李松遠(yuǎn),林文斌

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

廣義相對(duì)論解釋了水星的近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)問題，這也是檢驗(yàn)廣義相對(duì)論正確性的三個(gè)著名現(xiàn)象[1-4]之一。廣義相對(duì)論的創(chuàng)立不僅可以對(duì)引力的理解提供新的見解，也是現(xiàn)代宇宙學(xué)[1]的基礎(chǔ)理論。通過計(jì)算太陽(yáng)系其他行星對(duì)水星的擾動(dòng)影響，牛頓力學(xué)計(jì)算出每百年531角秒的歲差，而觀測(cè)得出的歲差預(yù)測(cè)值是每百年574角秒。這個(gè)差是由Urbain Le Verrier在1859年的觀察所得。他猜想可能是位于水星以內(nèi)的一顆小行星對(duì)水星的引力導(dǎo)致這個(gè)差距，但是這個(gè)行星一直沒有找到。有科學(xué)家提出，可能是因?yàn)樗前l(fā)出黃道光的物質(zhì)對(duì)水星產(chǎn)生影響[5]，但這并不能解釋其它行星類似的進(jìn)動(dòng)差。愛因斯坦第一次對(duì)試驗(yàn)粒子在Schwarzschild時(shí)空下的運(yùn)動(dòng)研究，通過對(duì)小參數(shù)r的冪展開被積函數(shù)，并在展開式中只保留線性項(xiàng)，得到了水星進(jìn)動(dòng)的公式[5]。研究行星進(jìn)動(dòng)時(shí)，人們的關(guān)注點(diǎn)在于運(yùn)動(dòng)的頻率而非軌道細(xì)節(jié)，處理這樣的問題時(shí)，作用角變量將會(huì)是很有效的工具[6]。作用角變量是一組正則坐標(biāo)，應(yīng)用作用角變量，可以先不求解運(yùn)動(dòng)方程，就能得到振動(dòng)或旋轉(zhuǎn)的頻率。在哈密頓力學(xué)中，作用角變量法也可應(yīng)用于攝動(dòng)理論，特別是用于決定緩漸不變量。應(yīng)用作用角變量法可以得到試驗(yàn)粒子在Schwarzschild時(shí)空下近圓軌道和橢圓軌道的進(jìn)動(dòng)[7]。本文利用作用角變量法給出了試驗(yàn)粒子在帶電荷的黑洞[8]附近即Reissner-Nordstr?m(R-N)時(shí)空下近圓軌道進(jìn)動(dòng)的表達(dá)式。

1 時(shí)空背景和運(yùn)動(dòng)方程

R-N度規(guī)[9]為：

dτ2=f(r)dt2-f(r)-1dr2-r2dθ2-r2sin2θdφ2

(1)

其中

(2)

因該時(shí)空為球?qū)ΨQ，考慮無(wú)自旋試驗(yàn)粒子處于該時(shí)空下動(dòng)力學(xué)完備微分方程組[5]為：

(3)

(4)

(5)

其中h和E為常數(shù)。

2 R-N時(shí)空中粒子的運(yùn)動(dòng)方程

由式(5)可得：

(6)

令

(7)

其中E1為粒子能量，于是可將式(6)寫為：

(8)

由式(8)可以選擇拉格朗日量為：

(9)

(10)

其中ψ為廣義坐標(biāo)r和φ，可以得出：

(11)

將式(9)帶入式(11)中可得到：

(12)

(13)

由式(3)知，可取C=h，則上述兩方程為：

(14)

(15)

式(15)與式(5)兩邊對(duì)τ求導(dǎo)得到的結(jié)論一致，且式(14)與式(3)等價(jià)，因此，當(dāng)式(12)中積分常數(shù)取為h時(shí)，所選的拉格朗日量是合理的。

3 哈密頓-雅可比方程和粒子的作用角變量

通過式(9)，可將廣義動(dòng)量[6]表示為：

(16)

哈密頓量可表示為：

(17)

因哈密頓量H不顯含τ，于是應(yīng)用哈密頓-雅可比方法可將哈密頓量的主函數(shù)寫為：S=-E1τ+W(r，φ)，W(r，φ)為特征函數(shù)，哈密頓-雅可比方程為：

(18)

對(duì)W進(jìn)行變量分離，即

W=W1(r)+W2(φ)

(19)

于是

(20)

因?yàn)棣諡楣茴D函數(shù)中的循環(huán)坐標(biāo)，所以

(21)

其中α為一常數(shù)，所以式(20)可以寫成：

(22)

于是作用變量可以寫成：

Jφ=∮Pφdφ=∮αdφ=2πα

(23)

(24)

可將式(24)寫成

(25)

4 近圓軌道下的進(jìn)動(dòng)

(26)

當(dāng)粒子在半徑為R的圓軌道上時(shí)，上式左邊對(duì)R的導(dǎo)數(shù)也必須為零，所以

(27)

解得

(28)

(29)

(30)

將上述兩式代入式(25)得

(31)

積分上、下限分別為R-δ和R+δ。令

(32)

于是式(31)可寫成

(33)

其積分結(jié)果為[6]：

(34)

即

(35)

利用式(35)解出E1為

(36)

代入式(23)可得

(37)

解得運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)頻率分別為：

由式(14)可知2πh=Jφ，于是

(40)

(41)

(42)

代入式(28)后泰勒展開為：

(43)

式(43)與M.Heydari-Fard等人[10]的研究在考慮黑洞自旋為0時(shí)的結(jié)論一致。

5 結(jié) 論

本文根據(jù)R-N度規(guī)和該時(shí)空下無(wú)自旋試驗(yàn)粒子的完備運(yùn)動(dòng)微分方程組給出了試驗(yàn)粒子的運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)出了該粒子的哈密頓-雅可比方程。利用試驗(yàn)粒子的哈密頓-雅可比方程得出了處于近圓軌道下試驗(yàn)粒子的作用角變量，根據(jù)試驗(yàn)粒子的作用角變量得出了經(jīng)過一個(gè)周期后的進(jìn)動(dòng)表達(dá)式，并與相關(guān)近似解做了比較。