對稱分布的矩刻畫

廖俊俊， 劉繼成， 吳 娟

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 武漢430074)

1 引 言

定義設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若存在某點(diǎn)c，使得對任意的x有f(c+x)=f(c-x)， 則稱X的分布關(guān)于c對稱.

證記E(X)=μ，D(X)=σ2.

必要性 由β=0， 有

μ3=E[X-E(X)]3=Cov(X，X2)-2E(X)D(X)=0，

即

E(X3)-μ3-3μσ2=0，

μ3=E[X-E(X)]3=E(X3)-μ3-3μσ2=0，β=0.

例1說明對稱分布的偏度(若存在)是0. 然而，隨機(jī)變量的偏度只能度量分布的偏斜方向和程度，描述概率密度在左右尾部的相對拉長趨勢. 偏度為0，并不足以推出概率分布是對稱的. 下面的兩個例子說明存在偏度為0的非對稱分布.

例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

X的偏度β為0，且X的分布非對稱.

證易知E(X)=E(X3)=0，所以X的偏度是0. 由f(-x)≠f(x)知X的分布非對稱.

通過隨機(jī)抽樣方法得到樣本的偏度為0，而總體的分布可能是對稱的，也可能是非對稱的.

例3設(shè)總體X服從混合高斯分布，概率密度函數(shù)為

f(x)=ωf1(x)+(1-ω)f2(x)，

(ii) 令ω=0.9，μ1=-μ2=-3，σ1=20，σ2=0.1，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)10000個，計算得到樣本的偏度接近于0，由圖1右圖可以看到，X的分布是非對稱的. 因此，僅憑偏度并不能判定概率分布是否對稱.

ω=0.9，μ1=-μ2=-3， σ1=20，σ2=0.1圖1 混合高斯分布的樣本

既然偏度不足以保證分布的對稱性，那么給出一個分布關(guān)于0對稱的判別是必要的. 本文嘗試基于傅里葉變換的思想，從矩的角度討論對稱分布的充要條件.

2 主要結(jié)論

顯然，隨機(jī)變量X的分布關(guān)于c對稱等價于X-c的分布關(guān)于0對稱. 因此，只需討論概率密度f(x)關(guān)于0對稱的情形，即f(x)是偶函數(shù). 李賢平[1]證明了隨機(jī)變量的分布關(guān)于0對稱的充要條件是特征函數(shù)是實的偶函數(shù). 下面定理從隨機(jī)變量原點(diǎn)矩的角度給出X的分布關(guān)于0對稱的充要條件.

定理設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f(x)在上連續(xù)，對任意正整數(shù)k，積分x2k+1f(x)dx絕對收斂，且f(x)在[-a，a]之外取零，則X的分布關(guān)于0對稱的充要條件是

證必要性顯然成立. 下證充分性.

由題設(shè)，?M>0，使得|f(x)|≤M，?x∈(-∞，+∞)，且f∈L1(-∞，+∞). 知道

易知有估計

若不要求f(x)有界，則上述定理是X的分布關(guān)于0對稱的充分條件. Shiryaev[3]給出隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)能展成冪級數(shù)的必要條件是：若對任意的n≥1，有E|X|n<∞，且

則

但是結(jié)論中t的取值范圍是有限區(qū)間.

例2(續(xù))雖然X的偏度是0. 但是，E(X5)=64/14553≠0. 由定理，從矩的角度可以判定X的分布是非對稱的.

3 結(jié) 論

一般情形下，隨機(jī)變量的矩不能完全確定概率分布. 特別地，偏度為0不能得到對稱分布. 本文從隨機(jī)變量矩的角度，給出了分布對稱的充分必要條件.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.