由式(10)得運(yùn)動(dòng)過程中顆粒運(yùn)動(dòng)速度為：

由式(16)及B—C 段顆粒速度邊界條件得：

聯(lián)立式(14)、式(15)、式(17)、式(18)可得單自由度結(jié)構(gòu)及顆粒速度邊界條件關(guān)于待定參數(shù)C1的解：

式中，δa、δb、δc、δd是關(guān)于e、m2、q、μ的常數(shù)。

2) 由半個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)顆粒運(yùn)動(dòng)位移為2x0-d 得：

將式(10)代入式(23)得：

式中，S1、S2、S3為常數(shù)，由式(29)解得：

方程存在解的條件為：

3.4 穩(wěn)態(tài)解存在的碰撞間距d 取值范圍討論

圖 6 MPD-SDOF 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Fig.6 Motion state of MPD-SDOF

式(31)給出了碰撞間距取值上限值的理論解。周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)解在推導(dǎo)過程中通過運(yùn)動(dòng)周期的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即t=0、t=π/ω 狀態(tài)最終求解單次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解，但是當(dāng)碰撞間距較小時(shí)，顆粒在(0, π/ω)時(shí)間段內(nèi)可能與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，這也就限制了碰撞間距取值的最小值。在相鄰兩次碰撞之間，阻尼顆粒與結(jié)構(gòu)之間的間距應(yīng)滿足：

式中，B1、B2、C1、C2皆為碰撞間距d 的參數(shù)，由于式(34)的極值點(diǎn)較難求得理論解，本文基于二分法求得對應(yīng)最小碰撞間距，其他參數(shù)與3.3 節(jié)的相關(guān)參數(shù)取值相同，圖7 給出了碰撞區(qū)間d 隨慣容系數(shù)q、頻率比ω/ωn及碰撞恢復(fù)系數(shù)e 的變化曲線。圖中dmax為式(31)所對應(yīng)的最大碰撞間距；dmin為穩(wěn)態(tài)解析解存在的最小碰撞間距取值。

由圖7 可知：

1)碰撞恢復(fù)系數(shù)e 越小，顆粒群與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時(shí)耗能越大。碰撞后的顆粒能量較小會(huì)導(dǎo)致顆粒群無法在較大的碰撞間距d 取值下仍然保持周期運(yùn)動(dòng)，因此隨著碰撞恢復(fù)系數(shù)e 的減小，周期運(yùn)動(dòng)碰撞間距dmax取值逐漸變小。除此之外，當(dāng)激勵(lì)頻率ω 遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時(shí)，碰撞恢復(fù)系數(shù)對dmax影響較大；相比之下，當(dāng)ω/ωn=1 時(shí)，dmax受碰撞恢復(fù)系數(shù)e 影響較小。這主要是由于結(jié)構(gòu)自身運(yùn)動(dòng)受ω/ωn影響導(dǎo)致的(圖4(a))。當(dāng)ω 遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時(shí)，此時(shí)結(jié)構(gòu)位移較小，dmax取值較小，但是當(dāng)e 較大時(shí)，仍然可以在較大的碰撞間距取值下保持周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω/ωn=1 時(shí)，此時(shí)結(jié)構(gòu)自身位移較大，因此即使e 較小也可以在較大的碰撞間距取值下保持周期運(yùn)動(dòng)。

2)慣質(zhì)比λ 對周期運(yùn)動(dòng)碰撞間距取值影響分析表明，當(dāng)ω 遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時(shí)，由于λ 不利于顆粒與結(jié)構(gòu)之間的相對運(yùn)動(dòng)(圖4(b))，隨著λ 的增加，dmax逐漸減小。當(dāng)ω/ωn=1 時(shí)，此時(shí)dmax取值受λ 影響出現(xiàn)交叉現(xiàn)象。這是由于λ 的增加不僅減小了顆粒與容器之間的相對運(yùn)動(dòng)，也降低了結(jié)構(gòu)自身運(yùn)動(dòng)幅值(圖4(a))。在上述雙重因素影響下，當(dāng)e 較小時(shí)，λ 越大導(dǎo)致dmax越小；相反當(dāng)e 較大時(shí)，λ 越大導(dǎo)致dmax越大。

