李青

在初中數(shù)學(xué)中，三角形一直是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，等腰三角形更是重中之重。等腰三角形的許多問題需要用分類討論的方法去解決，同學(xué)們往往會(huì)在解題過程中，由于審題不清、知識(shí)點(diǎn)掌握不牢或考慮不全面等原因造成“錯(cuò)解”。為避免同學(xué)們?cè)俅纬霈F(xiàn)此類問題，下面老師對(duì)于常出現(xiàn)的一些易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。

一、等腰三角形上的高

例1 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，交直線BC于點(diǎn)D，若AD=[12]BC，求△ABC的頂角的度數(shù)。

【分析】解決此類問題應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：①?zèng)]有明確是腰上的高還是底邊上的高，應(yīng)分類討論;②對(duì)于等腰三角形腰上的高，還應(yīng)按形內(nèi)和形外分類。此題中我們應(yīng)該把BC分為腰和底兩種情況來討論：當(dāng)BC為底邊時(shí)，其高AD始終在三角形的內(nèi)部;但當(dāng)BC為腰時(shí)，應(yīng)按高在三角形內(nèi)和三角形外兩種情況來討論。

解：（1）當(dāng)BC為底時(shí)，如圖1。

∵AB=AC，AD⊥BC，AD=[12]BC，

∴AD=BD=CD，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴∠BAD+∠CAD=∠B+∠C=90°，

∴頂角∠BAC=90°。

（2）當(dāng)BC為腰時(shí)。

①如圖2，AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，

∵AD⊥BC，AD=[12]BC=[12]AC，

∴頂角∠C=30°;

②如圖3，AD在△ABC外部時(shí)，

∵AD⊥BC，AD=[12]BC=[12]AC，

∴∠ACD=30°，

∴頂角∠ACB=180°-30°=150°。

所以△ABC的頂角的度數(shù)為30°或90°或150°。

二、等腰三角形腰上的垂直平分線

例2 在△ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則底角∠B=。

【分析】求解本題時(shí)，由于不確定△ABC的形狀，于是需要分∠A為銳角和鈍角兩種情況進(jìn)行分析。畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法，易求出底角∠B的度數(shù)為70°或20°。

【正確答案】70°或20°。

三、等腰三角形腰上的中線

例3 等腰三角形一腰上的中線把等腰三角形的周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)。

【分析】等腰三角形的中線把三角形的周長(zhǎng)分成了15和6兩個(gè)部分，它們的差值是由于腰和底的長(zhǎng)不同而產(chǎn)生的，但不能確定腰和底誰長(zhǎng)誰短，所以要分情況討論。解決這類問題時(shí)，一般用設(shè)未知數(shù)的方法會(huì)比較簡(jiǎn)單，但一定要注意檢驗(yàn)其結(jié)果是否符合三角形的三邊關(guān)系。

解：設(shè)腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y。

（1）若腰比底長(zhǎng)，由題意，

得[x-y=15-6，2x+y=15+6，]解得[x=10，y=1。]

（2）若底比腰長(zhǎng)，由題意，

得[y-x=15-6，2x+y=15+6，]解得[x=4，y=13。]

而4+4<13，故舍去，所以這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為1。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)第一初級(jí)中學(xué)）