數(shù)學命題教學中的問題鏈設計

任燕巧

摘要：數(shù)學命題教學可以利用數(shù)學問題鏈，引導學生充分經(jīng)歷數(shù)學命題的探究發(fā)現(xiàn)過程，同時，體會其中的數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。具體設計問題鏈時，應該注意從猜想到證明、從特殊到一般（有時還包括從直觀到抽象）、從發(fā)現(xiàn)到應用的一般研究過程。此外，還應特別關注有關概念和命題及其形成和發(fā)現(xiàn)過程中可以類比遷移的重要思想方法，助力學生猜想和證明結論。以“平面與平面平行的判定定理”教學的問題鏈設計為例來說明。

關鍵詞：數(shù)學命題教學;問題鏈設計;面面平行的判定定理

數(shù)學命題（包括定理、公式等結論）是數(shù)學知識的重要組成，是數(shù)學思維的重要節(jié)點。自然地，數(shù)學命題教學是數(shù)學教學的重要類型。同為數(shù)學知識教學，數(shù)學命題教學與數(shù)學概念教學類似，也存在“一個結論（對數(shù)學概念教學而言，是一個定義），幾點注意，大量練習”的現(xiàn)象。這樣的教學忽視了命題的探究發(fā)現(xiàn)過程，直接影響了學生對命題的完整認知和深度理解。

數(shù)學問題鏈是教師在課外預設并在課上以多種方式呈現(xiàn)給學生的、有序的主干數(shù)學問題序列，可以驅(qū)動學生的數(shù)學探究，體現(xiàn)數(shù)學思維的脈絡。數(shù)學命題教學可以利用數(shù)學問題鏈，引導學生充分經(jīng)歷數(shù)學命題的探究發(fā)現(xiàn)過程，同時，體會其中的數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。具體設計問題鏈時，應該注意從猜想到證明、從特殊到一般（有時還包括從直觀到抽象）、從發(fā)現(xiàn)到應用的一般研究過程。此外，還應特別關注有關概念和命題及其形成和發(fā)現(xiàn)過程中可以類比遷移的重要思想方法，助力學生猜想和證明結論。

下面，以“平面與平面平行的判定定理”教學的問題鏈設計為例來說明。

一、總體教學思路

“平面與平面平行的判定定理”是人教A版高中數(shù)學教材（2019年版）必修第二冊“8.5.3平面與平面平行”中的內(nèi)容。教學這一內(nèi)容時，除了體現(xiàn)從猜想到證明再到應用、從特殊平面（比如長方體中的平面）到一般平面、從直觀（實物）到抽象（模型）的基本研究框架之外，分析知識的前后關聯(lián)以及學生的學習困難可知，還要引導學生類比遷移直線與平面平行判定定理發(fā)現(xiàn)過程中的降維轉(zhuǎn)化思想和反證法，猜想和證明平面與平面平行的判定定理;并且，特別注意引導學生運用平面與平面平行的判定定理，尋找與已知平面平行的平面。

二、具體問題鏈設計

問題1如圖1，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點，判斷BD1與平面AEC的位置關系？你的依據(jù)是什么？

問題1旨在喚醒學生對線面平行判定定理（方法）的記憶：連接BD，交AC于O，連接OE，通過面外線BD1與面內(nèi)線OE平行證明線面平行。對此，引導學生體會把線面平行問題轉(zhuǎn)化為線線平行問題過程中的降維思想。進而，引導學生回顧依據(jù)定義和判定定理判定線面平行這兩種方法，并且體會判定定理方法的便捷性。這是學生后續(xù)類比探究面面平行判定定理的基礎。

問題2如果要判定平面α與平面β平行，你會怎么想？

問題2是一個開放性問題，旨在激活學生對面面平行判定定理（方法）的猜想。課堂上，學生結合已有經(jīng)驗，借助長方體模型，類比線面平行判定定理的猜想，首先指出了定義方法（判定兩個平面沒有公共點）操作上的麻煩;接著想到了將面面平行問題降維轉(zhuǎn)化為線面平行問題的方法，提出了“若一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想;之后又發(fā)散思維，提出了“垂直于同一條直線的兩個平面平行”“平行于同一個平面的兩個平面平行”等猜想。

對此，教師肯定了降維轉(zhuǎn)化的思路，同時引導學生結合長方體模型，否定了“若一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想;肯定了“垂直于同一條直線的兩個平面平行”“平行于同一個平面的兩個平面平行”等猜想的正確性，同時指出線面垂直的判定方法還沒有學習，面面平行的判定正是目前需要解決的問題，從而否定了這兩個猜想作為面面平行判定定理的合理性。由此，自然引出問題3。

問題3類比線面平行判定定理的猜想，要把面面平行問題降維轉(zhuǎn)化為線面平行問題，該如何操作？

問題3是一個聚焦性問題，旨在明確學生對面面平行判定定理（方法）的猜想。課堂上，學生在否定“若一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”猜想的基礎上，自然聯(lián)想提出了“若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想。由此，教師分平行和相交兩種情況，提出了兩個子問題：

問題31如圖2，矩形硬紙片兩條對邊所在直線a、b與桌面平行，矩形硬紙片所在平面與桌面平行嗎？

問題32如圖3，三角尺兩邊所在直線c、d與桌面平行，三角尺所在平面與桌面平行嗎？

這兩個子問題旨在引導學生通過觀察實物，獲得對面面平行判定定理（方法）充分的直觀感知，明確提出“若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想。

