隨機(jī)波動(dòng)格點(diǎn)方程的后向緊隨機(jī)吸引子①

張子怡， 李揚(yáng)榮

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715

文獻(xiàn)[1-7]研究了吸引子的存在性以及吸引子的后向緊性并建立了相對(duì)完善的理論體系． 文獻(xiàn)[8-10]研究了二階格點(diǎn)方程的吸引子的存在性． 文獻(xiàn)[11]以及文獻(xiàn)[12]研究了帶有非線性噪音的弱吸引子的存在性． 本文將在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上， 研究帶有乘法噪音的非自治隨機(jī)波動(dòng)格點(diǎn)方程的后向緊吸引子的存在性．

1 非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的生成

(1)

(A1)

hi(0)=0，α1≤h′i(s)≤α2

fi(s)s≥η1Fi(s)≥η2|s|2p+2

(2)

|fi(s)|≤η3(|s|2p+1+|s|)

(3)

(4)

(5)

(Bu)i=ui+1-ui， (B*u)i=ui-1-ui， (Au)i=-ui+1+2ui-ui-1， ?u∈2

則有

(B*u，v)=(u，Bv)， (Au，v)=(Bu，Bv)， (Au，u)=(Bu，Bu)=‖Bu‖2≤4‖u‖2， ?u∈2

(6)

(7)

(8)

則方程(1)可轉(zhuǎn)化為一階隨機(jī)微分方程

(9)

Φ(t，τ，ω，φ0)=φ(t+τ，τ，θ-τω，φ0)

可以驗(yàn)證Φ是一個(gè)非自治的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)， 即滿足：

Φ(0，τ，ω， ·)=id，Φ(t+s，τ，ω， ·)=Φ(t，τ+s，θsω， ·)°Φ(s，τ，ω， ·)

在下文中， 設(shè)D是X中所有后向緩增集構(gòu)成的集族． 集合D∈D當(dāng)且僅當(dāng)

(10)

2 解的估計(jì)

引理1若假設(shè)(A1)，(A2)，(A3)成立， 則對(duì)任意后向緩增集D∈D， 任意的τ∈R，ω∈Ω， 存在T=T(D，τ，ω)≥1， 使得當(dāng)φs-t∈D(s-t，θ-tω)時(shí)， 有

(11)

其中

證方程(9)可以等價(jià)地寫為

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

又令

將(17)-(19)式代入(16)式可得

(20)

對(duì)(20)式利用Gronwall不等式， 計(jì)算可得

(21)

由(2)，(3)式易證f(0)=0， ‖f(u)‖≤maxs∈[-‖u‖， ‖u‖]|f′(s)|‖u‖， 則有

(22)

(23)

對(duì)(21)式關(guān)于s∈(-∞，τ]取上確界， 結(jié)合(10)式可知， 存在T(D，s，ω)≥1使得當(dāng)t≥T時(shí)， 有

(24)

因此(11)式得證， 即

(25)

推論1若假設(shè)(A1)，(A2)，(A3)成立， 由引理1， 方程(9)生成的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)滿足文獻(xiàn)[3]， [13]中拉回后向一致吸收集存在的條件， 即協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D， 其中

(26)

引理2若假設(shè)(A1)，(A2)，(A3)成立， 則對(duì)?ε>0， (τ，ω， D)∈(R×Ω×D)，φs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω， D)>0，k(ε，τ，ω， D)≥1， 使得

(27)

(28)

易證

則有

其中C1，C2為常數(shù)， 將(29)-(31)式代入(28)式可知，

(32)

對(duì)(32)式運(yùn)用Gronwall引理可得

(33)

由于φs-t∈D(s-t，θ-tω)(s≤τ)， 結(jié)合(10)式可得

(34)

(35)

(36)

(37)

因此， 結(jié)合(23)式和(34)-(37)式可得， 對(duì)任意的ε>0， (τ，ω， D)∈(R×Ω×D)，φs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω， D)>0，k(ε，τ，ω， D)≥1， 使得

引理3若假設(shè)(A1)，(A2)，(A3)成立， 則協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向漸近緊的．

(38)

由引理1，φk在E中有界， 從而{(φk，i)|i|≤Nε}k在R2Nε+1中有界， 故{(φk，i)|i|≤Nε}k在R2Nε+1中有一個(gè)有限的ε-網(wǎng)， 結(jié)合(38)式可知{φk}在E中有一個(gè)有限的2ε-網(wǎng)， 從而{φk}在E中是預(yù)緊的， 即證得協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0在吸收集K上是后向漸近緊的．

3 后向緊隨機(jī)吸引子

定義1一個(gè)非自治的隨機(jī)緊集A∈D稱為關(guān)于非自治協(xié)循環(huán)Φ的D-隨機(jī)吸引子， 若

(i) A是不變的， 即Φ(t，τ，ω)A(τ，ω)=A(t+τ，θtω)，t>0；

(ii) A在hausdorff半距離意義下是吸收的， 即對(duì)任意D∈D，

定義2集合A={A(τ，ω)}稱為后向緊的當(dāng)A是緊的且∪s≤τA(s，ω)(τ∈R，ω∈Ω)是預(yù)緊的．

定理1若假設(shè)(A1)，(A2)，(A3)成立， 則方程(1)生成的動(dòng)力系統(tǒng)存在后向緊隨機(jī)吸引子．

證由文獻(xiàn)[13](定理3.9)可知方程(9)生成的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回吸引子A∈D和唯一的可測(cè)D0-拉回吸引子A0∈D0． 再由文獻(xiàn)[13](定理6.1)知A=A0， 故吸引子A也是隨機(jī)的， 即Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回隨機(jī)吸引子A∈D． 由文獻(xiàn)[6， 15]可知方程(1)與方程(9)生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)共軛， 從而方程(1)存在后向緊隨機(jī)吸引子．