圖 7 周期運(yùn)動(dòng)碰撞間距取值區(qū)間探討Fig.7 Value interval of d for periodic motion

3.5 解析解的穩(wěn)定性討論

對于非光滑動(dòng)力系統(tǒng)而言，周期運(yùn)動(dòng)解的穩(wěn)定性分析對于進(jìn)一步認(rèn)識周期運(yùn)動(dòng)特性具有重要意義。文獻(xiàn)[16]在求解單顆粒碰撞周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)解析解的基礎(chǔ)上，通過求解誤差傳遞矩陣P 討論了周期解的穩(wěn)定性。對于一個(gè)2 自由度體系，假設(shè)體系運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中，Z1, Z2, Z3, Z4為必要的狀態(tài)分量，運(yùn)動(dòng)微分方程一個(gè)特解可表示為：

假設(shè)該特解受到外部擾動(dòng)而存在一定的誤差，則考慮誤差項(xiàng)后為：

對應(yīng)周期解漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為：

假設(shè)在結(jié)構(gòu)體系周期運(yùn)動(dòng)的某次碰撞后引入誤差，則對應(yīng)n 次碰撞后誤差項(xiàng)可以表示為：

3.5.1 考慮慣容的MPD-SDOF 周期解的誤差傳遞矩陣P 理論推導(dǎo)

表 1 擾動(dòng)前后狀態(tài)對比Table 1 State comparison before and after disturbance

已知當(dāng)顆粒不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時(shí)，結(jié)構(gòu)體系位移如式(10)所示，對應(yīng)體系速度為：

其中：

B1(0+Δt0)及B2(0+Δt0)一階近似值如下所示：

其中：

誤差傳遞矩陣P 是與體系自身參數(shù)及周期運(yùn)動(dòng)碰撞邊界條件相關(guān)的矩陣，當(dāng)誤差傳遞矩陣P 的特征值的模滿足式(40)時(shí)，對應(yīng)穩(wěn)態(tài)周期碰撞運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。

3.5.2 穩(wěn)態(tài)周期碰撞運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論推導(dǎo)數(shù)值驗(yàn)證

選取3.3 節(jié)對應(yīng)MPD-SDOF 體系作為研究對象，以對應(yīng)對稱周期2 次碰撞條件作為初始條件，并基于MATLAB 自帶ode45 算法以驗(yàn)證周期運(yùn)動(dòng)某次碰撞后擾動(dòng)對體系運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。模擬過程中當(dāng)顆粒不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時(shí)，體系運(yùn)動(dòng)方程參考式(9)；當(dāng)顆粒與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時(shí)，認(rèn)為碰撞瞬時(shí)完成，參考式(11)。由于算法自身誤差缺陷，周期解穩(wěn)定性分析過程中不再引入誤差量。將體系參數(shù)及周期運(yùn)動(dòng)碰撞邊界條件分別代入式(82)并求解P 的特征值，理論公式計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)τ=τ1時(shí)，對應(yīng)周期運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ2時(shí)穩(wěn)定。對應(yīng)碰撞后[0，20π/ω]時(shí)間段內(nèi)的MATLAB數(shù)值模擬如圖8 所示。

圖 8 周期運(yùn)動(dòng)數(shù)值模擬Fig.8 Numerical simulation

由圖像可知，當(dāng)τ=τ1時(shí)，由于算法自身缺陷，周期運(yùn)動(dòng)并不穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ2時(shí)，即使存在擾動(dòng)，周期運(yùn)動(dòng)也較為穩(wěn)定。本文采用的穩(wěn)定分析方法具有實(shí)際參考價(jià)值。

3.5.3 慣容系數(shù)q 對周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

為進(jìn)一步分析慣容系數(shù)q(q=λm2)對周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定區(qū)間的影響，選取3.3 節(jié)對應(yīng)MPD-SDOF 體系作為研究對象，進(jìn)行正交參數(shù)分析，基于式(82)分析慣容系數(shù)對周期解穩(wěn)定區(qū)間的影響如圖9 所示，圖中虛線對應(yīng)圖7 碰撞間距取值區(qū)間。

圖 9 周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定區(qū)間Fig.9 Value interval of d for stable periodic motion

