劉志偉，劉聰，薛啟超

1. 中國核動力研究設(shè)計院，四川 成都 610213

2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

斷裂韌性表征材料阻止裂紋擴(kuò)展的能力，是度量材料的韌性好壞的一個定量指標(biāo)，材料的斷裂韌性不僅與材料本身屬性相關(guān)，同樣取決于研究對象的加載方式或約束水平等其他因素。目前對于材料斷裂韌性的測試方法，主要以單參數(shù)方法為主，以參考溫度作為唯一的衡量標(biāo)準(zhǔn)。然而單參數(shù)方法基本都是以標(biāo)準(zhǔn)試件作為試驗(yàn)對象，在固定尺寸的試件上進(jìn)行的試驗(yàn)。但在日常生產(chǎn)生活中，我們所用到的物品、結(jié)構(gòu)的尺寸，往往與試驗(yàn)試件的尺寸差距較大，這就需要更為準(zhǔn)確的、能描述不同尺寸試件斷裂韌性的新方法。

為了使斷裂韌性的應(yīng)用更加廣泛，研究人員開始嘗試用雙參數(shù)方法來描述材料的斷裂韌性，該方法產(chǎn)生的主要原因是裂紋尖端存在著強(qiáng)烈的約束效應(yīng)，即在無限接近裂紋尖端的位置，應(yīng)力場為無窮大。這樣的情況就使得傳統(tǒng)的單參數(shù)法無法表現(xiàn)裂紋尖端位置的應(yīng)力分布情況。

J-A2方法用J積分描述載荷水平，A2作為約束參數(shù)，是由裂紋端彈塑性場的漸近展開式發(fā)展而來的描述裂紋端約束的一種較精確的雙參數(shù)方法。王鐘羨[1]對單邊缺口緊湊拉伸試件和帶軸向表面裂紋管道進(jìn)行了有限元分析。用J-A2方法量化了裂紋尖端區(qū)域的約束情況，結(jié)果表明管道裂紋尖端的約束水平要小于CT試件的約束水平。王忠羨等[2]對不同載荷水平下淺裂紋和標(biāo)準(zhǔn)裂紋試樣進(jìn)行彈塑性數(shù)值分析，用J-A2雙參數(shù)方法對裂紋端約束效應(yīng)進(jìn)行了計算，證明了J-A2是與裂紋體構(gòu)形和載荷形式相關(guān)的主要約束參數(shù)。顏福裕[3]用JA2方法計算了含裂紋的反應(yīng)堆壓力容器的約束水平。根據(jù)實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬結(jié)果，預(yù)測了含半橢圓表面裂紋的反應(yīng)堆壓力容器的斷裂韌性。Lam等[4]利用J-A2方法分析A533B反應(yīng)堆壓力容器鋼在輻射下的韌性裂紋擴(kuò)展，Kim等[5]采用J-A2方法研究加載速率對脆性材料動態(tài)斷裂起始韌度的影響。

本文通過對不同裂紋長度的三點(diǎn)彎曲試樣進(jìn)行彈塑性數(shù)值分析，計算了裂紋尖端的J積分值，采用J-A2方法計算裂紋端的約束參數(shù)，驗(yàn)證了JA2方法轉(zhuǎn)化斷裂韌性的可行性，為后續(xù)通過在實(shí)驗(yàn)室中模擬結(jié)構(gòu)的約束，預(yù)測實(shí)際結(jié)構(gòu)斷裂行為的研究提供了參考。

1 基本理論

1.1 經(jīng)驗(yàn)公式法

J-A2方法是由南卡羅萊納大學(xué)的教授Yang和Chao等[6-8]于1993年和1994年發(fā)展起來的。Yang[9-10]等建立了裂紋尖端場的數(shù)學(xué)模型，由數(shù)學(xué)模型高階項的解析解較為準(zhǔn)確地表示出了裂紋尖端的應(yīng)力場。在后續(xù)的研究中Chao等[11]只保留數(shù)學(xué)模型高階項解的前3項，提出了裂紋尖端J-A2法的高階三項解來表示裂紋尖端的屬性，目前該方法已被廣泛應(yīng)用于不同荷載下裂紋尖端約束的描述。