問題4如圖4，請證明：若平面β內(nèi)的兩條相交直線a、b與平面α平行，那么α與β平行。

問題41如圖5，你能結合長方體模型證明上述結論嗎？

有了猜想，問題4自然要求學生證明面面平行的判定定理（方法）。當然，學生即使類比線面平行判定定理的證明，想到反證法，實際證明也會感到困難。因此，設計了問題41這個輔助性的子問題，讓學生借助長方體模型，嘗試證明上底面內(nèi)的兩條相交直線與下底面平行時上下兩個底面平行。由此深化，學生能借助圖6，完成一般情況的證明。

問題5面面平行的判定是通過將面面平行降維轉(zhuǎn)化為線面平行來解決的，那么是否存在進一步降維轉(zhuǎn)化為線線平行的方法呢？

問題5是對問題3的進一步延伸，即進一步把面面平行問題降維轉(zhuǎn)化為線線平行問題來探討，可以引導學生得到面面平行判定定理的推論;也是對問題4探究過程，即線面平行情況證明過程中所使用的思路與方法的進一步應用與鞏固，因為這里如何尋找可以用來判定面面平行的直線、如何借助反證法證明等問題的解決過程都與問題4中的一致。

問題6判斷對錯，并說明原因。

（1）如果一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

（2）如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

（3）如果一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

問題7如圖7，現(xiàn)實生活中，建筑工人、木工師傅等會將氣泡式水平儀在桌面上交叉放置兩次，通過水平儀的氣泡是否都在中央，判定桌面與水平面是否平行。你能解釋其背后的數(shù)學原理嗎？

問題6是對面面平行判定定理條件的進一步辨析，幫助學生把握面面平行判定定理的本質(zhì)。問題7是面面平行判定定理的實際應用，引導學生運用面面平行的判定定理解釋生活現(xiàn)象，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，提高解決問題的能力。

問題8如圖8，已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證：平面B1AD1∥平面BC1D。

問題9如圖9，已知正方體ABCDA1B1C1D1，點E、F、M分別為A1B1、AA1、B1C1的中點。在此正方體中，是否存在過點E、M且與平面BFD1平行的平面？若存在，請作出并證明;若不存在，請說明理由。

問題8是面面平行判定定理的直接應用，引導學生運用面面平行的判定定理及推論證明數(shù)學結論，體會定理運用的關鍵，掌握規(guī)范的解題過程。問題9引導學生運用面面平行的判定定理，尋找與已知平面平行的平面（結合已知條件，這里還需找到一個點，可取BB1靠近B1的一個四等分點），然后證明，具有開放探索性，是學生學習的難點。此題需要留給學生足夠的思考時間，幫助學生形成完整、清晰的解題思路。

問題10平面與平面平行有哪些判定方法？這些方法之間有什么聯(lián)系？我們已經(jīng)知道平面與平面平行的判定方法，反之，還能研究什么？

問題10對本節(jié)課的回顧總結與拓展延伸，可以引導學生回顧面面平行的判定定理，體會類比遷移、降維轉(zhuǎn)化的思想方法和“猜想—證明—應用”的研究過程，并進一步體會“判定—性質(zhì)”的研究拓展。

三、幾點教學反思

縱觀本節(jié)課的教學，有這樣幾個特點：

（一）層層遞進，給予脈絡化思考

問題鏈中的主干問題是有序的、層進的，不僅能夠驅(qū)動學生探究，而且能夠引導學生體會數(shù)學思維的脈絡。本節(jié)課中，問題1為學生類比遷移探索線面平行判定定理的思路與方法提供了支架;問題2—問題5引導學生經(jīng)歷猜想的自由發(fā)散與合理聚焦、證明的嚴謹推理與深化推論，體驗定理及推論的發(fā)現(xiàn)過程;問題6—問題9引導學生體驗定理及推論的各類應用，真正獲得完整認知和深度理解;問題10則是對全課的總結延伸。層層遞進的問題給予學生脈絡化的思考，促進學生掌握解決一類問題、學習一類知識的基本框架。

（二）直觀感知，賦予情境性理解

美國著名教育心理學家布魯納說過，當基本概念以正規(guī)形式出現(xiàn)在兒童面前時，他們?nèi)绻麤]有事先從直覺上加以理解，對這些概念則將無能為力。本節(jié)課中，問題31、問題32、問題41等子問題從實物到長方體模型，為探究抽象的一般性問題提供直觀感知的基礎，幫助學生形成情境性理解。

（三）留有余地，指向深度的學習

數(shù)學教學要設置具有一定挑戰(zhàn)性的問題，為學生的思考留有余地（空間），激發(fā)學生的探究欲望，發(fā)展學生高水平的數(shù)學思考。本節(jié)課中，有關定理猜想、證明、應用的問題2、問題4、問題9便是如此，學生在思考中很容易出現(xiàn)錯誤、缺憾、求而不得、懸而未決等情況。相應的教學處理則是延遲解決，促使學生努力尋求解決方案，得到完整、清晰的思路，實現(xiàn)深度學習。

*本文系全國教育科學規(guī)劃課題教育部重點課題“指向深度理解的‘問題鏈教學研究”（編號：DHA200318）的階段性研究成果。

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