沈鳳仙

(三江學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 江蘇 南京 210000)

0 引言

磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，MRI)技術(shù)能夠提供活體組織的細(xì)節(jié)圖像，同時(shí)具有對(duì)人體無輻射性傷害等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛地應(yīng)用于人腦、胸部、心臟以及人體其他部位結(jié)構(gòu)的成像。但是，MRI成像技術(shù)存在成像速度慢的缺點(diǎn)，這樣會(huì)導(dǎo)致心臟成像、腹部成像和功能成像中產(chǎn)生偽影；另外，由于過長(zhǎng)的采樣時(shí)間會(huì)造成患者心理的不適感。為了提高M(jìn)RI數(shù)據(jù)采樣速度和成像速度，Crawley和Wajer等人采用部分傅里葉變換和非笛卡爾采樣實(shí)現(xiàn)k空間數(shù)據(jù)的欠采，但是會(huì)引入部分圖像偽影。壓縮感知(Compressed Sensing，CS)最早由Donoho[1]和Cande[2]等人提出，其打破了傳統(tǒng)采樣理論對(duì)采樣頻率的限制，可以采集數(shù)據(jù)且可以壓縮采集的數(shù)據(jù)，能夠降低數(shù)據(jù)采樣量、節(jié)約數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間以及計(jì)算時(shí)間。CS最先由Lustig[3]引入MRI圖像的采集和重建，從k空間隨機(jī)欠采樣產(chǎn)生的偽影視為噪聲的角度出發(fā)，通過最小化l1范數(shù)的非線性重建實(shí)現(xiàn)MRI圖像中偽影的去除。

為解決MRI圖像欠采樣易產(chǎn)生階梯狀偽影的問題，Knoll等人[4]提出一種基于高階總變分法的圖像重構(gòu)偽影去除法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，可以有效地抑制階梯狀偽影。

Qu等人[5]提出一種聯(lián)合稀疏變換的MRI圖像重構(gòu)算法，通過一個(gè)稀疏變換重構(gòu)偽影實(shí)現(xiàn)另外一個(gè)稀疏變換的抑制，達(dá)到MRI圖像偽影的去除，實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)質(zhì)量的提高。

Islam等人[6]結(jié)合小波域和高斯模型，提出一種基于小波域的高斯混合尺度模型的MRI圖像欠采樣重構(gòu)算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法同傳統(tǒng)方法相比較可以提高信噪比0.5 dB，效果較好。

目前，稀疏變換和表示在MRI圖像重建處理中發(fā)揮著重要作用，曲波變換作為圖像稀疏變換的重要方式已被廣泛地應(yīng)用于圖像處理。但是，傳統(tǒng)的曲波變換只能提取有限的方向性信息，且變換基也是預(yù)先設(shè)定的，因此無法完全抑制圖像的噪聲和保留圖像的邊緣信息。針對(duì)傳統(tǒng)曲波變換存在的缺點(diǎn)，將圖像分塊理論引入壓縮感知圖像重建，結(jié)合曲波變換具有適合表達(dá)邊緣細(xì)節(jié)信息和曲線信息的優(yōu)點(diǎn)，利用曲波變換對(duì)MRI圖像進(jìn)行稀疏表示，提出一種基于圖像分塊的曲波變換的MRI圖像壓縮感知圖像重構(gòu)算法，從而實(shí)現(xiàn)MRI圖像噪聲的抑制和邊緣信息的保留。

1 壓縮感知MRI(Compressed Sensing MRI，CS-MRI)

Do等人[7-10]研究發(fā)現(xiàn)二維小波變換缺少稀疏表示光滑邊緣和輪廓的能力，使得重建后的MRI圖像仍然存在偽影現(xiàn)象。針對(duì)小波變換無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)逼近，本文結(jié)合曲波變換具有適合表達(dá)邊緣細(xì)節(jié)信息和曲線信息[11-12]，采用曲波變換對(duì)MRI圖像進(jìn)行稀疏表示。

MRI圖像稀疏重建實(shí)質(zhì)上是求解l1范數(shù)最優(yōu)化的問題[13-16]，如式(1)。

(1)

式中，l1范數(shù)||α||1表示向量α中所有元素的絕對(duì)值之和。交替方向優(yōu)化算法被廣泛地應(yīng)用于MRI圖像重建，其可以將式(1)的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化[17]，如式(2)。

(2)

