宋 立，李揚榮

西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400715

若隨機吸引子的后向并是預緊的， 則稱該吸引子為后向緊隨機吸引子． 文獻[1-2]對非自治動力系統(tǒng)所產(chǎn)生的拉回吸引子的存在性和后向緊性做了深入的研究， 并建立了相對完善的理論體系． 文獻[3-6]對非自治方程的吸引子的存在性進行了研究， 文獻[7-8]對自治p-Laplacian格點方程吸引子的存在性做了研究． 本文將在文獻[8]的基礎上， 研究非自治情況下， 帶有乘法噪音的隨機p-Laplacian格點方程的后向緊吸引子的存在性．

1 預備知識

θt(s+t， ·)=θt(t， ·)°θt(s， ·) ?t，s∈R

則稱(Ω， F，P，θ)是一個度量動力系統(tǒng)．

則稱映射Φ是關(guān)于(Ω， F，P，θ)的非自治動力系統(tǒng)， 也稱協(xié)循環(huán)．

定義4令B是X的所有有界非空子集族構(gòu)成的集合， 假設集合

K={K(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}∈B

若對任意的τ∈R，ω∈Ω，D∈B， 存在T=T(τ，ω，D)>0， 使得當t≥T時有

Φ(t，τ-t，θ-tω，D(τ-t，θ-tω))?K(τ，ω)

則稱K為Φ的B-拉回吸收集．

2 非自治隨機動力系統(tǒng)

本文將在l2空間上討論帶有乘法噪音的非自治隨機p-Laplacian格點方程

(1)

其中Z代表整數(shù)集，λ，α>0，p>2，W(t)是雙邊實值Wiener過程， °代表Stratonovich積分意義下的乘法噪音． 對于外力項f=(fi)i∈Z和非自治項g=(gi)i∈Z有如下假設：

fi(s)s≤0 ?s∈R

(2)

(3)

(4)

定義l2上的有界算子：

B： (Bu)i=ui+1-uiB*： (B*u)i=ui-1-ui

A： (Au)i=|ui-ui-1|p-2(ui-ui-1)-|ui+1-ui|p-2(ui+1-ui) ?u∈l2

因此， 根據(jù)算子的定義， 有

(5)

微分方程(1)可整理為

(6)

下面證明方程(6)能生成隨機動力系統(tǒng)．

(7)

因此方程(6)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于v的隨機微分方程

(8)

由文獻[8]可知， 對任意T>0，v0∈l2，ω∈Ω， 方程(8)存在唯一的解v(·，τ，ω，v0)∈C([τ， +∞)， l2)， 且依賴初值v0連續(xù)． 因此方程(8)在(Ω， F，P， {θt}t∈R)上能生成一個連續(xù)的隨機動力系統(tǒng){Φ(t)}t≥0， 即對v0∈l2，t≥0，τ∈R， 和ω∈Ω， 有

Φ(t，τ，ω，v0)=v(t+τ，τ，θ-τω，v0)

在下文中， 設D0是X中所有緩增集構(gòu)成的集合， D是X中所有后向緩增集構(gòu)成的集合． 若集合D0滿足

(9)

則稱集合D0為緩增集； 若集合D滿足

(10)

則稱集合D為后向緩增集．

3 解的估計

引理1若假設(F1)，(F2)成立， 那么有：

(11)

其中R0(τ，ω)是可測函數(shù)， 定義為

(12)

(13)

其中

(14)

證對任意固定的τ∈R，ω∈Ω，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 令v(r)=v(r，s-t，θ-sω，vs-t)， 其中s≤τ．v(r)與方程(8)作內(nèi)積可得

(15)

利用(2)，(5)式整理(15)式， 可得

(16)

利用H?lder不等式及Young不等式， 有

(17)

代入(16)式可得

(18)

對(18)式利用Gronwall不等式， 計算可得

(19)

再由(7)式、 (9)式可知， 存在T0(D0，s，ω)≥1， 使得當t≥T0時， 有

(20)

因此(11)式得證．

對(19)式關(guān)于s∈(-∞，τ]取上確界， 由于vs-t∈D(s-t，θ-tω)(s≤τ)， 結(jié)合(7)式、 (10)式可知， 存在T=T(s，ω， D)≥1， 使得當t≥T時， 有