由圖9 可知，不同激勵(lì)下，周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定區(qū)間明顯小于周期解存在的區(qū)間，且穩(wěn)定區(qū)間不一定連續(xù)。穩(wěn)定區(qū)間與周期解存在的最大碰撞間距dmax變化規(guī)律相近。隨著e 的增加，周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定區(qū)間逐漸右移。當(dāng)激勵(lì)頻率ω 遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時(shí)，隨著λ 的增加穩(wěn)定區(qū)間向左偏移；當(dāng)ω/ωn=1 時(shí)，隨著λ 的增加穩(wěn)定區(qū)間斜率逐漸增加。需要注意的是，當(dāng)ω/ωn=1 時(shí)，隨著e 的增加(e>0.7)，碰撞間距取值區(qū)間反而有所降低。這可能是由于共振頻率激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)位移及顆粒相對位移較大，此時(shí)e 越大，體系自身所具有的能量越大，對應(yīng)周期運(yùn)動(dòng)越不宜穩(wěn)定。同時(shí)，求解過程提示僅存在單個(gè)初始相位角τ 使系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，且該相位角對應(yīng)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)最大位移較小的體系。這表明運(yùn)動(dòng)過程中結(jié)構(gòu)體系易從能量較高的狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰枯^低的狀態(tài)。相比之下，結(jié)構(gòu)體系能量較低的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性更好。

4 理論解析試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為進(jìn)一步驗(yàn)證基于考慮慣容影響的等效單顆粒力學(xué)模型進(jìn)行的非碰撞階段理論分析及周期運(yùn)動(dòng)解析的合理性，設(shè)計(jì)進(jìn)行了簡諧激勵(lì)下單層鋼框架電磁振動(dòng)臺試驗(yàn)。試驗(yàn)布置如圖10 所示。其中試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷捻敳夸摪宄叽鐬?00 mm×500 mm×5 mm；4 根框架柱高為500 mm，橫截面尺寸為30 mm×5 mm；阻尼器腔體垂直于結(jié)構(gòu)振動(dòng)方向?qū)挒?00 mm，沿振動(dòng)長度方向設(shè)置滑道控制兩側(cè)碰撞板之間的距離從而控制顆粒填充率。沿振動(dòng)方向的最大長度為370 mm。通過電磁振動(dòng)臺臺面及結(jié)構(gòu)頂層布置的激光位移傳感器分別拾取結(jié)構(gòu)位移及實(shí)際振動(dòng)臺輸入，并對應(yīng)布置3 個(gè)加速度傳感器拾取加速度響應(yīng)。其中鋼框架的質(zhì)量為17.96 kg，剛度為5400 N/m，結(jié)構(gòu)附加阻尼比為1.3%。試驗(yàn)簡諧激勵(lì)幅值取0.02 g，選擇8 mm 鋼珠作為阻尼顆粒，附加質(zhì)量比為6%。通過調(diào)整兩側(cè)碰撞板間距依次進(jìn)行30%、80%、90%、100%填充率在不同激振頻率作用下的簡諧激勵(lì)振動(dòng)臺試驗(yàn)，其中填充率γ 取顆粒有序正方形排列投影面積與容器底面積之比。

圖 10 試驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.10 Test model

4.2 未碰撞時(shí)理論解析試驗(yàn)驗(yàn)證

為初步驗(yàn)證考慮顆粒群慣容屬性的合理性及重要性，首先進(jìn)行未碰撞時(shí)理論解析試驗(yàn)驗(yàn)證。調(diào)整碰撞板間距進(jìn)行填充率γ=30%時(shí)的振動(dòng)臺試驗(yàn)研究(當(dāng)γ=30%時(shí)，顆粒群整體幾乎不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，此時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)體系處于未碰撞階段)，拾取結(jié)構(gòu)及振動(dòng)臺臺面位移響應(yīng)計(jì)算均方根位移RMS 及位移均方根放大系數(shù)β 作為評價(jià)多顆粒阻尼器減振效果指標(biāo)，位移均方根及放大系數(shù)計(jì)算如下：

式中：xi為第i 個(gè)時(shí)間步的位移響應(yīng)；N 為時(shí)間步數(shù)；上標(biāo)s 和t 分別代表結(jié)構(gòu)和振動(dòng)臺臺面的位移響應(yīng)。通過對比實(shí)測均方根位移放大系數(shù)頻響曲線及位移放大系數(shù)頻響曲線(式(6))確定多顆粒阻尼器慣質(zhì)比λ。對比曲線如圖11 所示。其中λ=0對應(yīng)不考慮顆粒滾動(dòng)對應(yīng)擬合結(jié)果；λ=0.4 對應(yīng)考慮顆粒滾動(dòng)，但不考慮顆粒之間相互作用對應(yīng)模型擬合結(jié)果；λ=0.8 對應(yīng)基于試驗(yàn)結(jié)果擬合得到的考慮顆粒之間相互作用對慣容影響的理論結(jié)果。