式中，ψH表示稀疏變換，主要實(shí)現(xiàn)圖像x的稀疏化；傅里葉欠采算子FUx表示被重構(gòu)的MRI圖像；y∈CM表示獲得的k空間數(shù)據(jù)。

2 圖像塊的方向性曲波變換的CS-MRI圖像重建

2.1 圖像塊方向性曲波變換(Graph Patch-based Directional Curvelet Transform，GPBDCT)

MRI圖像分塊結(jié)果，如圖1所示。

(a) 分塊結(jié)果

令φT表示圖像x的二維正向曲波變換，Rj表示將圖像x系數(shù)φTx分成塊的算子bj=RjφTx(j=1,2,…,J)，實(shí)現(xiàn)圖像的分塊操作，候選方向集為θ={θ1,θ2,…,θd,…,θD}，對(duì)于第j個(gè)塊的幾何方向，那么曲波變換域內(nèi)子帶系數(shù)塊的幾何方向wj能夠通過S個(gè)曲波系數(shù)的最小逼近誤差實(shí)現(xiàn)估算[18]，如式(3)。

(3)

(4)

(5)

式中，c表示每個(gè)像素的重疊系數(shù)。

2.2 基于PBDCT的CS-MRI圖像重建

在CS-MRI圖像重建過程中，通過約束變換系數(shù)的l1范數(shù)，使得其最小化，而l0范數(shù)則能用較少的測(cè)量值實(shí)現(xiàn)圖像重建。因此，通過約束l0范數(shù)最小化進(jìn)行MRI圖像重建，其重建式，如式(6)。

(6)

2.3 算法流程

為了方便求解和計(jì)算，將輔助變量αj=ψTP(θj,d)Rjx引入式(6)，則有式(7)。

(7)

式(7)在求解過程中，隨著β的增大，前一次β值的解作為下一次β下的初始解。當(dāng)β值一定時(shí)，式(7)通過下面兩步實(shí)現(xiàn)求解。

(1) 固定x，計(jì)算每一個(gè)αj，如式(8)。

(8)

(9)

式(9)可以通過正則化方程進(jìn)行求解，如式(10)。

(10)

由于ψψT=I,PT(θj)P(θj)=I，式(10)可以簡(jiǎn)化，如式(11)。

(11)

MRI圖像系數(shù)重建結(jié)果，如式(12)。

(12)

其算法流程如下。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

(13)

(14)

(15)

實(shí)驗(yàn)中，采用笛卡爾采樣模板實(shí)現(xiàn)k空間數(shù)據(jù)欠采，如圖2所示。

(a) 35%數(shù)據(jù)欠采

所有k空間數(shù)據(jù)均由SIMENS 3T成像儀采集得到，成像參數(shù)TR/TE=6 100/99 ms，層厚為3 mm，視野為220*220 mm。

標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)圖像，如圖3所示。

(a)

(e)

為評(píng)估本文算法的有效性，以圖3(a)-圖3(h)為研究對(duì)象，其中，圖3(a)-圖3(d)為笛卡爾坐標(biāo)采樣圖像，因?yàn)榈芽栕鴺?biāo)采樣被廣泛地應(yīng)用于工程實(shí)踐和科學(xué)研究，具有很好的效果；圖3(e)-圖3(h)為2維欠采樣圖像。

GPBDCT、塊方向性曲波變換(Patch-based Directional Curvelet Transform，PBDCT)和平移不變離散余弦變換(Shift-invariant Discrete Cosine Transform，SIDCT)重構(gòu)結(jié)果，如圖4所示。

(e) 模板

圖4表示不同方法MRI圖像重構(gòu)結(jié)果對(duì)比圖，圖4(b)和圖4(f)分別表示SIDCT結(jié)合l0范數(shù)的MRI圖像重構(gòu)結(jié)果和重構(gòu)誤差；圖4(c)和圖4(g)分別表示PBDCT結(jié)合l0范數(shù)的MRI圖像重構(gòu)結(jié)果和重構(gòu)誤差；圖4(d)和圖4(h)分別表示GPBDCT結(jié)合l0范數(shù)的MRI圖像重構(gòu)結(jié)果和重構(gòu)誤差。通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，GPBDCT結(jié)合l0范數(shù)的MRI圖像重構(gòu)結(jié)果優(yōu)于SIDCT和PBDCT。由圖4(f)—圖4(h)MRI圖像重構(gòu)誤差可知，提出的GPBDCT比SIDCT和PBDCT在抑制噪聲和保持邊緣細(xì)節(jié)方面更具優(yōu)勢(shì)。另外，由不同重構(gòu)方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果，如表1所示。