對裂紋尖端數(shù)學(xué)模型漸近解分析后，根據(jù)JA2理論在極坐標(biāo)下的應(yīng)力場公式可表示為[12]

參數(shù)A1及S1表達(dá)式如式(4)和式(5):

應(yīng)力角函數(shù)及應(yīng)力冪函數(shù)為硬化指數(shù)的函數(shù)，與其他約束參量無關(guān)，方程式中各項參數(shù)均可通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)得到，應(yīng)力角函數(shù)和冪函數(shù)只與材料的硬化指數(shù)相關(guān)，是硬化指數(shù)對應(yīng)的相關(guān)函數(shù)，與受到的外部荷載及材料的其他任意性能無關(guān)。然而約束參數(shù)A2則與材料的基本性能和外部荷載水平有著直接的關(guān)系，可由不同方法總結(jié)計算得到。

雙參數(shù)J和A2的設(shè)定，使得其對應(yīng)的3項解中含有兩個及以上的高階解，便使得在遠(yuǎn)離裂紋尖端的位置，該公式也能夠同樣適用，以J積分作為荷載水平的度量，以A2作為裂紋尖端約束水平的衡量標(biāo)準(zhǔn)，在這樣的前提下，對于任一含裂紋試件，該方法都可作為裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變的衡量指標(biāo)[13]。

裂紋尖端場的解為相應(yīng)的J積分，且該結(jié)果只包含唯一的參量J積分，從而可以認(rèn)定該區(qū)域?yàn)镴積分控制的有效區(qū)域，相應(yīng)的區(qū)域被稱為J積分控制區(qū)域。由于雙參數(shù)的方程解中具有2個及以上的高階項，在距離裂紋相對較遠(yuǎn)的區(qū)域內(nèi)，該結(jié)果依然有效，該區(qū)域距離J積分的控制區(qū)域相對較遠(yuǎn)，而在大部分塑性材料中，往往在斷裂發(fā)生之時，裂紋尖端的塑性形變會非常之大，而這樣的變形通常會超出J積分直接控制的區(qū)域，由而J、A2雙參數(shù)控制的區(qū)域則能包絡(luò)裂紋尖端更大的范圍，該區(qū)域被稱為J-A2控制區(qū)域，如圖1所示，兩種不同的控制方法，可覆蓋裂紋周圍的全部區(qū)域[14]。

圖1 J積分區(qū)域示意圖

1.2 斷裂韌性轉(zhuǎn)化方法

目前國內(nèi)外基于經(jīng)驗(yàn)公式法及主曲線法測定的斷裂韌性，所得結(jié)果相對來說過于保守。目前世界上比較先進(jìn)的方法是采用微觀解離過程中力學(xué)分析的方法對斷裂韌性轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行研究，然而這種方法目前依舊停留在理論階段。本次研究采用J-A2法對考慮約束效應(yīng)下的斷裂韌性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即已知兩個試件的約束參數(shù)和其中一個構(gòu)件的斷裂韌性推測另一構(gòu)件的斷裂韌性的方法[15]。

對于在同樣環(huán)境下，具有不同約束條件的兩個試驗(yàn)試件，由裂紋尖端的應(yīng)力公式進(jìn)行分析計算，可得到式(6)和式(7):

對于在相同試驗(yàn)環(huán)境中的試件由式(6)及式(7)可得到：

式中：

由式(8)可知，當(dāng)2個試件在不同約束條件的情況下，可通過轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行J積分的轉(zhuǎn)化，當(dāng)試件尺寸相同時，可對相應(yīng)約束參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

