孫慶括 潘騰

【摘要】本文對近十年全國高考數(shù)論試題特點(diǎn)、典型試題及命題思路進(jìn)行分析，以期為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)提供啟示與參考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)論;高考數(shù)學(xué);啟示

數(shù)論屬于高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容，在高考數(shù)學(xué)命題的范圍內(nèi).數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，其知識內(nèi)容的抽象性、研究方法的算術(shù)性及數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的邏輯性和靈活性是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的良好載體[1]，備受高考數(shù)學(xué)命題者的青睞.另外，2019年頒布的《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中明確指出，高考命題不再分文理科，取消考試大綱，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》為依據(jù).因此，開展高考數(shù)論試題研究，不僅為命題者根據(jù)課標(biāo)核心素養(yǎng)要求命制更加科學(xué)的試題提供參考，也為廣大高中教師使用數(shù)論選修教材進(jìn)行教學(xué)提供啟示.

一、試題特征分析

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，近十年全國高考數(shù)學(xué)試題幾乎每年均有數(shù)論知識出現(xiàn)，平均每年2～3題，全國卷和地方卷均有涉及，理科卷與文科卷相比，理科卷出現(xiàn)題數(shù)較多，占比在64%左右.

從題型上看，選擇題、填空題和解答題均有出現(xiàn)，其中選擇題出現(xiàn)最多，占比達(dá)50%;解答題次之，占36%左右.另外，文科試卷多以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，理科試卷三種題型均有涉及，并以解答題的形式出現(xiàn)次數(shù)較多.從難度上看，總體來說試題難度中等偏上，文科試卷相對較易，理科試卷較難，部分試題甚至以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度較大.從考查的知識點(diǎn)上看，涉及集合、函數(shù)、數(shù)列、概率、排列組合、算法程序框圖、平面幾何等，其中50%的數(shù)論試題集中在數(shù)列領(lǐng)域，這可能與數(shù)論本身性質(zhì)有關(guān).從內(nèi)容分布上看，取整函數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)、約數(shù)和倍數(shù)、不定方程和同余問題均有涉及，其中取整函數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)問題出現(xiàn)的頻率較高，特別是取整函數(shù)，很多省份的試題均有所涉及.值得說明的是，仿照“楊輝三角形”構(gòu)造新數(shù)表或數(shù)陣考查數(shù)列通項(xiàng)公式成為近年來新的數(shù)論問題命題熱點(diǎn)，如2017年全國Ⅰ卷理科第12題.還有部分?jǐn)?shù)論試題與數(shù)學(xué)文化背景相結(jié)合，如2018年全國Ⅱ卷理科第8題哥德巴赫猜想素?cái)?shù)問題、2018年浙江卷第11題“百雞問題”中的不定方程問題、2016年全國Ⅱ卷文科第9題用秦九韶算法求最大公約數(shù)問題、2013年和2012年湖北卷中的“多邊形數(shù)”和“回文數(shù)”問題.

二、試題賞析與評析

1.特殊整數(shù)

（1）素?cái)?shù)

真題1? （2018年·全國Ⅱ卷·理8）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）.

A.112 B.114 C.115 D.118

評析 此題將我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤的輝煌成就和哥德巴赫猜想作為背景材料，結(jié)合概率內(nèi)容考查學(xué)生能力，難度不大，但無疑會引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的關(guān)注，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.不超過30的素?cái)?shù)有10個(gè)，兩素?cái)?shù)之和為30的素?cái)?shù)有7，23;11，19;13，17.共3對，故有3C210=115.故答案為C.

（2）回文數(shù)

真題2 （2012年·湖北卷·理13）回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.則：

（Ⅰ）4位回文數(shù)有個(gè);

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數(shù)有個(gè).