表1 不同重構(gòu)方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果

由表1可知，GPBDCT結(jié)合l0范數(shù)進(jìn)行圖像重構(gòu)，在信噪比(SNR)、相對(duì)l2誤差(RLNE)和匹配度(γ)三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)上，均優(yōu)于SIDCT和PBDCT，GPBDCT結(jié)合l0范數(shù)的信噪比比SIDCT和PBDCT分別提高了2.8 dB和1.69 dB，相對(duì)l2誤差比SIDCT和PBDCT分別提高降低0.015和0.001 9，從而證明本文方法GPBDCT結(jié)合l0范數(shù)進(jìn)行圖像重構(gòu)質(zhì)量在抑制噪聲和保留邊緣的優(yōu)越性。

3.2 不同數(shù)據(jù)采樣頻率對(duì)圖像重構(gòu)質(zhì)量的影響

為了研究不同采樣頻率，對(duì)MRI圖像重構(gòu)質(zhì)量的影響，通過對(duì)比不同采樣頻率下，GPBDCT、PBDCT和SIDCT三種方法的MRI圖像的相對(duì)l2誤差(RLNE)。其對(duì)比結(jié)果，如圖5所示。

(a)

(c)

(e)

(g)

圖5表示不同方法下，不同采樣頻率對(duì)圖像重構(gòu)質(zhì)量的影響，其評(píng)價(jià)指標(biāo)為相對(duì)l2誤差(RLNE)。圖5中的橫坐標(biāo)表示采樣頻率，采樣頻率分別為0.15、0.25、0.35、0.45、0.55、0.65、0.75、0.85和0.95，縱坐標(biāo)為相對(duì)l2誤差。以圖5(a)為例，SIDCT和PBDCT的相對(duì)l2誤差明顯大于GPBDCT，在采樣頻率為0.15時(shí)，局部的相對(duì)l2誤差高達(dá)0.101，隨著采樣頻率的增加，相對(duì)l2誤差也隨之降低，GPBDCT法的相對(duì)l2誤差總體低于SIDCT和PBDCT的相對(duì)l2誤差。圖5中的(a)—(h)分別對(duì)應(yīng)圖3中的(a)—(h)。圖5(b)—(h)表示不同測(cè)試圖像的相對(duì)l2誤差，通過圖5(b)—(h)可知，GPBDCT方法在不同采樣頻率下，其圖像重構(gòu)結(jié)果均優(yōu)于SIDCT和PBDCT，從而說明本文算法具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

3.3 抗噪能力分析

為了驗(yàn)證本文算法抵抗噪聲的能力，分別對(duì)MRI圖像的k空間的實(shí)部和虛部加入方差為0.03的高斯白噪聲。不同方法噪聲圖像重構(gòu)結(jié)果，如圖6所示。

(a) 全采樣加噪圖像

不同重構(gòu)方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果，如表2所示。

表2 不同重構(gòu)方法的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果

由表2可知，在信噪比(SNR)、相對(duì)l2誤差(RLNE)和匹配度(γ)三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)上，有噪聲MRI圖像重構(gòu)的信噪比，GPBDCT比SIDCT和PBDCT分別提高2.62 dB和1.08 dB，相對(duì)l2誤差分別降低0.040 2和0.012 4，匹配度分別提高0.020 8和0.040 8，從而證明本文算法GPBDCT具有很強(qiáng)的抗噪能力，效果較好，同時(shí)在抑制噪聲和保持邊緣細(xì)節(jié)方面更具優(yōu)勢(shì)。

4 總結(jié)

為提高M(jìn)RI圖像壓縮重構(gòu)后的視覺傳達(dá)效果和圖像重建質(zhì)量，將圖像分塊理論引入壓縮感知圖像重建，結(jié)合曲波變換具有保持圖像邊緣細(xì)節(jié)信息和曲線信息的優(yōu)點(diǎn)，利用曲波變換實(shí)現(xiàn)MRI圖像的稀疏表示，提出一種基于圖像分塊的曲波變換的MRI圖像壓縮感知圖像重構(gòu)算法。GPBDCT在進(jìn)行MRI圖像重構(gòu)時(shí)，從信噪比、相對(duì)l2誤差和匹配度三個(gè)評(píng)價(jià)可以看出，本文提出的GPBDCT方法均優(yōu)于SIDCT和PBDCT，具有很強(qiáng)的抵抗噪聲的能力，在保持圖像細(xì)節(jié)和邊緣方面效果很好。