謝鑫鑫， 朱從坤

（蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011）

在社會倡導(dǎo)綠色出行，國內(nèi)公共交通系統(tǒng)不斷完善的背景下，基本型乘用汽車銷量目前呈現(xiàn)慢增長趨勢。 同時，基本型乘用型汽車銷售量受宏觀經(jīng)濟環(huán)境、消費政策、消費者收入水平等因素的影響較大，具有非線性和波動大的特點，這就要求汽車生產(chǎn)企業(yè)能較精準(zhǔn)地預(yù)測未來汽車銷量，從而為企業(yè)的材料采購、生產(chǎn)和營銷策略等的決策提供指導(dǎo)依據(jù)[1]。 時間序列是指將某一個統(tǒng)計指標(biāo)或現(xiàn)象在不同時間上的各個數(shù)值，按時間先后順序排列而形成的序列[2]。 由于國內(nèi)基本型乘用汽車銷量月度數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的明顯非線性、非平穩(wěn)性，其可以看作為以月份為刻度，當(dāng)月銷量為統(tǒng)計值的時間序列。 因此研究汽車銷量月度數(shù)據(jù)形成的時間序列，并且建立時間序列預(yù)測模型，可以預(yù)測未來基本型乘用型汽車銷售量。

預(yù)測時間序列的算法模型大體可分為線性回歸模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、支持向量機模型和自回歸差分移動平均模型等等[3]。 線性回歸模型可以對波動較平穩(wěn)且有規(guī)律的時間序列進行很好的預(yù)測，但當(dāng)時間粒度較小，或者歷史數(shù)據(jù)具有較大波動性時，預(yù)測精度會大大降低，因此該模型適用于序列波動情況小，預(yù)測時間粒度較大的研究對象；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測精度高，但容易陷入局部最優(yōu)值，且穩(wěn)定性差，收斂速度水平較低，網(wǎng)絡(luò)泛化能力較弱，需要收集大量類型數(shù)據(jù)來標(biāo)定輸入層和各隱藏層的參數(shù)，應(yīng)用復(fù)雜；支持向量機性能受核函數(shù)影響大，且參數(shù)選取具有一定隨意性，建模計算復(fù)雜，不利于在生產(chǎn)實際中的運用普及；自回歸差分移動平均模型（ARIMA）對于波動性較小的且有規(guī)律的時間序列具有較高的預(yù)測精度，且應(yīng)用方法簡單，無需大量參數(shù)標(biāo)定，適用于普遍類型的時間序列預(yù)測中[4-6]。 汽車銷量月度數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯非線性、非平穩(wěn)性特點，所以若將該復(fù)雜時間序列分解為若干平穩(wěn)時間序列，而后運用ARIMA 方法預(yù)測平穩(wěn)時間序列，則可使得汽車銷量預(yù)測方法變得簡便易使用。

本研究引入經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD），將復(fù)雜時間序列分解為若干平穩(wěn)時間序列。 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解最早是N. E. Huang 等于1998 年提出的一種處理分析非線性、非平穩(wěn)復(fù)雜信號的方法，即將復(fù)雜信號分解為若干平穩(wěn)序列[7]。 自EMD 提出以來，已廣泛應(yīng)用于故障分析、地球物理學(xué)、結(jié)構(gòu)分析等領(lǐng)域[8-9]。 目前也有越來越多的學(xué)者將EMD 與其他預(yù)測算法結(jié)合，將原始的復(fù)雜序列平穩(wěn)化，以適應(yīng)不同預(yù)測對象，提高預(yù)測精度。 劉慧婷等將EMD 與多層反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，將股票價格波動時間序列平穩(wěn)化，從而應(yīng)用于股票預(yù)測中的模擬匹配[10]；Xun Zhang 等將EEMD 分別與FNN 和SVM 相結(jié)合，預(yù)測石油價格復(fù)雜變化，預(yù)測效果良好[11]；任國成等同樣運用EMD 方法將非線性的電力負(fù)荷時間序列平穩(wěn)化，并結(jié)合LSTM 算法預(yù)測短期電力負(fù)荷[12]；李棟和李曉龍則以EMD 法組合其他預(yù)測模型，分別預(yù)測了地區(qū)降水量和航空客流量，預(yù)測精度較好[13-14]。 綜上所述，可將非線性、非平穩(wěn)性的時間序列通過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解后可得到若干較平穩(wěn)序列，而后結(jié)合其他預(yù)測算法對平穩(wěn)序列進行預(yù)測，探求預(yù)測效果。

