（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002）

本文主要對(duì)以下具有信號(hào)回路的趨化模型進(jìn)行研究，

該模型是文獻(xiàn)[1]中提出的趨化模型的簡化，其中，Ω ?R2是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，表示關(guān)于邊界? Ω的外法向量ν的導(dǎo)數(shù)，未知函數(shù)u(x,t)、v(x,t)、w(x,t)和z(x,t)分別表示巨噬細(xì)胞密度、乳腺癌細(xì)胞密度、CSF-1 的濃度和EGF 的濃度，參數(shù) χ1、χ2和 χ3分別表示巨噬細(xì)胞、乳腺癌細(xì)胞和乳腺癌細(xì)胞系中CSF-1/CSF -1R 自分泌信號(hào)回路的趨化系數(shù)，參數(shù)s1、s2分別表示乳腺癌細(xì)胞分泌CSF-1 和巨噬細(xì)胞分泌EGF 的速率，參數(shù)r1、r2分別表示CSF 和EGF 的均勻降解速率。假設(shè)參數(shù)s1、s2、r1、r2都是正常數(shù)，初始值u0、v0、w0和z0都是非負(fù)函數(shù)。

該模型描述了乳腺癌細(xì)胞和巨噬細(xì)胞在短期化學(xué)信號(hào)回路中的趨化性行為。巨噬細(xì)胞分泌EGF，一方面有自身的自由擴(kuò)散；另一方面會(huì)朝向由乳腺癌細(xì)胞所分泌的CSF-1 的濃度梯度方向做趨化性運(yùn)動(dòng)。乳腺癌細(xì)胞通過操縱固定的巨噬細(xì)胞信號(hào)來遷移，乳腺癌細(xì)胞分泌CSF-1，一方面可與巨噬細(xì)胞上的CSF-1 受體結(jié)合激活巨噬細(xì)胞向CSF-1 梯度趨化并分泌EGF；另一方面EGF 可以與乳腺癌細(xì)胞上的受體結(jié)合，這樣就激活了循環(huán)鏈，激活的乳腺癌細(xì)胞通過分泌更多的CSF-1 并向EGF 梯度方向做趨化運(yùn)動(dòng)[2 ? 4]，這一過程導(dǎo)致了短距離趨化信號(hào)回路。

目前對(duì)于模型（1）相關(guān)模型的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展，比如，Tao 等[5]研究了模型（1）當(dāng)τ=0，χ3=0時(shí)解的全局存在性，并得到了當(dāng)兩種物質(zhì)的總質(zhì)量都很小時(shí)模型解的全局有界性與爆破現(xiàn)象。Li 等[6]進(jìn)一步討論了τ=1,χ3=0時(shí)解的全局存在性，同樣得到了相應(yīng)的模型在初始細(xì)胞質(zhì)量都很小時(shí)解的全局有界性和爆破現(xiàn)象。Lin 等[7]對(duì)具有信號(hào)回路的情況進(jìn)行研究并證明了當(dāng)τ=0時(shí)模型（1）解的全局存在性和爆破現(xiàn)象。然而當(dāng)τ=1時(shí)模型（1）解的性質(zhì)目前尚未看到研究結(jié)果，為此在本文中主要討論τ =1,χ3＞0時(shí)，在二維有界域中模型（1）解的全局存在性和有界性。

1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)果

我們首先敘述模型（1）當(dāng)τ=1時(shí)解的局部存在性，局部存在性的證明方法與文獻(xiàn)[8]中方法類似，所以本文省略了證明過程。

引理1（解的局部存在性）設(shè)χi∈R(i=1,2,3)，則對(duì)于任意的非負(fù)初始值存在Tmax∈(0,∞)使得問題（1）存在一個(gè)非負(fù)經(jīng)典解（Tmax表示最大存在的時(shí)間）。且當(dāng)Tmax<∞，有

下面關(guān)于解的L1估計(jì)，將會(huì)在我們的證明過程中頻繁使用。

引理2設(shè)都是非負(fù)的，且對(duì)于任意的x∈Ω及t＞0，都有u(x,t)和v(x,t)是正的。其中(u,v,w,z)是模型（1）的經(jīng)典解，則對(duì)于所有的t∈(0,Tmax)，有

證：對(duì)式(1)中的第1 個(gè)和第2 個(gè)方程在 Ω上進(jìn)行積分，有

因此推出了式(3)和式(4)。同樣對(duì)式(1)中的第3 個(gè)和第4 個(gè)方程在 Ω上進(jìn)行積分，得到

調(diào)用恒等式(3)、式(4)以及利用ODE 常數(shù)變易法和能量守恒定律，再在(0,t)上進(jìn)行積分，其中t∈[0,Tmax)，得到

從而完成引理的證明。

接下來，我們回顧二維情形下的Gagliardo-Nirenberg 插值不等式[9]，這將用來證明我們的主要結(jié)果。

2 定理1 的證明