李延玲，傅 華

(1.青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西寧 810007； 2. 福建警察學(xué)院 福州 350007)

近年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和電子產(chǎn)品的廣泛應(yīng)用，對(duì)系統(tǒng)可靠性的研究變的越來(lái)越重要，許多學(xué)者在這方面有大量的研[1-5]，為了提高系統(tǒng)的可靠性，系統(tǒng)的維修策略成為了重要的研究?jī)?nèi)容[6-9]，本文提出了一個(gè)更一般的單部件退化可修系統(tǒng)，假設(shè)修理設(shè)備在修理期間也可能會(huì)發(fā)生故障并且在故障之后會(huì)立即替換一個(gè)新的修理設(shè)備繼續(xù)修理故障系統(tǒng).另外，由于修理工需要檢查故障原因或不在崗等原因系統(tǒng)的修理將會(huì)被延遲，特別的，和之前文獻(xiàn)不同的是修理時(shí)間服從一般分布并且考慮了修理設(shè)備的替換時(shí)間，在這些假設(shè)條件下[10-12]，我們通過(guò)幾何過(guò)程及補(bǔ)充變量法建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用Laplace變化給出了系統(tǒng)的可用度，由于系統(tǒng)是退化的可修系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的工作系統(tǒng)的可用度將趨于零[13-15]，為了提高系統(tǒng)的可靠性以及節(jié)省系統(tǒng)的所需費(fèi)用，進(jìn)一步研究了基于故障次數(shù)的N策略替換.

1 數(shù)學(xué)模型

首先，給出該系統(tǒng)的基本假設(shè).

假設(shè)1 系統(tǒng)是一個(gè)單部件系統(tǒng)，初始時(shí)刻系統(tǒng)是全新的并處于工作狀態(tài).

假設(shè)2 假設(shè)系統(tǒng)部件故障后不能修復(fù)如新，第(n-1)次修復(fù)完成與第n次修復(fù)完成之間的時(shí)間間隔稱為系統(tǒng)的第n個(gè)周期.設(shè)Xn和Yn分別表示系統(tǒng)在第n個(gè)周期中的工作時(shí)間和修理時(shí)間，其分布函數(shù)分別為：

Fn(t)=F(an-1t)=1-exp(-an-1λt)，

假設(shè)4 假設(shè)系統(tǒng)故障后不能夠立即修理，設(shè)Wn表示系統(tǒng)在第n個(gè)周期中的延遲修復(fù)時(shí)間,其分布函數(shù)為H(t)=1-exp(-θt)(θ>0).

假設(shè)5Xn,Yn,Wn,Un,Vn,(n∈N)均是相互獨(dú)立的.

通過(guò)如上假設(shè)，可以分析得出系統(tǒng)可能的相關(guān)狀態(tài).

狀態(tài)0：t時(shí)刻，系統(tǒng)正在工作，修理設(shè)備處于正常狀態(tài).

狀態(tài)1：t時(shí)刻，系統(tǒng)發(fā)生故障處于延遲修復(fù)狀態(tài).

狀態(tài)2：t時(shí)刻，修理工正在修理故障系統(tǒng).

狀態(tài)3：t時(shí)刻，修理設(shè)備發(fā)生故障，故障系統(tǒng)等待修理.

下面引進(jìn)一些補(bǔ)充變量：

設(shè)S(t)=k(k=0,1,2,3)表示系統(tǒng)在t時(shí)刻處于狀態(tài)k,I(t)=j(j∈N,t≥0)表示在t時(shí)刻系統(tǒng)處于第j個(gè)周期,Y(t)與Z(t)分別表示系統(tǒng)在t時(shí)刻已經(jīng)用去的修理時(shí)間和修理設(shè)備更換時(shí)間.

利用以上隨機(jī)變量我們給出系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的概率及概率密度函數(shù).

Pij(t)=P{S(t)=i,I(t)=j}(i=0,1.j=N)

p2j(t,y)dy=P{S(t)=2,y≤Y(t)

dy,I(t)=j}(j=N)

p3j(t,y,z)dz=P{S(t)=3,z≤Z(t)

dz,I(t)=j,Y(t)=y}(j=N)

通過(guò)分析在比較小的時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)變化建立了系統(tǒng)的偏微分方程組.

