張歡，周云生，姜義成

1. 北京遙測技術(shù)研究所，北京 100094

2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

多站無源定位技術(shù)在雷達(dá)、導(dǎo)航、無線通信等領(lǐng)域存在著廣泛的應(yīng)用[1-3]。常用定位參數(shù)主要包括到達(dá)角度(angle of arrival，AOA)、到達(dá)時(shí)間差(time different of arrival，TDOA)、到達(dá)頻率差(frequency different of arrival，F(xiàn)DOA)等。其 中 多站時(shí)差定位體制通過多個觀測站測量輻射源信號到達(dá)各站的時(shí)間差實(shí)現(xiàn)輻射源定位，其定位成本低、定位精度較高并且不需要精確已知輻射源發(fā)射信號信息，是一種實(shí)時(shí)定位體制，因此受到廣泛關(guān)注。

目前典型的TDOA定位算法包括Chan算法[4-5]、迭代算法[6]以及凸優(yōu)化算法[7]等。Chan算法通過信號到達(dá)兩站的時(shí)差確定以兩觀測站為焦點(diǎn)的雙曲面，多個雙曲面的交點(diǎn)即為輻射源位置，該方法在測量誤差較小時(shí)能夠得到輻射源位置的解析解；但測量誤差增大會使雙曲面平移，會出現(xiàn)定位模糊或無解的問題，影響算法定位精度。迭代算法需要一個初始位置點(diǎn)進(jìn)行迭代求解，若初始點(diǎn)與真實(shí)位置誤差較大，算法往往不能收斂。凸優(yōu)化算法具有局部最優(yōu)點(diǎn)即全局最優(yōu)點(diǎn)的特點(diǎn)[8-9]，其首先利用中間變量構(gòu)造偽線性方程并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)；然后在此基礎(chǔ)上對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行松弛變換，將非線性的時(shí)差定位方程變換為一個凸優(yōu)化問題，該方法具有良好的收斂特性，不會出現(xiàn)局部收斂或發(fā)散的現(xiàn)象。由于時(shí)差定位通常是在觀測站位置信息精確已知的條件下進(jìn)行，所以會受到使用條件的限制，當(dāng)觀測站為無人機(jī)或高速飛行器等運(yùn)動平臺時(shí)，其導(dǎo)航自定位存在誤差，位置誤差的存在會使時(shí)差定位算法的定位精度下降[10-12]。因此，定位算法需要考慮位置誤差對定位精度的影響。

本文考慮在觀測站存在位置誤差的條件下，提出了一種基于凸優(yōu)化的時(shí)差定位算法，并通過仿真本文算法在不同的時(shí)差測量誤差、位置誤差條件下的定位誤差，驗(yàn)證了算法的有效性；通過卡爾曼濾波處理多次定位結(jié)果進(jìn)一步提升了輻射源定位精度。

1 時(shí)差定位模型

如圖1所示，假設(shè)在三維空間中位于地球表面的輻射源真實(shí)位置為四站時(shí)差定位系統(tǒng)中各站真實(shí)位置分別為2,3,4。

以第一個觀測站為主站，其余為輔站。多站之間采用中心授時(shí)法完成時(shí)鐘同步，主輔站上分別攜帶有衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)，根據(jù)衛(wèi)星導(dǎo)航授時(shí)中心的中心授時(shí)調(diào)整自身時(shí)鐘來達(dá)到相互之間的時(shí)鐘同步。假設(shè)輻射源信號傳輸過程中不存在多徑效應(yīng)等問題，主輔站截獲輻射源信號，通過脈沖配對和信號到達(dá)時(shí)間估計(jì)后得到3個測量時(shí)差，乘以電磁波傳播速度c得到時(shí)差的等價(jià)觀測量即為距離差測量值：

本算法對地球表面高程為零的靜止輻射源進(jìn)行定位，利用這一信息作為輻射源位置求解的約束條件，采用WGS-84地球橢球模型[13]。在WGS-84模型下，輻射源的空間直角坐標(biāo)與經(jīng)緯高坐標(biāo)的關(guān)系為

式中：H為輻射源高度信息，對位于地球表面的輻射源，其高度H=0。存在約束條件時(shí)的多站時(shí)差定位方程如下：

2 基于凸優(yōu)化的時(shí)差定位算法

首先將非線性的時(shí)差定位方程偽線性化。將主站與輻射源的距離作為輔助變量，對兩邊進(jìn)行平方，并將含有誤差的ri1和 si代入方程并作泰勒級數(shù)展開后得到關(guān)于輻射源位置uo和輔助變量的偽線性方程：

該函數(shù)是非線性等式約束優(yōu)化問題，其為一個非凸優(yōu)化問題。對該問題可以通過松弛變換處理，將其轉(zhuǎn)換為一個凸優(yōu)化問題，利用凸優(yōu)化局部最優(yōu)點(diǎn)即為全局最優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)可以有效求解。