因此本文將運用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）法對汽車月度銷量時間序列進行平穩(wěn)化分解。 首先通過對銷量月度歷史時間序列進行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，得到若干平穩(wěn)本征模函數(shù)IMFn和一個殘差趨勢項R；其次將各分量重組為高、低頻序列和趨勢項序列，分別運用ARIMA 預(yù)測；而后將各分量預(yù)測結(jié)果匯總為最終預(yù)測數(shù)據(jù)，并與實際值對比。

1 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）是對數(shù)據(jù)時間序列或信號序列的平穩(wěn)化處理，僅僅依據(jù)數(shù)據(jù)自身的時間尺度特征進行原始信號的分解，把復(fù)雜信號分解成若干個本征模態(tài)函數(shù)IMF 以及一個殘差趨勢項R。 各分解出的本征模函數(shù)較原始信號變得相對平穩(wěn)，且包含了原信號不同的尺度特征；殘差趨勢項平緩，表達了原信號的總體變化趨勢。 EMD 分解基本方法如下：

步驟（1）設(shè)原始信號序列為x（t），找出序列中所有極大值點和極小值點，并用三次樣條插值法分別擬合成原序列的上包絡(luò)線μ+（t）和下包絡(luò)線μ-（t），并取兩者均值為m1（t），公式如下

步驟（2）將均值m1（t）從原始序列x（t）中減去，得到新的序列f1（t），公式如下

若f1（t）不滿足本征模函數(shù)的確認(rèn)要求，則將f1（t）作為新的原始序列x1（t），重復(fù)上述步驟（1）和（2），直至得到的某個fk（t）滿足預(yù)設(shè)的本征模函數(shù)要求。 滿足本征模函數(shù)要求的兩個條件為：該函數(shù)fk（t）的極值點數(shù)目和過零點數(shù)目至多相差1；由局部極大值點和局部極小值點構(gòu)成的兩條包絡(luò)線平均值趨近于零。

步驟（3）令得到的第一個滿足本征模函數(shù)要求的fk（t）記為IMF1，將IMF1從原始序列x（t）中扣除得到新的序列r1（t），作為新的信號序列，重復(fù)步驟（1）和（2），直至得到的某個rn（t）為單調(diào)函數(shù)或簡單的趨勢曲線，將其作為殘差趨勢序列R。 最終，原始序列可以表達為若干個IMF 分量和一個殘差趨勢序列rn（t），即

2 基于EMD 的汽車銷量預(yù)測

2.1 數(shù)據(jù)描述

本文涉及的國內(nèi)基本型乘用汽車（轎車）的當(dāng)期銷售量月度數(shù)據(jù)來源于中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫。2000 年1 月至2019 年12 月，共240 個月當(dāng)期銷量為研究樣本，如圖1 中原始序列所示。 其中以2000 年1 月至2019 年6 月共234 個月的月度銷量數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，以2019 年7 月至2019 年12 月共6 個月的月度銷量數(shù)據(jù)為測試樣本，用于評價本文預(yù)測方法的準(zhǔn)確性。

圖1 銷量原始序列與殘差序列曲線

2.2 EMD 分解

利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法對前234 個汽車銷量月度數(shù)據(jù)進行處理，從而得到原始序列中不同時間尺度上的變化特征。 基于MATLAB 平臺，分解原始序列后，得到6 個IMF 分量以及1 個殘差趨勢項R。 如圖1 和圖2 所示，各IMF 分量波動頻率依次逐漸減小，較原始序列明顯平穩(wěn)，殘差趨勢項R 表達了原始序列的總體趨勢。

