白雅迪, 孫 欣

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110034)

廣義系統(tǒng)又被稱(chēng)作奇異系統(tǒng)、隱式系統(tǒng)或者微分代數(shù)系統(tǒng)[1].跟正常系統(tǒng)相比較,廣義系統(tǒng)的形式更為廣泛.廣義系統(tǒng)常常出現(xiàn)在工程領(lǐng)域,例如電路建模與控制、電力系統(tǒng)、機(jī)器人系統(tǒng)和航空航天系統(tǒng)等[1].由于廣義系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用前景和深遠(yuǎn)的實(shí)際意義,引起了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注[2].時(shí)滯系統(tǒng)被定義為一處或者多處信號(hào)傳遞過(guò)程中出現(xiàn)時(shí)間延遲的動(dòng)力系統(tǒng).時(shí)滯的存在會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)擾動(dòng),降低系統(tǒng)的性能,還有可能影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.時(shí)滯幾乎存在于所有的控制系統(tǒng)中,在測(cè)量元件的過(guò)程中以及執(zhí)行元件和控制元件時(shí)都會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯.

在得到廣義時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件之前,要保證廣義時(shí)滯系統(tǒng)是正則的和無(wú)脈沖的,才能得到廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性條件.廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性研究一般采用Lyapunov-Krasovskii泛函方法.利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法得到廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性條件大多是充分條件,所以會(huì)帶來(lái)不同程度的保守性.因此有效地降低系統(tǒng)的保守性成為近年來(lái)研究廣義時(shí)滯系統(tǒng)十分重要的課題.而廣義時(shí)滯系統(tǒng)容許性條件的保守性與Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)造和泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的估計(jì)有關(guān).如何通過(guò)構(gòu)造合適Lyapunov-Krasovskii泛函來(lái)減少容許性條件的保守性成為重要問(wèn)題.針對(duì)廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性條件,Liu[3]提出了松弛型Lyapunov-Krasovskii泛函,放寬了矩陣變量正定性的限制;Zhi等[4]構(gòu)造泛函時(shí),擴(kuò)充了狀態(tài)向量的維數(shù),得到增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函;Kang等[5]在線性廣義時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的泛函中引入三重積分項(xiàng),加入了更多的時(shí)滯信息.

廣義時(shí)滯系統(tǒng)容許性條件的保守性也與Lyapunov-Krasovskii泛函求導(dǎo)后產(chǎn)生的積分項(xiàng)的估計(jì)有關(guān).積分項(xiàng)估計(jì)常用的方法有模型變換法、Park不等式、Moon不等式、自由矩陣法和積分不等式法等.龔冠樺[6]應(yīng)用Park雙重積分不等式方法進(jìn)行處理,得到了新的廣義時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件.Zhi等[4]提出二重積分自由矩陣不等式,并將其應(yīng)用于廣義時(shí)滯系統(tǒng).Hien等[7]針對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯和分布時(shí)滯廣義系統(tǒng),應(yīng)用Jensen不等式得到了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性條件.Seuret等[8]基于傅里葉理論提出了Wirtinger-based 積分不等式.對(duì)于Jensen不等式和Wirtinger-based 積分不等式,Zhang等[9]證明了使用無(wú)增廣項(xiàng)的Lyapunov-Krasovskii泛函時(shí),用Jensen不等式和Wirtinger-based 積分不等式得到的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件是等價(jià)的,說(shuō)明了構(gòu)造合適增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函的重要性.Seuret等[10]提出了邊界估值更為精確的Bessel-Legendre不等式,并且利用所提出的不等式得到時(shí)滯系統(tǒng)保守性更小的穩(wěn)定性條件.由此啟發(fā),可以把Bessel-Legendre不等式推廣到廣義時(shí)滯系統(tǒng),得到保守性更小的容許性條件.

本文針對(duì)具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng),構(gòu)造一種新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函,并在增廣后的Lyapunov-Krasovskii泛函中加入了三重積分項(xiàng).Lyapunov-Krasovskii泛函求導(dǎo)后產(chǎn)生的積分項(xiàng)使用保守性更小的Bessel-Legendre不等式進(jìn)行放縮.得到的容許性條件以線性矩陣不等式的形式給出.數(shù)值算例說(shuō)明了方法的優(yōu)越性.

標(biāo)記說(shuō)明

1 問(wèn)題描述

考慮具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng)

(1)

式中,x(t)∈n是系統(tǒng)狀態(tài)向量;系統(tǒng)矩陣E∈n×n,且rank(E)=r≤n;A,Ad,AD∈n×n是已知的常數(shù)矩陣;常數(shù)時(shí)滯h滿(mǎn)足約束條件h>0;φ(t)是連續(xù)可容的向量值初始函數(shù).

定義1[11]

如果det(sE-A)≠0,那么稱(chēng)矩陣對(duì)(E,A)是正則的;如果degdet(sE-A)=rank(E),那么稱(chēng)矩陣對(duì)(E,A)是無(wú)脈沖的;如果det(sE-A)=0的根全部具有負(fù)實(shí)部,那么稱(chēng)矩陣對(duì)(E,A)是穩(wěn)定的;如果矩陣對(duì)(E,A)是正則、無(wú)脈沖的、穩(wěn)定的,那么稱(chēng)矩陣對(duì)(E,A)為容許的.

