周 浩，周建勤

(北京交通大學 經濟管理學院，北京 100044)

大型交通線路工程的建設過程中，為更好地解決工程的物資配送問題，需對提供物料供應服務的物流節(jié)點進行選址，而所需物料沿著建設線路連續(xù)分布，形成與傳統(tǒng)的需求離散選址問題不同的線狀需求物流節(jié)點選址問題。現實中，物流服務設施存在一定的故障概率而中斷服務的情況，即設施是不完全可靠的。同時考慮到混凝土類時間敏感型物料作為交通線路建設工程的重要材料，使用量大且對運輸時間有一定約束[1]，因此在設施不完全可靠的情況下，對服務時間敏感型物料的物流節(jié)點進行選址決策更值得本文探討。

設施選址問題中，針對需求呈空間連續(xù)分布的情形，Domschke等[2]率先將空間連續(xù)需求的選址作為單獨的一類設施選址問題。Love[3]假定區(qū)域內需求均勻分布，構建基于二重積分的選址模型。周建勤[4]提出利用線積分表示物料需求，構建線狀需求物流節(jié)點選址模型。陳明[5]將一種考慮空間內需求連續(xù)分布的集合覆蓋模型運用到銀行的選址中。計明軍等[6]針對長江航道的危險品應急中心進行選址研究，將點狀需求的設施選址延伸到線狀需求的設施選址領域。但論文最終止步于將整條線路進行分段使線狀需求離散化，并沒有深入探討刻畫線狀需求的方法。

傳統(tǒng)設施選址問題一般假設設施是完全可靠的，但在自然災害、事故災害、恐怖襲擊等其他不可抗力因素下，設施存在故障或損毀的風險。此時，需求就需要距離更遠的正常設施來滿足，最終總運輸成本增加，嚴重影響整個系統(tǒng)的服務效率和響應能力，最初的選址決策不再適用。Drezner[7]最先研究考慮設施可靠性的選址問題，通過給定一個或多個設施故障的概率拓展了經典p-中值問題。Snyder等[8]研究考慮可靠性的設施選址問題，假設設施中斷以相同的概率獨立發(fā)生，將問題建模為混合整數規(guī)劃模型，并用拉格朗日松弛法解決。Cui等[9]進一步研究設施故障概率與設施位置相關時的選址決策問題，使模型更加貼近現實情境。Ouyang等[10]、Li等[11-12]將這類選址模型應用于鐵路網絡缺陷檢測系統(tǒng)的部署，提高了給定預算下的總檢查效益。Berman等[13]研究客戶需求在整個線路上連續(xù)均勻分布，設施不完全可靠，且設施間故障概率具有相關性的選址問題，但該問題僅考慮運輸成本。本文在此基礎上進一步考慮了時間懲罰成本對選址結果的影響。

在選址問題中，針對時間因素的處理，一般有2種方法，分別是將時間作為約束和將時間轉化為成本。李延暉等[14]對配送系統(tǒng)中的具有時間約束的單源、p個中轉點進行選址研究。Berman等[15]將提供可靠服務的概率設置為客戶到設施所需的時間遞減函數，解決了在網絡上定位多設施，以最大化所有需求點期望服務可靠性的問題。郭毓婷[16]和蘇兵等[17]根據時間敏感型產品在運輸過程中產品質量呈連續(xù)可變的情況，結合配送時間要求，研究以總費用最小為目標的選址問題，但都未考慮設施的可靠性因素對選址結果的影響。

綜上所述，已有文獻多是針對設施可靠性、需求連續(xù)線狀和時間約束三者中一種或兩種影響因素建立選址的優(yōu)化模型。本文綜合考慮以上3種影響因素，以沿線路連續(xù)分布的時間敏感型物料混凝土為需求研究對象，建立總成本最小的可靠性設施選址模型，并證明目標函數在給定區(qū)間內為凸函數，利用二次插值和黃金分割相結合的算法求解得到模型的最優(yōu)解，最后分析設施可靠性以及可靠性間的相關性對選址結果的影響，為復雜情景下的設施選址決策提供較好的參考價值。

1 問題描述和模型假設

1.1 問題描述

本文研究的是鐵路線上存在故障概率的混凝土拌和站選址問題。在一段大型線路工程的建設過程中，混凝土物料需求沿建設線路連續(xù)分布。而整段線路的需求由位于線路上的2個混凝土拌和站滿足，拌和站按照就近原則將混凝土沿線運輸至施工區(qū)域?？紤]自然災害或人為因素影響，拌和站存在一定的故障概率，當拌和站故障時便喪失所有運力，完全不能提供服務。由于考慮2個設施服務的情形，針對設施的2種運營狀態(tài)，所以本文共需研究4種問題情形。針對混凝土這類建設物資，除了降低系統(tǒng)的運輸成本之外，還要盡量降低物料的運輸時間，保證運輸至施工區(qū)域的混凝土質量。