圖 11 未碰撞時(shí)等效模型試驗(yàn)驗(yàn)證Fig.11 Test verification in non colliding stage

由圖11 可知，當(dāng)考慮顆粒之間相互作用對慣容系數(shù)q 的影響后(λ=0.8)，頻響曲線總體擬合結(jié)果最為理想，對應(yīng)相關(guān)系數(shù)R2=0.96。本文提出的考慮慣容后的等效單顆粒模型能夠在一定程度上反應(yīng)多顆粒阻尼器復(fù)雜非線性特性，對應(yīng)理論解析是合理的。實(shí)測頻響曲線、λ=0.8 及λ=0.4 對應(yīng)頻響曲線詳細(xì)對比顯示，對于多顆粒阻尼器，顆粒群在運(yùn)動(dòng)過程中的慣容屬性與結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)幅值存在一定的非線性關(guān)系。當(dāng)x1/xg<15 時(shí)，實(shí)測頻響曲線偏向λ=0.8 曲線右側(cè)；而當(dāng)x1/xg>15 時(shí), 實(shí)測頻響曲線偏向λ=0.8 曲線左側(cè)。這可能是由于當(dāng)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)幅值較小時(shí)，顆粒之間相互作用較弱，此時(shí)顆粒運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立；而當(dāng)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)幅值較大時(shí)，顆粒之間相互作用增加，顆粒之間的及顆粒與結(jié)構(gòu)之間的相互作用增加了顆粒群的慣容屬性，顆粒在運(yùn)動(dòng)過程中可能處于多維度運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

4.3 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析試驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證考慮慣容屬性后周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析的合理性，設(shè)計(jì)進(jìn)行80%、90%及100%填充率下簡諧激勵(lì)振動(dòng)臺試驗(yàn)，其中等效模型參數(shù)取值參見文獻(xiàn)[7，21]，顆粒群對應(yīng)碰撞恢復(fù)系數(shù)e 為0.25；80%、90%及100%填充率下碰撞間距d 分別取20.7 mm、13 mm 及6.9 mm。不考慮填充率對慣容系數(shù)的影響，取λ=0.8，并綜合考慮周期解的穩(wěn)定性，取理論解析中結(jié)構(gòu)最大位移較小的相位角作為對應(yīng)理論周期運(yùn)動(dòng)?？紤]周期穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的存在性，本文僅陳列部分結(jié)果，如圖12 所示。

由圖12 可知，周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生后，試驗(yàn)及模擬對應(yīng)振動(dòng)周期一致(T=2π/ω)，因此位移時(shí)程曲線除峰值外吻合較好。當(dāng)γ=80%，ω/ωn=1.02 時(shí)，λ=0.8 對應(yīng)均方根誤差為18.05%；λ=0 對應(yīng)均方根位移誤差為60.24%。當(dāng)γ=90%，ω/ωn=0.96 時(shí)，λ=0.8 對應(yīng)均方根誤差為14.4%；λ=0 對應(yīng)均方根位移誤差為23.23%。當(dāng)γ=100%，ω/ωn=1.02 時(shí)，λ=0.8 對應(yīng)均方根誤差為29.22%；λ=0 對應(yīng)均方根位移誤差為44.94%。實(shí)測與理論解析對比分析結(jié)果顯示，考慮慣容屬性后擬合結(jié)果更加理想。本文得到的周期兩次對稱碰撞穩(wěn)態(tài)解析解是合理的。需要注意的是，當(dāng)γ=100%時(shí)，由于顆粒排布較為密集，運(yùn)動(dòng)過程中顆粒之間的碰撞耗能小于低填充狀態(tài)下的耗能，等效模型中物理參數(shù)取值隨填充率的增加存在一定的非線性關(guān)系，因此λ=0.8 對應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)解析結(jié)果的精度并不理想。多顆粒阻尼器物理參數(shù)等效原則還有待進(jìn)一步研究。