定義2[7]

引理[10](Bessel-Legendre不等式) 對(duì)于矩陣R∈n×n,R>0,參數(shù)b>a,可微向量函數(shù)x:[a,b]→n,則以下不等式成立:

(2)

式中,

(3)

式中,

2 主要結(jié)果

定理考慮混合時(shí)滯廣義系統(tǒng)(1),對(duì)于標(biāo)量常數(shù)h>0,若存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣

式中

則具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng)(1)是容許的(*表示對(duì)應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣).

證明 第一步證明具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng)(1)是正則、無(wú)脈沖的.

式(4)可以等價(jià)寫(xiě)成

(5)

式中,

#表示和接下來(lái)的討論過(guò)程無(wú)關(guān)的內(nèi)容.

因?yàn)镹,R,M是正定矩陣,所以它們的主子式大于零,即

N11>0,R11>0,R22>0.

并根據(jù)式(5)得到

因?yàn)閞ank(E)=r

(7)

令

式中,L1∈(n-r)×(n-r)是非奇異矩陣.

式(8)的分塊方式都與式(7)的分塊方式一致.

式(6)分別左乘和右乘HT、H,得到

(10)

式中,

容易得到

Δ<0.

(11)

(12)

顯而易見(jiàn)A22是非奇異的.假設(shè)A22是奇異的,那么一定存在一個(gè)非零向量φ∈n-r,使得A22φ=0.然后由合同變換得到

(13)

(14)

令

又

令

(19)

式中,

由式(14)和式(18) 可以知道,具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng)(1)可以寫(xiě)成

(20)

即

(21)

不難看出系統(tǒng)(20)和系統(tǒng)(1)得到的穩(wěn)定性條件是等價(jià)的.所以系統(tǒng)(20)如果是穩(wěn)定的,那么系統(tǒng)(1)也將是穩(wěn)定的.接下來(lái)證明系統(tǒng)(20)是穩(wěn)定的.

構(gòu)造增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函為

(22)

式中,

定義

應(yīng)用引理,可以得到

由式(27)和式(28)得

整理得

(31)

式中,

(33)

所以

(34)

根據(jù)李雅普諾夫第二方法,得到系統(tǒng)(20)是穩(wěn)定的,所以系統(tǒng)(1)也是穩(wěn)定的.因?yàn)橄到y(tǒng)(1)是正則的、無(wú)脈沖的和穩(wěn)定的,所以具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng)(1)是容許的.證畢.

(35)

推論考慮混合時(shí)滯系統(tǒng)(35).對(duì)于標(biāo)量常數(shù)h>0,若存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P>0,P∈4n×4n,N>0,N∈3n×3n,M>0,M∈n×n,R>0,R∈3n×3n.滿(mǎn)足線性矩陣不等式

式中,

則混合時(shí)滯系統(tǒng)(35)是穩(wěn)定的.

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng):

式中,

表1 比較最大允許時(shí)滯上界Table 1 Comparisons of the maximum allowable upper bounds of delay

表1中比較了文獻(xiàn)[6,13-14]和定理算出的系統(tǒng)最大允許時(shí)滯hM.例1的數(shù)值算例來(lái)自文獻(xiàn)[6],并且使用MATLAB的LMI工具箱進(jìn)行求解.

從表1可以很直觀地看出,定理獲得了比文獻(xiàn)[6,13-14]更大的具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng)允許時(shí)滯上界,說(shuō)明定理具有較小的保守性.

例2 考慮如下具有混合時(shí)滯系統(tǒng)

式中,

通過(guò)MATLAB的LMI工具箱求解,得到系統(tǒng)最大允許時(shí)滯hM=2.040 4,說(shuō)明了所提出方法的有效性.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng),從2個(gè)方面來(lái)減小系統(tǒng)容許性條件的保守性:一方面將二次項(xiàng)、一重積分項(xiàng)和二重積分項(xiàng)的狀態(tài)向量增維,構(gòu)造了新型的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函;另一方面使用保守性更小的一重二階Bessel-Legendre不等式和二重二階Bessel-Legendre不等式,對(duì)Lyapunov-Krasovskii泛函求導(dǎo)后的積分項(xiàng)進(jìn)行放縮,最后得到了具有混合時(shí)滯的廣義系統(tǒng)保守性較小的容許性條件.將結(jié)論推廣到具有混合時(shí)滯系統(tǒng)中,得到了具有混合時(shí)滯系統(tǒng)的一個(gè)新的穩(wěn)定性條件,所用方法的可行性和優(yōu)越性在數(shù)值算例中得以體現(xiàn).所用方法還可以應(yīng)用于連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng)和定常時(shí)滯系統(tǒng),能得到保守性更小的穩(wěn)定性條件.