圖2 EMD 分解結(jié)果

2.3 IMF 分量與殘差序列R 相關(guān)統(tǒng)計描述

表1 給出了各IMF 分量和殘差序列R 與原始序列的皮爾森相關(guān)系數(shù)、肯德爾和諧系數(shù)以及方差。 皮爾森相關(guān)系數(shù)π 是用來反應(yīng)兩個變量線性相關(guān)強弱程度的統(tǒng)計量，π 可由（Xi，Yi） 樣本點的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)均值估計，其值介于-1 到1 之間，絕對值越大表明相關(guān)性越強，計算方法如式（4）所示[16]。 肯達爾和諧系數(shù)是計算多個等級變量相關(guān)程度的一種方法[17]，肯德爾和諧系數(shù)的取值范圍在-1 到1 之間，當(dāng)W 為1 時，表示兩個隨機變量擁有一致的等級相關(guān)性；當(dāng)W 為-1 時，表示兩個隨機變量擁有完全相反的等級相關(guān)性；當(dāng)W 為0 時，表示兩個隨機變量是相互獨立的，肯德爾和諧系數(shù)W 計算方法如式（5）所示。

式中，NCP（number of concordant pairs）為和諧觀察值對，NDCP（number of disconcordant pairs）為非和諧觀察值對。 序列X、Y，其元素個數(shù)均為n，兩個序列取的第i（1≤i≤n）個值分別用Xi、Yi表示，若Xi＞Xj且Yi＞Yj（或Xi＜Xj且Yi＜Yj），則為和諧觀察值對，其余情況為非和諧觀察值對。

由表1 可知，殘差序列R 的皮爾森相關(guān)系數(shù)和肯德爾和諧系數(shù)分別為0.963 和0.796，可見殘差序列與原始序列相關(guān)性最大，表達了原始序列的主要趨勢特征；分量IMF1～IMF3的相關(guān)系數(shù)總體大于IMF4～IMF6，但都遠小于殘差序列的相關(guān)系數(shù)，即各分量表達了原始序列的次要特征。

方差大小反應(yīng)了序列的波動情況， 即變量偏離期望值的程度， 殘差序列方差占比原始序列方差為95.69%，反應(yīng)了原始序列的總體波動情況；IMF1～IMF6分量的方差貢獻率較小，表現(xiàn)為原始序列曲線在殘差趨勢曲線附近震蕩，如圖1 所示。 由于在篩選本征模函數(shù)IMF 時，應(yīng)用了三次樣條插值法分別擬合原序列的上包絡(luò)線和下包絡(luò)線， 因此， 導(dǎo)致篩選出的殘差序列R 與IMF1～IMF6的方差占原始序列方差之比的和為101.64%，略大于100%，是經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解結(jié)果產(chǎn)生的不可避免的誤差。

表1 各分量相關(guān)統(tǒng)計結(jié)果

2.4 IMFn 分組

原始序列通過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解后，得到6 個本征模函數(shù)和1 個殘差序列趨勢項。 首先，分解出本征模函數(shù)時，采用的三次樣條插值法和終止條件，會使得重構(gòu)成的原始序列與實際原始序列之間存在一定分解誤差；其次，若每個IMF 分量，運用相關(guān)預(yù)測模型預(yù)測，然后將各分量的預(yù)測結(jié)果累加為最終預(yù)測結(jié)果，則會放大誤差。 因此應(yīng)通過對各本征模函數(shù)合理分組，形成高頻序列、低頻序列和趨勢序列后，再分別運用相關(guān)模型預(yù)測，可降低累積誤差。

通過對表1 的相關(guān)系數(shù)和方差占比的分析，以IMF1～IMF3累加得高頻序列，IMF4～IMF6累加得低頻序列，殘差序列R 為趨勢序列。 表2 為高、低頻序列和趨勢項序列的各相關(guān)系數(shù)以及方差占比情況，可見高頻序列在皮爾森相關(guān)系數(shù)、肯德爾和諧系數(shù)比原有各分量明顯提高，表明重組后的高頻序列較分量IMF1～IMF3與原始序列有更高的相關(guān)性。 低頻序列的皮爾森相關(guān)系數(shù)、肯德爾和諧系數(shù)較原有各分量無明顯提高，表示重組后的低頻序列反映了與原始序列較弱的相關(guān)性。