1.2 模型假設

本文研究一條單位長度的需求線路。假設混凝土需求在線上連續(xù)分布，線路上任意點 x的需求密度為 ρ (x) ， x ∈[0,1]。不失一般性假設該線路上需求均勻分布，即ρ (x)=1。2個完全相同混凝土拌和站位于該線路上，為整段線路運輸混凝土，考慮拌和站產能足夠大忽略其產能限制，整段線路需求都在拌和站的運輸能力范圍內，且假設單位運輸費率為1。用 Xi表 示拌和站在該線段上的位置坐標；i =1,2；X1、 X2∈[0,1]。不失一般性，假設拌和站1位于拌和站2的左邊，即0 ≤X1≤X2≤1。

拌和站運營過程中可能會出現故障，本文假設2個拌和站故障的概率都為p ， p ∈(0,1)， 用 p表示拌和站的可靠性，即故障概率 p越大，則拌和站越不可靠。為了簡便，下文將2個混凝土拌和站簡稱為2個設施，參考文獻[13]得設施故障的聯合概率分布如表1所示。

造成設施故障的自然災害等涉及空間范圍較大，而2個設施位于同一條建設線路上，考慮設施的覆蓋范圍，與自然災害涉及的范圍相比，其空間距離相距并不遠。因此，兩設施因自然災害而故障的概率在空間上呈現一定的正向關性，且兩設施的具體選址對其故障概率間相關性影響可忽略不計。同理，其他影響因素導致設施故障概率間相關性為負或者為零的情況類似。綜上，為研究方便，本文假設故障概率的相關性與選址的實際位置無關。用r表示2個拌和站故障的相關系數，易得[13]

表1 兩設施故障的聯合概率分布Table 1 Joint failure probability distribution

由2個拌和站故障的邊際概率相同的假設可知p2=p4，則用相關系數 r 和故障概率 p表示2個拌和站可能存在狀態(tài)的概率為

根據文獻[18]知，當 (r,p)滿足一定相容性，該故障概率的聯合分布才有效。則2個拌和站故障的相關系數滿足

當設施派出運輸車運輸混凝土時，必須要考慮混凝土此類時間敏感型物料的運輸時間。為了研究方便，本文假設設施的運輸車運行平均速度為，則混凝土的運輸時間 T 可由運輸距離 d來表示，即。本文假設混凝土質量在其可用時間范圍內，性能隨時間單調遞減。

2 模型構建

2.1 距離、需求及運輸成本函數

對于位于線上的任意點x ， x ∈[0,1]，其到設施Xi(i ∈{1,2} ) 的距離為直線距離 | Xi?x|。由于服務設施存在一定的故障概率，假設2個設施間為完全信息狀態(tài)，彼此知道各自位置和運營狀態(tài)。由文獻[19]可知，在本文研究中，為滿足2個設施總期望運輸距離最短，2個設施負責服務范圍的分界點為兩設施位置中點。如果兩設施都正常運營，則線路上的需求直接由離其最近的設施服務，用 X(x)表示離需求線路上點v 最近的設施，則 X (x)滿足

如果只有1個設施故障，則整段線路需求由另一個正常設施服務；如果2個設施都故障，整段線路需求無設施服務，則設施運營商需要受到固定懲罰成本 cf。各種運營狀態(tài)情況下，為滿足 x點需求，設施運行距離及相應懲罰如表2所示。

表2 不同運營狀態(tài)情況下運行距離及懲罰Table 2 Distance and punishment under different operating conditions

又由 p2=p4，則設施滿足需求線路上點v 的期望運輸距離為

由于線路上需求密度均為 ρ(x)，則線路上某段[x,x+Δx]上 需求可表示為 ρ (x)·Δx。因單位運輸費率為1，再根據文獻[4]，可考慮物流節(jié)點運輸費用由物料的需求量、運輸的距離和運輸費率共同決定，則該段線路需求到服務設施的總期望運輸成本可表示為 ρ(x)·Δx·|x?X(x)|。 又由 p2=p4，則2個設施到該段需求線路的運輸成本可以表示為

在2個設施同時故障時，系統(tǒng)無運輸成本，由表2計算得設施的無服務懲罰成本為定值 p1cf。由分析知， p1cf對線路上設施的選址決策無影響，因此在之后的目標成本函數構成中忽略。

2.2 時間懲罰成本函數

針對混凝土這類隨運輸時間增加，性能變化幅度較大的建設物資，一般要求運輸時間越短越好。而當運輸時間增加導致混凝土質量下降時，會產生一定的物料損耗，增加成本。本文研究的是混凝土拌和站的選址問題，因此需要構建關于混凝土期望運輸時間的懲罰成本，以保證混凝土質量和選址的總成本最小。根據文獻[15]、[16]可知，當物流設施點為所需線路運送混凝土類具有時間敏感型的物料時，可以建立關于運輸時間的懲罰成本函數為