J積分是材料的一個臨界屬性常數(shù)，當(dāng)材料的起裂判定值超過J積分當(dāng)量時，材料裂紋便開始進(jìn)行擴(kuò)展。A2則是一個與試件實(shí)驗(yàn)過程中的荷載、性能常數(shù)及試驗(yàn)試件尺寸相關(guān)的一個性能參量，主要用于表示試件之間的不同。A2值相對較大的構(gòu)件，表示其處于相對復(fù)雜的約束中。JA2法在大范圍屈服和小范圍屈服的條件下均適用，相較于單參數(shù)法能夠更為準(zhǔn)確地表征裂紋尖端附近的應(yīng)力場和應(yīng)變場。

2 數(shù)值模擬分析

2.1 建立模型

本次研究選取三點(diǎn)彎曲試件進(jìn)行模擬分析，通過設(shè)置不同的初始裂紋長度分別計算J積分，對計算所得J積分進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)斷裂韌性之間的轉(zhuǎn)化。

建立三點(diǎn)彎曲試件進(jìn)行模擬，試件總長度L為200 mm，試件高度W為40 mm，試件厚度B為20 mm，支撐軸跨距160 mm，首先設(shè)置機(jī)械缺口寬度為2.5 mm，采用V型缺口設(shè)計，3種模擬試件缺口高度分別設(shè)置為16、22和26 mm。將疲勞裂紋簡化為一條直線，長度為2 mm，裂紋整體長度a分別為18、24和28 mm，a/w數(shù)值分別為0.45、0.6和0.7，滿足規(guī)范要求。3處支撐軸直徑為20 mm，在模擬過程中，支撐構(gòu)件不發(fā)生變形。具體模型如圖2所示。

圖2 三點(diǎn)彎曲試件模型示意

試件材料采用Q345B鋼材，根據(jù)材料拉伸試驗(yàn)的結(jié)果，材料屈服強(qiáng)度數(shù)值設(shè)定為372.6 MPa，彈性模量設(shè)定為206 GPa，泊松比設(shè)定為0.3，材料應(yīng)變硬化指數(shù)設(shè)定為0.4，切向摩擦系數(shù)取0.2。網(wǎng)格采用四面體網(wǎng)格尺寸為主，網(wǎng)格劃分后三點(diǎn)彎曲單元個數(shù)約為11 920個。模型的網(wǎng)格劃分如圖3所示。

圖3 三點(diǎn)彎曲試件網(wǎng)格劃分圖

采用動力隱式分析，將最大增量步數(shù)設(shè)置為10 000，初始增量步大小為設(shè)定為0.01 s，最小增量步為1e-005 s。場輸出請求輸出Mises等效應(yīng)力、等效塑性應(yīng)變及其他各類力學(xué)參量，在歷程輸出設(shè)置中選擇裂紋尖端的J積分隨裂紋變化的曲線。在載荷模塊中設(shè)置對試樣所施加的載荷和對有限元模型施加的邊界條件，載荷類型為應(yīng)力波載荷。對于三點(diǎn)彎曲試件，在邊界條件中固定支撐試件的兩個支撐構(gòu)件，使之在模擬過程中不發(fā)生移動。

2.2 計算結(jié)果

對3種不同裂紋情況下的試件進(jìn)行加載，可以得到加載過程中的應(yīng)力云圖，如圖4所示。

圖4 三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)應(yīng)力云圖

由試件內(nèi)力云圖可以看到，試件在不同初始裂紋的分析過程中，裂紋尖端均出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，且隨著裂紋深度的不斷加大，裂紋尖端的應(yīng)力逐漸減小。通過模擬得到材料荷載-位移曲線如圖5所示。

圖5 三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)荷載-位移曲線

由三點(diǎn)彎曲試件的荷載位移-曲線能夠看到，在加載的初始階段，曲線趨于線性上升，荷載為位移的正比例函數(shù)，而在繼續(xù)加載的過程中，曲線斜率逐漸趨于平緩，此時位移量開始快速變大，裂紋進(jìn)行擴(kuò)展，直至最大值時材料失穩(wěn)破壞。