評析 “回文”是古今中外文學(xué)作品中都有的一種特殊修辭方式，是正讀反讀都能讀通的句子，有回文詩、回文聯(lián)等，如“靈山大佛，佛大山靈”.以“回文數(shù)”命制試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱之美[2].此題利用“回文數(shù)”的概念考查學(xué)生的排列組合知識和數(shù)學(xué)理解能力，較為新穎.2位“回文數(shù)”形如aa，共有9個(gè)[3]：11，22，…，99;3位回文數(shù)形如aba，共有C110C19=90個(gè);2k位回文數(shù)形如a1a2…akak…a2a1，共有9×10k-1個(gè)，2k+1位回文數(shù)形如a1a2…akbak…a2a1，共有9×10k個(gè).故4位回文數(shù)有9×10個(gè)，2n+1位回文數(shù)有9×10n個(gè).

（3）多邊形數(shù)

真題3 （2013年·湖北卷·理14）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為n（n+1）2=12n2+12n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N（n，3）=12n2+12n;正方形數(shù)N（n，4）=n2;五邊形數(shù)N（n，5）=32n2-12n;六邊形數(shù)N（n，6）=2n2-n……可以推測N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）=.

評析 多邊形數(shù)最早源自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，強(qiáng)烈反映了該學(xué)派將數(shù)作為幾何思維元素的精神.把多邊形數(shù)融入高考試題，不僅能考查學(xué)生分析和解決問題的能力，更有較強(qiáng)的傳播數(shù)學(xué)文化導(dǎo)向[4].推理可得N（n，k）=k-22n2+4-k2n，代入可得N（10，24）=1000.

（4）奇數(shù)和偶數(shù)

評析 本題屬于探索型問題，分為探索存在型和探索不存在型兩種類型，其中數(shù)列中的很多題型為不存在類型，多涉及數(shù)論中的整數(shù)奇偶性問題，利用等式兩邊奇數(shù)和偶數(shù)的矛盾來解題.需要特別說明的是，此題屬于形如2bk=ak+ck（k∈Z）的指數(shù)型模型，解題過程中一定要注意兩邊同時(shí)除以或乘qk，否則解題就無法進(jìn)行.

（5）倍數(shù)和約數(shù)

2.取整函數(shù)

評析 此題把取整函數(shù)與組合公式、數(shù)列知識交匯起來考查，設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思精巧.解題的關(guān)鍵是正確理解[x]的含義，考查學(xué)生對新知識的接受、理解和應(yīng)用能力.當(dāng)x∈32，2時(shí)，[x]=1， 則Cx8=8x∈4，163;當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2， 則Cx8=56x（x-1）∈283，28.故答案為D.

真題7 （2015年·湖北卷·理10）設(shè)x∈R，[x]表示不大于x的最大整數(shù).若存在實(shí)數(shù)t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是（ ）.

A.3B.4C.5D.6

評析 本題考查逆向思維，根據(jù)[t]的值反推t的取值范圍即可，如[t]=1，則t∈[1，2）;[t2]=2，t2∈[2，3），依次類推可得n的最大值為4.故答案為B.

真題8 （2016年·全國Ⅱ卷·理17）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=7，S7=28.記bn=[lg an]，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg 99]=1.（Ⅰ）求b1，b11，b101;（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和.

評析 此題把等差數(shù)列與取整函數(shù)結(jié)合起來考查，屬于綜合題，但難度不大，需要正確理解[x]的含義.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意有7+21d=28，可得d=1，故an=n.已知b1=[lg 1]=0，b11=[lg 11]=1，b101=[lg 101]=2，進(jìn)而可求得{bn}的前1000項(xiàng)和為1×90+2×900+3×1=1893.

3.不定方程

不定方程是初等數(shù)論的重要內(nèi)容，我國古代對不定方程的研究成果頗豐.2018年浙江卷第11題就以《張邱建算經(jīng)》中的“百錢買百雞”問題命制相關(guān)試題.多元一次不定方程可用觀察法和輾轉(zhuǎn)相除法求解，其他高次不定方程的求解方法有無窮遞降法、余數(shù)分析法、因式分解法、約數(shù)分析法、奇偶分析法、判別式法等，不少不定方程求解難度較大，要綜合使用多種方法.

真題9 （2007年·湖北卷·理21）已知m，n為正整數(shù).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，1+xm≥1+mx;（Ⅱ）對于n≥6，已知1-1n+3n<12，求證：1-mn+3n<12m，m=1，2，…，n;（Ⅲ）求出滿足等式3n+4n+…+n+2n=n+3n的所有正整數(shù)n.