(21)

因此可以得到

(22)

即(13)式得證．

注射碘酊治療組:1周后,囊腫注射部位的粘膜表面發(fā)白,無觸痛,3周后,注射部位與周圍粘膜無差異,囊腫已完全消失,表面粘膜未見異常,半年內(nèi)進行隨訪,見6例囊腫復發(fā)。

引理2若假設(F1)，(F2)成立， 則有如下結(jié)論：

K0(τ，ω)={w∈l2： ‖w‖2≤1+R0(τ，ω)} ?τ∈R，ω∈Ω

(23)

(24)

首先證明R(τ，ω)是有限的． 根據(jù)(7)式可知， 對任意ε>0， 存在C=C(ε，ω)>0， 使得

(25)

(26)

(27)

所以K∈D0． 又由于K0?K， 因此K0∈D0．

最后證明K∈D． 根據(jù)(24)式， 易知集合K是遞增的， 即

K(τ1，ω)?K(τ2，ω) ?τ1<τ2

因此， 結(jié)合K∈D0可知， 對任意γ>0， 有

(28)

即證得K∈D． 再由(13)式可知， K在任意集合D∈D上是后向一致吸收的．

引理3若假設(F1)，(F2)成立， 則對?ε>0， (τ，ω， D)∈(R×Ω×D)，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω， D)>0，N(ε，τ，ω， D)≥1， 使得

證構(gòu)造光滑函數(shù)ρ， 滿足0≤ρ≤1， 且當|s|≤1時，ρ=0； 當|s|≥2時，ρ=1． 并假設存在常數(shù)c0， 使得對任意s∈R， 有|ρ′(s)|≤c0． 令N是一個固定的整數(shù)， 設

x與(8)式作內(nèi)積可得

其中

(29)

由于|ρ′(s)|≤c0， 因此

(30)

故由(29)式、 (30)式可得

(31)

由假設(F1)可知

(32)

由Young不等式可知

(33)

結(jié)合(31)-(33)式， 可得

(34)

對(34)式運用Gronwall引理， 計算整理可得

(35)

由于vs-t∈D(s-t，θ-tω)(s≤τ)， 結(jié)合(7)，(10)式可得

(36)

(37)

(38)

因此， 結(jié)合(36)-(38)式可得， 對任意的ε>0， (τ，ω， D)∈(R×Ω×D)，vs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω， D)>0，N(ε，τ，ω， D)≥1， 使得

引理4若假設(F1)，(F2)成立， 則協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向漸近緊的．

證對任意固定的τ∈R，ω∈Ω， 取任意序列{τk}≤τ， {tk}→+∞(k→+∞)， 及任意的v0∈K(τk-tk，θ-tkω)． 定義vk=Φ(tk，τk-tk，θ-tkω，v0)=v(τk，τk-tk，θ-τkω，v0)， 下證{vk：k∈N}在l2中是預緊的．

(39)

下面只需證明該弱收斂實際上是強收斂， 即只需證明：

對任意ε>0， 存在T>0和K≥1， 使得當k>K時， 有

(40)

注意到

(41)

一方面， 由引理3可知， 對任意ε>0， 存在T1>0，N1，K1≥1， 使得當k>K1時， 有

(42)

(43)

由(42)-(44)式可知， 令

即證得協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0在吸收集K上是后向漸近緊的．

4 后向緊隨機吸引子

定理1若假設(F1)，(F2)成立， 則方程(1)生成的動力系統(tǒng)存在后向緊隨機吸引子．

證引理2和引理4的結(jié)論滿足了文獻[11]的定理3.9中拉回吸引子的存在性條件， 因此方程(8)生成的非自治隨機動力系統(tǒng)Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回吸引子A∈D， 和唯一的可測D0-拉回吸引子A0∈D0． 再由文獻[9]的定理6.1知A=A0， 故吸引子A也是隨機的， 即Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回隨機吸引子A∈D． 再由文獻[12-13]知方程(1)與方程(8)生成的隨機動力系統(tǒng)共軛， 進而可知方程(1)存在后向緊隨機吸引子．