李松遠(yuǎn),林文斌
(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)
廣義相對(duì)論解釋了水星的近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)問題,這也是檢驗(yàn)廣義相對(duì)論正確性的三個(gè)著名現(xiàn)象[1-4]之一。廣義相對(duì)論的創(chuàng)立不僅可以對(duì)引力的理解提供新的見解,也是現(xiàn)代宇宙學(xué)[1]的基礎(chǔ)理論。通過計(jì)算太陽(yáng)系其他行星對(duì)水星的擾動(dòng)影響,牛頓力學(xué)計(jì)算出每百年531角秒的歲差,而觀測(cè)得出的歲差預(yù)測(cè)值是每百年574角秒。這個(gè)差是由Urbain Le Verrier在1859年的觀察所得。他猜想可能是位于水星以內(nèi)的一顆小行星對(duì)水星的引力導(dǎo)致這個(gè)差距,但是這個(gè)行星一直沒有找到。有科學(xué)家提出,可能是因?yàn)樗前l(fā)出黃道光的物質(zhì)對(duì)水星產(chǎn)生影響[5],但這并不能解釋其它行星類似的進(jìn)動(dòng)差。愛因斯坦第一次對(duì)試驗(yàn)粒子在Schwarzschild時(shí)空下的運(yùn)動(dòng)研究,通過對(duì)小參數(shù)r的冪展開被積函數(shù),并在展開式中只保留線性項(xiàng),得到了水星進(jìn)動(dòng)的公式[5]。研究行星進(jìn)動(dòng)時(shí),人們的關(guān)注點(diǎn)在于運(yùn)動(dòng)的頻率而非軌道細(xì)節(jié),處理這樣的問題時(shí),作用角變量將會(huì)是很有效的工具[6]。作用角變量是一組正則坐標(biāo),應(yīng)用作用角變量,可以先不求解運(yùn)動(dòng)方程,就能得到振動(dòng)或旋轉(zhuǎn)的頻率。在哈密頓力學(xué)中,作用角變量法也可應(yīng)用于攝動(dòng)理論,特別是用于決定緩漸不變量。應(yīng)用作用角變量法可以得到試驗(yàn)粒子在Schwarzschild時(shí)空下近圓軌道和橢圓軌道的進(jìn)動(dòng)[7]。本文利用作用角變量法給出了試驗(yàn)粒子在帶電荷的黑洞[8]附近即Reissner-Nordstr?m(R-N)時(shí)空下近圓軌道進(jìn)動(dòng)的表達(dá)式。
R-N度規(guī)[9]為:
dτ2=f(r)dt2-f(r)-1dr2-r2dθ2-r2sin2θdφ2
(1)
其中
(2)
因該時(shí)空為球?qū)ΨQ,考慮無(wú)自旋試驗(yàn)粒子處于該時(shí)空下動(dòng)力學(xué)完備微分方程組[5]為:
(3)
(4)
(5)
其中h和E為常數(shù)。
由式(5)可得:
(6)
令
(7)
其中E1為粒子能量,于是可將式(6)寫為:
(8)
由式(8)可以選擇拉格朗日量為:
(9)
(10)
其中ψ為廣義坐標(biāo)r和φ,可以得出:
(11)
將式(9)帶入式(11)中可得到:
(12)
(13)
由式(3)知,可取C=h,則上述兩方程為:
(14)
(15)
式(15)與式(5)兩邊對(duì)τ求導(dǎo)得到的結(jié)論一致,且式(14)與式(3)等價(jià),因此,當(dāng)式(12)中積分常數(shù)取為h時(shí),所選的拉格朗日量是合理的。
通過式(9),可將廣義動(dòng)量[6]表示為:
(16)
哈密頓量可表示為:
(17)
因哈密頓量H不顯含τ,于是應(yīng)用哈密頓-雅可比方法可將哈密頓量的主函數(shù)寫為:S=-E1τ+W(r,φ),W(r,φ)為特征函數(shù),哈密頓-雅可比方程為:
(18)
對(duì)W進(jìn)行變量分離,即
W=W1(r)+W2(φ)
(19)
于是
(20)
因?yàn)棣諡楣茴D函數(shù)中的循環(huán)坐標(biāo),所以
(21)
其中α為一常數(shù),所以式(20)可以寫成:
(22)
于是作用變量可以寫成:
Jφ=∮Pφdφ=∮αdφ=2πα
(23)
(24)
可將式(24)寫成
(25)
(26)
當(dāng)粒子在半徑為R的圓軌道上時(shí),上式左邊對(duì)R的導(dǎo)數(shù)也必須為零,所以
(27)
解得
(28)
(29)
(30)
將上述兩式代入式(25)得
(31)
積分上、下限分別為R-δ和R+δ。令
(32)
于是式(31)可寫成
(33)
其積分結(jié)果為[6]:
(34)
即
(35)
利用式(35)解出E1為
(36)
代入式(23)可得
(37)
解得運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)頻率分別為:
由式(14)可知2πh=Jφ,于是
(40)
(41)
(42)
代入式(28)后泰勒展開為:
(43)
式(43)與M.Heydari-Fard等人[10]的研究在考慮黑洞自旋為0時(shí)的結(jié)論一致。
本文根據(jù)R-N度規(guī)和該時(shí)空下無(wú)自旋試驗(yàn)粒子的完備運(yùn)動(dòng)微分方程組給出了試驗(yàn)粒子的運(yùn)動(dòng)方程,推導(dǎo)出了該粒子的哈密頓-雅可比方程。利用試驗(yàn)粒子的哈密頓-雅可比方程得出了處于近圓軌道下試驗(yàn)粒子的作用角變量,根據(jù)試驗(yàn)粒子的作用角變量得出了經(jīng)過一個(gè)周期后的進(jìn)動(dòng)表達(dá)式,并與相關(guān)近似解做了比較。