評析 第（Ⅲ）問就是一個(gè)不定方程求解問題.假設(shè)方程存在正整數(shù)解n0≥6，則3n0+4n0+…+n0+2n0=n0+3n0成立，即有3n0+3n0+4n0+3n0+…+n0+2n0+3n0=1，結(jié)合（Ⅱ）中結(jié)論知，當(dāng)n≥6時(shí)，不定方程無解.經(jīng)過驗(yàn)證不定方程的解只有n=2或3.該不定方程是埃斯柯特問題的一個(gè)特例，我國數(shù)學(xué)家柯召等人研究了更為一般的不定方程：xn+x+1n+…+x+hn=x+h+1n，并取得了重要研究成果，詳見其著作《初等數(shù)論100例》.

4.同余問題

（1）剩余類

設(shè)m∈N，把全體整數(shù)按其對模m的余數(shù)r（0≤r≤m-1）歸為一類，記為Kr.每一類Kr（r=0，1，2，…，m-1）均稱為模m的剩余類.同一類中任一整數(shù)稱為該類中另一數(shù)的剩余.Kr中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)集合就是模m的一個(gè)完全剩余系.如m=6，{0，1，2，3，4，5}就是模6的一個(gè)完全剩余系.{1，5}是模6的一個(gè)簡化剩余系.

真題10 （2011年·福建卷·文12）在正整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]=5n+kn∈Z，k=0，1，2，3，4.給出如下四個(gè)結(jié)論：①2011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整數(shù)a，b屬于同一‘類”的充要條件是“a-b∈[0]”.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.1B.2C.3D.4

評析 此題屬于創(chuàng)新題，源于選修3同余章節(jié)，主要考查對“類”的理解，難度不大.由2011除以5余1知①對;由-3=5×（-1）+2知-3[3]，故②錯(cuò);整數(shù)集中的數(shù)被5除只能分為5類，故③對;若整數(shù)a，b屬于同一‘類，故a-b除以5的余數(shù)為0，反之亦然，故④對.故答案為C.

（2）同余性質(zhì)

如果兩個(gè)整數(shù)a，b被正整數(shù)m除得的余數(shù)相同，則稱a，b關(guān)于m同余，其中m稱為模，也可以說a，b對模m同余，記作a≡b（mod m）.基本性質(zhì)有：①若a≡b（mod m），b≡c（mod m），則a≡c（mod m）;②若a≡b（mod m），c≡d（mod m），則a+c≡b+d（mod m）;③若a≡b（mod m），c≡d（mod m），則ac≡bd（mod m）.

三、啟 示

總體看來，數(shù)論知識成為高考試題的考查點(diǎn)，已是命題的新常態(tài)，與數(shù)列、函數(shù)、排列組合、算法、不等式等內(nèi)容結(jié)合較多，特別是其與數(shù)列結(jié)合的題目構(gòu)思精巧，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度和深度，能夠有效考查高中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新精神[5].因此，教師在日常教學(xué)中要有意識地把數(shù)論知識融入課堂，把選修數(shù)論教材與必修教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合，多向?qū)W生介紹我國古代和現(xiàn)代數(shù)論研究取得的輝煌成就，這樣不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以培養(yǎng)其文化自信.一方面，教師要積極用好教材，開設(shè)部分專題進(jìn)行教學(xué)，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)論思維解題的意識.否則學(xué)生對數(shù)論知識不熟悉，基礎(chǔ)知識不牢，很難在短時(shí)間內(nèi)對綜合度較高的數(shù)論試題進(jìn)行解答.另一方面，教師要在平時(shí)的教學(xué)中有意識地進(jìn)行數(shù)論知識鏈接教學(xué).如對于數(shù)列的教學(xué)，教師就可以把與數(shù)論有關(guān)的整數(shù)的整除性和奇偶性、不定方程、取整函數(shù)、同余等知識串聯(lián)起來向?qū)W生介紹和講解，從而拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解等綜合素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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