當(dāng)j=1時(shí)：

(1)

當(dāng)j>1時(shí)：

(2)

初始條件：

(3)

進(jìn)一步，由式(2)可以得出該系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的概率滿足如下規(guī)范性條件：

2 系統(tǒng)的可用度

該系統(tǒng)在時(shí)刻t的可用度是指系統(tǒng)在時(shí)刻t正常工作的概率，即

其Laplace變換為

由Tauberian定理可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

由方程(1)和(2)及初始條件有：

(4)

由方程(4)有：

(5)

由式(5)可知

從而有

因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

上式說(shuō)明，該退化系統(tǒng)在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的工作之后會(huì)變的完全不可用，因此系統(tǒng)的費(fèi)用可能會(huì)更高，因?yàn)橥嘶到y(tǒng)經(jīng)過(guò)多次修復(fù)之后，修理的費(fèi)用會(huì)比系統(tǒng)的收益更高.從經(jīng)濟(jì)角度出發(fā)，我們考慮基于系統(tǒng)故障次數(shù)的N策略替換，主要給出系統(tǒng)平均費(fèi)用的精確表達(dá)式C(N)，進(jìn)而得到使得C(N*)最小的最優(yōu)替換策略N*，也就是說(shuō)，當(dāng)系統(tǒng)的故障次數(shù)達(dá)到N*時(shí)不再修理，會(huì)替換一個(gè)全新系統(tǒng)繼續(xù)工作.

3 N策略

首先，在之前假設(shè)的基礎(chǔ)上需要增加如下兩個(gè)假設(shè)條件.

假設(shè)6 設(shè)對(duì)該退化系統(tǒng)實(shí)行基于系統(tǒng)故障次數(shù)的N策略替換,就是指當(dāng)系統(tǒng)的故障次數(shù)達(dá)到最優(yōu)替換次數(shù)N*時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)被一個(gè)全新的系統(tǒng)替換.

假設(shè)7 設(shè)cr,cw,r,cf分別表示系統(tǒng)的修理費(fèi)用, 系統(tǒng)正常工作時(shí)的收益，系統(tǒng)的替換費(fèi)用以及修理設(shè)備的替換費(fèi)用.

其次，設(shè)τ1為系統(tǒng)的第一次更換時(shí)間,τn為系統(tǒng)第(n-1)次更換完成與第n次更換完成之間的時(shí)間間隔, 進(jìn)而{τ1,τ2,…}形成了一個(gè)更新過(guò)程, 兩次連續(xù)更換間的時(shí)間間隔稱為一個(gè)更新周期.

由更新理論給出系統(tǒng)在N策略下系統(tǒng)平均費(fèi)用的精確表達(dá)式C(N)：

(6)

其中:D和W分別表示在一個(gè)更新周期內(nèi)的平均費(fèi)用和平均長(zhǎng)度, 由系統(tǒng)的工作進(jìn)程有：

(7)

其中:pi表示一個(gè)更新周期內(nèi)系統(tǒng)修理設(shè)備的故障次數(shù), 則pi的概率分布為[10]：

從而有

(8)

由式(8)及系統(tǒng)假設(shè)有

(9)

(10)

最后將式(9)、(10)帶入式(6)便得到系統(tǒng)在N策略下平均費(fèi)用C(N)的精確表達(dá)式：

(11)

進(jìn)一步,為了說(shuō)明系統(tǒng)最優(yōu)替換策略N*的存在性與唯一性，本文給出如下相關(guān)參數(shù)的參數(shù)值：

a=1.15,λ=0.3,μ=0.3,

α=0.06,β=0.2,θ=0.4

p=0.4,q=0.6,Cr=20,

Cf=0,Cw=300,r=2 500

將以上參數(shù)帶入式(11)得表1.

表1 系統(tǒng)的平均費(fèi)用率C(N)

從表1可以看出系統(tǒng)的最優(yōu)替換策略N*=8存在且唯一,相應(yīng)的費(fèi)用C(N*)=-32.7最少, 也就是說(shuō), 當(dāng)該退化系統(tǒng)的故障次數(shù)達(dá)到8次時(shí), 我們會(huì)更換一個(gè)全新的系統(tǒng) , 此時(shí)系統(tǒng)花費(fèi)的費(fèi)用最少.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文主要考慮了一個(gè)修理設(shè)備可更換的單部件退化系統(tǒng)，修理時(shí)間服從一般分布，建立了系統(tǒng)的偏微分方程，利用Laplace變化討論了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度，從其表達(dá)式發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的可用度趨于零，這也說(shuō)明對(duì)與退化系統(tǒng)而言經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的工作之后系統(tǒng)將完全不可用.因此，為了提高系統(tǒng)的可靠性及節(jié)省系統(tǒng)所花費(fèi)用，進(jìn)一步討論了基于故障次數(shù)的N策略替換，最后給出具體參數(shù)進(jìn)一步驗(yàn)證了最優(yōu)策略N*的存在性與唯一性.