對于形如 Y=yyT的矩陣等式有：

舍棄式中約束項(xiàng) rank(Y)=1，將原問題進(jìn)行松弛后得到一個凸優(yōu)化問題，同時(shí)加入地球表面約束條件：

該問題的求解已經(jīng)成熟應(yīng)用于MATLAB內(nèi)嵌的CVX工具箱中，該方法可以在幾十步之內(nèi)以給定的精度求解凸優(yōu)化問題[9]，當(dāng)結(jié)果滿足門限時(shí)，求解結(jié)束并輸出定位結(jié)果。根據(jù)Y的定義可得輻射源定位結(jié)果為

綜上所述，本算法基本流程為：

1)根據(jù)時(shí)差信息與觀測站坐標(biāo)構(gòu)建時(shí)差定位方程；

2)對定位方程進(jìn)行變換并結(jié)合地球表面約束條件，將其變?yōu)橐粋€凸優(yōu)化問題；

3)利用CVX工具箱求解，若結(jié)果滿足給定門限，則求解結(jié)束，否則繼續(xù)迭代并更新定位結(jié)果。

3 仿真分析

3.1 單次定位誤差仿真

本文在不同時(shí)差測量誤差和位置誤差情況下仿真各種算法的定位誤差。假設(shè)輻射源位置為uo=[?1 211.96,5 790.91,2 374.68]Tkm，4個觀測站采用一主三從模式，各站真實(shí)坐標(biāo)為如表1所示。此時(shí)主站與輻射源之間的距離R為71.50 km，考慮到定位精度與距離的關(guān)系，本文選取1 %R作為檢測時(shí)差定位算法精度的標(biāo)準(zhǔn)。

本文中各種算法的定位精度用均方根誤差(root mean square error，RMSE)來表示，其定義為其中L=100為蒙特卡洛仿真次數(shù)，ul為 第l次蒙特卡洛仿真得到的位置估計(jì)值，uo為輻射源真實(shí)位置。

假設(shè)各站絕對位置誤差σs為0 m，圖2表示了各種算法對輻射源的定位誤差隨時(shí)差測量誤差變化情況，其中迭代算法初始值由Chan算法給出。從圖中可以看出，當(dāng)時(shí)差測量誤差和位置誤差均為零時(shí)，3種算法均能準(zhǔn)確計(jì)算出輻射源位置，定位誤差接近于零；當(dāng)時(shí)差測量誤差大于8 ns時(shí)，Chan算法和迭代算法的定位誤差大于1 %R，不能滿足高精度定位的要求；而本文算法在時(shí)差測量誤差為20 ns時(shí)的定位誤差為0.12 km，仍能滿足1%R的定位精度要求。

圖2 算法定位誤差隨時(shí)差測量誤差變化情況

假設(shè)主從站時(shí)差測量誤差σt為5 ns，圖3表示了各種算法對輻射源的定位誤差隨位置誤差變化情況，其中迭代算法初始值由Chan算法給出。從圖中可以看出，由于位置誤差和時(shí)差測量誤差的影響，當(dāng)位置誤差大于2 m時(shí)，Chan算法和迭代算法的定位誤差大于1 %R；而本文算法在位置誤差為10 m時(shí)的定位誤差為0.21 km，仍能滿足1%R的高精度定位要求。

圖3 算法定位誤差隨位置誤差變化情況

3.2 多次定位仿真

為了提升輻射源定位精度，可以對輻射源進(jìn)行多次定位并對多次定位結(jié)果進(jìn)行濾波處理[14]。設(shè)輻射源為其狀態(tài)方程與測量方程為

為了體現(xiàn)多次定位卡爾曼濾波結(jié)果，本節(jié)仿真參數(shù)如下：輻射源為地面固定目標(biāo)，其位置坐標(biāo)與上節(jié)相同；四站位置如表1所示，運(yùn)動速度為(?0.5,?2,?0.5)km/s，觀測時(shí)長為10 s，觀測間隔時(shí)間為0.1 s；仿真中時(shí)差測量誤差為10 ns，各站絕對位置誤差為5 m。

表1 觀測站三維真實(shí)坐標(biāo) km

從圖4中可以看出，對多次定位結(jié)果進(jìn)行卡爾曼濾波后，輻射源定位誤差大大減小，到4 s以后，定位誤差穩(wěn)定在10 m以下，濾波處理可以大大提升對輻射源的定位精度。

圖4 單次定位與卡爾曼濾波處理后的定位誤差

4 結(jié)論

本文以四站時(shí)差定位系統(tǒng)為例，考慮觀測站位置誤差對定位算法精度的影響，提出了一種基于凸優(yōu)化的時(shí)差定位算法。通過將非線性的時(shí)差定位方程轉(zhuǎn)換為一個凸優(yōu)化問題，結(jié)合地球表面約束條件得到輻射源位置的最優(yōu)解。仿真結(jié)果表明：本文算法在相同時(shí)差測量誤差或位置誤差條件下定位精度優(yōu)于傳統(tǒng)時(shí)差定位算法，在高誤差條件下定位誤差最?。贿M(jìn)一步通過對多次定位結(jié)果進(jìn)行卡爾曼濾波處理減小了輻射源定位誤差，大大提升了輻射源定位精度。