表2 高、低頻序列及趨勢項序列相關(guān)統(tǒng)計結(jié)果

2.5 預(yù)測結(jié)果

將原始序列EMD 分解后的本征模函數(shù)進行高、低頻序列和趨勢項序列分組后，基于SPSS 平臺，采用差分自回歸移動平均模型（ARIMA）預(yù)測。 對于高頻序列，其偏自相關(guān)系數(shù)1 階截尾，自相關(guān)系數(shù)4 階截尾，季節(jié)性一階差分序列自相關(guān)系1 階截尾，可以建立ARIMA（1,0,4）（0,1,1）模型；對于低頻序列，其三階差分序列偏自相關(guān)系數(shù)4 階截尾， 季節(jié)性一階差分序列偏自相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)均1 階截尾， 可以建立ARIMA（4,3,0）（1,1,1）模型；對于殘差趨勢項R，其四階差分序列偏自相關(guān)系數(shù)1 階截尾，可以建立ARIMA（1,4,0）模型。

預(yù)測結(jié)果如圖3 所示和表3 所列，曲線EMD-ARIMA 為將高、低頻序列以及趨勢項序列預(yù)測結(jié)果累加得到最終預(yù)測結(jié)果； 曲線ARIMA 為原始數(shù)據(jù)直接運用ARIMA 預(yù)測的結(jié)果； 曲線EMD-D-ARIMA 為將各IMF 分量與趨勢項序列分別運用ARIMA 預(yù)測的最終累加預(yù)測結(jié)果。

圖3 預(yù)測結(jié)果曲線

表3 預(yù)測結(jié)果

3 預(yù)測精度

本文利用平均絕對百分比誤差（MAPE）、平均絕對誤差（MAD）和均方根誤差（MSE）評價預(yù)測精度，其計算公式分別如下[18]

EMD-ARIMA、ARIMA 和EMD-D-ARIMA 三種方法的預(yù)測誤差見表4。EMD-ARIMA 組合算法，在預(yù)測結(jié)果誤差分析中，其平均絕對百分比誤差（MAPE）、平均絕對誤差（MAD）和均方誤差（MSE）均最小，即相比較于直接運用ARIMA 方法預(yù)測和EMD-D-ARIMA，在基本型乘用汽車的月度銷量預(yù)測中EMD-ARIMA 組合算法預(yù)測效果更有優(yōu)勢。

表4 預(yù)測誤差

由于ARIMA 在預(yù)測平穩(wěn)序列時的精度較好，而原始汽車月度數(shù)據(jù)呈現(xiàn)非平穩(wěn)的特點，因此運用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解原始數(shù)據(jù)并重組后，原始數(shù)據(jù)被分解為相對平穩(wěn)的高、低頻序列和殘差序列，再運用ARIMA 模型預(yù)測效果會更好。 因為EMD 分解本身就不可避免存在誤差，若直接將EMD 分解后的IMF 分量和趨勢項R 分別運用ARIMA 預(yù)測并累加，則會導(dǎo)致預(yù)測誤差堆積，即EMD-D-ARIMA 預(yù)測算法較EMD-ARIMA 預(yù)測算法存在更大的誤差堆積。

4 結(jié)語

本文運用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法，將國內(nèi)基本型乘用汽車的月度銷售量時間序列進行分解，得到6 個本征模函數(shù)和1 個殘差序列趨勢項，而后將各分量重組為高、低頻序列和一個趨勢項，并通過差分自回歸移動平均模型ARIMA 進行2019 年7 月至2019 年12 月的月度銷量預(yù)測， 相比直接運用ARIMA 和EMD-D-ARIMA預(yù)測，EMD-ARIMA 預(yù)測效果更好。在今后的研究中，可以考慮針對不同時間序列研究對象的特點，如預(yù)測時間粒度和序列平穩(wěn)性等等，運用其他合適預(yù)測算法與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解EMD 進行組合預(yù)測，探究經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法在時間序列預(yù)測中的合理性和適用性。