在確定的外部條件下， α、 μ為可測、非負的時間敏感系數。

混凝土時間懲罰成本不僅與時間懲罰成本函數有關，而且與需求線路的需求量有關。未滿足的需求量越多，懲罰成本便越大，因此時間懲罰成本應該為時間懲罰成本函數與需求量的乘積。則從2個設施到整段需求線路運輸混凝土的總懲罰成本為

2.3 目標函數及性質分析

本文研究需求線路上僅有2個設施的選址問題，因此在設施數量確定的情況下，設施建設費用和運營費用固定。本文主要以設施承擔的物料運輸費用、無服務懲罰成本和時間懲罰成本之和最小為目標，根據前文分析知，無服務懲罰成本為定值p1cf，對線路上設施的選址決策無影響，因此在目標成本函數中忽略，即目標函數為

根據模型性質和文獻[13]知，該2個設施沿線路中點對稱分布，且2個設施都位于單位線段內，則X1+X2=1。 又由假設知 0≤X1≤X2≤1， 所以 X1∈[0,1/2]。

用 X1表 示 X2，計算式(7)和式(10)分別得

本文旨在研究故障概率p 、概率間相關系數 r以及時間懲罰成本函數中參數 α和 β 對設施選址和目標總成本的影響。則進一步由式(12)和式(13)計算目標函數式(11)，得

則目標函數關于 X1的一階導與二階導分別為

當設施故障概率p 、相關系數 r 給定，可得 p2和p3。在確定的外部條件下，服務時間懲罰成本函數中的參數 α、 β取值也可測得。上述參數給定情況下，可根據式(16)得出目標函數關于 X1的凹凸性再進行求解。

上述參數給定情況下，可知式(17)是關于 X1的超越方程，從而難以給出設施位置最優(yōu)決策以及最低成本的解析表達式，但可以使用二次插值和黃金分割法相結合的算法進行求解。本文將在算例中通過具體的參數假設，給出設施位置的最優(yōu)決策以及最低成本隨各參數的變化關系。

3 算例求解及模型參數分析

本文的數值計算實驗將圍繞以下3個方面展開：1) 分析故障概率對兩設施選址的影響；2) 分析故障概率間的相關系數對兩設施選址和目標成本的影響；3) 分析時間懲罰成本的參數對兩設施選址和目標成本的影響。

以建設線路工程的某一直線標段為例，經過實際評估，確定2個拌和站故障的邊際概率為 p=0.3，且2個拌和站間故障的相關系數 r=0。根據混凝土產品性質及文獻[16]，本算例中設置混凝土運輸服務的時間懲罰系數為 α =0.1， β=0.5。在以上給定參數情況下，易證式(16)非負，則目標函數 F(X1)為關于 X1在 X1∈[0,1/2]的凸函數。本文最終建模為一個帶約束的單目標最優(yōu)化問題。

若設施1的最優(yōu)位置為 X1時，滿足目標總成本最小，則有

根據式(17)，可求得設施1最優(yōu)位置。上述參數給定情況下，式(17)是關于 X1的超越方程，難以給出設施位置最優(yōu)決策以及最低成本的解析表達式，但根據目標函數F (X1)在 X1∈[0,1/2]區(qū)間為凸函數，可利用二次插值和黃金分割法相結合的算法用Matlab R2018b對式(14)進行編碼求解，給定容差后求出2個拌和站坐標位置最優(yōu)決策為(0.324 3，0.675 7)，系統(tǒng)最低成本為0.284 9。由結果可知，即使考慮的設施相同，且服務需求沿線路均勻分布，但由于設施存在一定的故障概率和可靠性服務懲罰成本，設施的最佳選址結果與文獻[19]經典的2-median問題的結果，即設施坐標為(1/4, 3/4)，存在明顯不同。

3.1 設施故障概率和相關系數對設施選址決策和總成本的影響

以算例中運輸混凝土物料為為例，即時間懲罰成本參數 α =0.1， β=0.5時，針對設施故障概率的獨立分布，即 r =0， 設施故障概率 p對設施1的最佳位置和系統(tǒng)總成本的影響如圖1所示；正負相關系數r下，故障概率 p對2個設施最佳位置的影響如圖2所示。

圖1 不同故障概率p情況下，設施的最佳位置和最優(yōu)目標Figure 1 Optimal position and optimal target of the Facility for different probability of failure p

圖2 不同相關系數下，設施的最佳位置隨故障概率p的變化情況Figure 2 Optimal position of the facility changes with the probability of failure p for different correlation coefficient r