2.3 斷裂韌性轉(zhuǎn)換

2.3.1J積分計算

J積分作為表征裂紋尖端應(yīng)變集中特性的平均參量具有守恒性，在進(jìn)行J積分求解時可選擇距離裂紋尖端較遠(yuǎn)的回路位置。應(yīng)用ABAQUS數(shù)值模擬軟件，在不同位置設(shè)定積分點(diǎn)，通過數(shù)據(jù)導(dǎo)出不同情況J積分的數(shù)值。分別選取沿裂紋擴(kuò)展方向J積分的最大值，結(jié)果如圖6所示。

圖6 三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)J積分曲線

由圖6數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，裂紋位置的J積分最大值的參量隨著裂紋長度的增大而減小，J積分的數(shù)值越小，與其相對應(yīng)的斷裂韌性值就越低，而相應(yīng)的約束效應(yīng)就更加嚴(yán)重，在裂紋發(fā)生擴(kuò)展時所吸收的能量就越小，抵抗裂紋繼續(xù)開裂的能力就越弱。

2.3.2 約束參數(shù)A2的計算

對于約束參數(shù)A2的計算，將各類參數(shù)整理代入式(6)和式(7)得到對應(yīng)的方程組，通過整理方程得到無量綱參數(shù)A2的數(shù)值。整理得到相應(yīng)參數(shù)如表1所示。

表1 A2計算參數(shù)值

將表中數(shù)值及前文所求J積分?jǐn)?shù)值進(jìn)行整理，代入式(6)及式(7)中得到相關(guān)方程組，求得相應(yīng)數(shù)值如表2所示。

表2 三點(diǎn)彎曲試件J積分與A2值

從表中數(shù)據(jù)能夠看出，裂紋相對較短的試件，約束參數(shù)A2的值更小，說明其具有的約束效應(yīng)更小，抵抗變形的能力更強(qiáng)，裂紋繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)展需要的能量更多，斷裂韌性的數(shù)值更大。

2.3.3J積分的轉(zhuǎn)化

不同試件由于裂紋性質(zhì)的不同存在著不同的約束參數(shù)，同一材質(zhì)及尺寸的試件在不同約束下的J積分?jǐn)?shù)值可進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，已知某一試件的J積分及約束參數(shù)和另一試件的約束參數(shù)的條件下，可利用式(9)得到另一試件的J積分值，將18 mm裂紋長度試件的J積分及A2和24 mm裂紋長度試件的A2值代入，得到24 mm裂紋轉(zhuǎn)化J積分值。三點(diǎn)彎曲試件的J積分轉(zhuǎn)化值及誤差如表3所示。

表3 三點(diǎn)彎曲試件J積分轉(zhuǎn)化

分析表中數(shù)據(jù)可知，利用雙參數(shù)法對J積分的轉(zhuǎn)換，得到的數(shù)值與計算值誤差并不大，均在8%之內(nèi)。

3 結(jié)論

本研究主要通過三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)的數(shù)值模擬，計算了含有不同長度裂紋的三點(diǎn)彎曲試件裂紋尖端J積分?jǐn)?shù)值，同時研究了基于J-A2方法斷裂韌性轉(zhuǎn)化的可行性，主要結(jié)論如下：

1)基于ABAQUS有限元模擬得到了含裂紋三點(diǎn)彎曲試件的J積分?jǐn)?shù)值，利用J-A2法分別計算了不同初始裂紋條件下三點(diǎn)彎曲試件約束參數(shù)A2的值，結(jié)果顯示隨著裂紋長度的加深，A2值逐漸增加，試件所處約束水平越高。

2)進(jìn)行同類試件不同初始裂紋下J積分的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化值與計算值誤差不大，不超過8%，說明JA2方法可對臨界J積分值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，驗(yàn)證了該方法的可行性和準(zhǔn)確性。