圖 12 碰撞階段試驗(yàn)驗(yàn)證Fig.12 Test verification in collision stage

考慮慣容與否對解析結(jié)果影響分析可知，當(dāng)γ=80%，ω/ωn=1.02 時(shí)，λ=0.8 與λ=0 對應(yīng)擬合結(jié)果誤差差別較大，這是由于模型自身力學(xué)屬性造成的。當(dāng)λ=0 時(shí)認(rèn)為顆粒在相鄰兩次碰撞之間做勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)γ=80%時(shí)，對應(yīng)碰撞間距d 較大，此時(shí)顆粒與結(jié)構(gòu)之間發(fā)生碰撞時(shí)的能量耗散及動(dòng)量交換較為充分，對應(yīng)結(jié)構(gòu)位移較小。而當(dāng)λ=0.8時(shí)，由于慣容的影響，顆粒在相鄰兩次碰撞之間的動(dòng)能減小，顆粒的慣容作用不利于顆粒與結(jié)構(gòu)之間的碰撞耗散及動(dòng)量交換，對應(yīng)結(jié)構(gòu)位移較大。除此之外，由式(9)分析可知，慣容屬性增加了主體結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量，因此結(jié)構(gòu)位移更大。以上兩個(gè)影響因素綜合導(dǎo)致80%填充率下模型誤差較大，且λ=0 對應(yīng)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)小于λ=0.8 對應(yīng)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。當(dāng)γ= 90%，ω/ωn=0.96 時(shí)，相比較與80%填充率，模型之間誤差有所降低。這是由于慣容系數(shù)主要影響顆粒群非碰撞階段，而90%填充對應(yīng)碰撞間距較小，因此擬合結(jié)果較為接近。當(dāng)γ= 100%，ω/ωn=1.02 時(shí)，同樣因?yàn)榕鲎查g距較小，考慮慣容與否對擬合精度存在一定的影響但不明顯。但總體而言，在不同填充率下都存在λ=0.8 對應(yīng)結(jié)構(gòu)位移高于λ=0 對應(yīng)結(jié)構(gòu)位移的現(xiàn)象。

此外，本文通過求解周期解析解分析了顆粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但周期解的存在是有條件的，并非所有頻率比下均存在周期解。另外由于實(shí)際簡諧激勵(lì)輸入并不穩(wěn)定，這往往導(dǎo)致振動(dòng)體系較難穩(wěn)定，實(shí)測數(shù)據(jù)與理論存在一定誤差。綜合80%、90%及100%填充率下不同頻率比對應(yīng)擬合結(jié)果顯示，考慮顆粒群慣容屬性后擬合結(jié)果更好。本文基于考慮慣容屬性的等效單顆粒力學(xué)模型進(jìn)行的理論解析是合理的。

5 結(jié)論

本文通過引入慣容器建立了具有慣容屬性的多顆粒阻尼器等效單顆粒力學(xué)模型。結(jié)合阻尼顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，依次進(jìn)行了未碰撞時(shí)及發(fā)生碰撞后MPD-SDOF 系統(tǒng)的響應(yīng)分析。主要結(jié)論如下：

(1) 當(dāng)顆粒未發(fā)生堆積時(shí)，為考慮顆粒群滾動(dòng)對多顆粒阻尼器減振效果的影響，本文引入了慣容器并建立對應(yīng)等效單顆粒力學(xué)模型。理論分析及試驗(yàn)研究結(jié)果表明，顆粒群的慣容屬性對顆粒阻尼器減振效果影響顯著?？紤]慣容后能夠進(jìn)一步考慮多顆粒阻尼器復(fù)雜的非線性特性，對應(yīng)理論解析結(jié)果更加理想。

(3) 數(shù)值算例和試驗(yàn)結(jié)果表明，本文推導(dǎo)求解的多顆粒阻尼器對稱2 次碰撞周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)解析解及其周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性分析是有效的。慣容系數(shù)(顆粒滾動(dòng))對顆粒阻尼器周期運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性具有一定的影響。當(dāng)激勵(lì)頻率ω 遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)頻率ωn時(shí)，慣質(zhì)比λ 越大，周期運(yùn)動(dòng)存在的碰撞區(qū)間大小逐漸減小，且穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間對應(yīng)碰撞間距取值逐漸減??；當(dāng)ω/ωn=1 時(shí)，隨著λ 的增加dmax受碰撞恢復(fù)系數(shù)e 增加的影響逐漸增加。

本文進(jìn)行的理論解析為顆粒阻尼器參數(shù)影響分析及減振機(jī)理研究提供理論支撐，可為顆粒阻尼器減震分析及設(shè)計(jì)所借鑒。需要指出的是受限于設(shè)備參數(shù)，本文并未考慮激勵(lì)幅值對顆粒慣容屬性的影響，相關(guān)研究將在后續(xù)成果中體現(xiàn)。