圖1 中每個圓圈表示不同 p取值下的設施最佳位置及其對應的最小總成本。對于常規(guī)的確定性2-median問題，經典文獻[19]給出最優(yōu)的設施位置為(1/4, 3/4)，與圖1中 p=0對應的情況一致，證明模型的合理性。此外，綜合圖1和圖2可知，隨著設施故障概率 p的增加，2個設施表現出一種“集中效應”，即隨著 p的增加，2個設施不斷向彼此移動，更加靠近線段中點。這符合實際情境，即當2個設施的故障概率增加，其可靠性降低時，為了減少總的運輸費用和可靠性懲罰成本，設施之間的距離相應減小。由圖1可知，隨著故障概率 p的增加，目標總成本(TCt+TCs)先增加后減少。這也說明當故障概率在較小范圍增大時，系統(tǒng)的運營總成本先是增加的，而當故障概率超過一定的范圍，在忽略設施無服務的可靠性懲罰成本 p1cf時，設施的總體運營成本降低。這是因為隨著設施故障概率增加，整個系統(tǒng)的可靠性降低，設施因故障而無法服務線路需求的概率增加，因此運輸費用和服務可靠性懲罰成本降低的程度逐漸大于因設施位置改變帶來的成本增加，因此目標總成本隨故障概率先增加后減少。可想而知，當設施故障概率 p=1的極限情況下，設施一直處于故障狀態(tài)，根本不會產生運輸費用和服務可靠性懲罰成本，系統(tǒng)總成本為0。

在現實世界中，許多設施故障的情況表現出強烈的空間相關性。由圖2可知，當故障的相關性為正時(例如，由于自然災害，電網中斷)，2個設施同時故障的可能性增加，與故障相關性為0時相比，兩設施表現的“集中效應”減弱，為了避免總運營成本增加，相鄰的設施傾向于相互靠近的趨勢降低。相反，在設施故障概率呈負相關的情況下，彼此相鄰的設施更傾向于相互靠近以避免總運營成本增加。同時由圖2可知，當故障的相關性為正時，即r=0.3時，滿足式(5)，即使在設施故障概率接近1時，2個設施也不會集中在標段中點；而當故障的相關性為負時，即 r =?0.3時，滿足式(5)，2個設施在 故障概率接近0.75時就集中在標段中點。

3.2 時間懲罰成本參數對設選址決策和總成本的影響

當設施的故障概率 p=0.3、 相關系數 r=0和固定懲罰成本 p1cf一定時，考慮到設施負責運輸的物料的性質不同， α和 β不同取值對設施1最佳位置影響如圖3所示，對系統(tǒng)總成本影響如圖4所示。圖3和圖4中數據點為算例所對應的求解結果。

圖3 α和β不同取值時設施1的最佳位置Figure 3 Optimal location of facility 1for the different values of α and β

圖4 α和β不同取值時目標值的變化Figure 4 Optimal target values changes for different Values of α and β

由圖3分析可得，在α 和 β取值范圍都為(0,10)時，在剛開始階段， α和 β的取值對于此參數設置下的2個物流設施點選址的影響很大；在取值都較大時， α和 β的取值對設施點選址的影響程度降低，且在總體的影響過程中，設施1的位置隨α /β不同呈現有規(guī)律的變化，而 β對設施點選址的影響程度都大于 α。進一步分析得出，負責運輸服務可靠性對時間敏感型程度越高物料的設施點位置，更趨向于“去集中效應”，即2個設施彼此背離，設施間距離趨向增加。這定量反映了時間懲罰成本對設施選址的影響增大，同樣反映到現實情境中，就是負責運輸對時間敏感型程度不同物料的設施選址受到其運輸產品性質的影響。由圖4可以看出，在 α和 β取值范圍都為(0,10)時， α和 β的取值對于此參數設置下的2個物流設施點選址總目標費用的影響不如對設施點位置的影響大，但 β對設施點選址的目標總費用影響程度同樣大于α。

4 結束語

針對線狀連續(xù)需求，本文構建了考慮設施可靠性和時間懲罰的雙物流節(jié)點選址模型，確定給定故障概率和時間懲罰參數下的選址決策和目標總成本。在經典選址研究基礎上，針對問題特性，利用二次插值和黃金分割法相結合的算法用Matlab進行求解。通過算例及模型參數分析，驗證本文構建模型的合理性和有效性，分析了故障概率、故障相關性系數、時間懲罰函數參數對設施最佳位置和目標總成本的影響，為線路工程實施企業(yè)的可靠性設施選址決策提供輔助決策支持和依據。

針對雙設施的選址問題，本文研究設施可靠性之間具有相關性的情況，由于多設施可靠性間具有相關性的選址問題情況較為復雜，所以未來應嘗試研究獨立故障概率下，連續(xù)需求下的多設施選址問題，對雙設施選址的研究結果進行拓展分析。