邵俊 于興林 馮波 丁華

（吉利汽車研究院（寧波）有限公司，寧波315336）

1 前言

整車虛擬匹配作為快速展示、診斷整車外觀匹配狀態(tài)并指導(dǎo)零部件修模的開發(fā)工具，其重要性近年來在汽車行業(yè)內(nèi)得到了普遍的認(rèn)識[1-2]。為達(dá)成提升整車外觀匹配精度的核心價值，總成尺寸匹配狀態(tài)計算和零部件尺寸偏差源識別是虛擬匹配的關(guān)鍵功能。

基于外觀件普遍非剛性的特點，整車虛擬匹配需準(zhǔn)確仿真柔性件受力變形。有限元分析法作為汽車工程主流的數(shù)值分析手段，可準(zhǔn)確預(yù)測整車虛擬匹配尺寸狀態(tài)[3]。但有限元法計算量大、求解耗時，無法滿足當(dāng)前數(shù)字化連接制造環(huán)境下幾何保證和偏差管理的快速響應(yīng)需求。為此，虛擬分析須積極利用數(shù)字化雙胞胎、大數(shù)據(jù)等新支撐技術(shù)的發(fā)展[4]，開發(fā)應(yīng)對實時數(shù)據(jù)的簡化模型或簡化求解法，突破制約虛擬匹配應(yīng)用于生產(chǎn)現(xiàn)場的速度瓶頸。

在獲取總成尺寸匹配狀態(tài)后，為指導(dǎo)零部件修模，需識別零部件的偏差源變形模式。主成分分析作為汽車制造中主流的數(shù)據(jù)特征提取統(tǒng)計方法，可識別數(shù)據(jù)的主要模式。但由于主成分是原始變量的線性組合，鑒于汽車柔性件的監(jiān)控變量較多，這種線性組合較復(fù)雜，導(dǎo)致可解釋性差，不利于偏差源的識別。為此，需尋求簡化的特征提取法，提升虛擬匹配中的零部件偏差源識別效率。

目的之一是針對汽車柔性件公差分析中缺乏快速計算帶尺寸偏差零件的受力變形問題，提出1種結(jié)合線性疊加原理和有限元法的變形計算方法，實現(xiàn)整車虛擬匹配的實時公差分析，這部分研究工作將體現(xiàn)在第2節(jié)中。目的之二為解決零件偏差源識別中主成分分析數(shù)據(jù)解讀性差的問題，提出1種應(yīng)用稀疏主成分分析簡化分析變量，并減少主成分載荷系數(shù)的偏差源統(tǒng)計分析法，可快速識別偏差源的主要變形模式及對應(yīng)的主導(dǎo)變量，實現(xiàn)整車虛擬匹配問題的快速診斷，這部分研究工作將體現(xiàn)在第3節(jié)中。

2 汽車柔性件虛擬匹配實時公差分析

2.1 汽車柔性件受力分析

汽車柔性件的尺寸匹配狀態(tài)主要受重力和對手件的載荷反力影響，前者可通過測量包含在測量數(shù)據(jù)中，而載荷反力必須依賴實物裝配或仿真。由于來自對手件載荷反力通常為變力，如密封條、氣撐桿、卡扣等，其本質(zhì)是彈簧。以車門密封條為例，其壓縮反力本質(zhì)是個非線性彈簧，彈簧剛性系數(shù)隨壓縮量而變化[5]。由于性能曲線靠近設(shè)計名義值的區(qū)段接近直線，為便于簡化計算，將此段的密封條剛性系數(shù)視為常數(shù)。將車門鈑金總成通過鉸鏈和鎖扣安裝上車身固定后，其受密封條變形后的靜力平衡狀態(tài)若用有限元法進(jìn)行建模，則可以采用公式（1）表征。

將公式(1)整理，可得公式（2）和公式（3）。

式中，([Ks]+[Ka])-1為([Ks]+[Ka])的逆矩陣，設(shè){}A=([Ks]+[Ka])-1{Fs}，[]B=([Ks]+[Ka])-1[Ks]，則公式(3)整理為公式（4）。

當(dāng)門鈑金總成無尺寸誤差時，{Xg}為0，{Xa}為定值，僅受[Ks]、[Ka]和{Fs}影響。

當(dāng)門鈑金總成有尺寸誤差時，{Xg}不為0，{Xa}為變值，與{Xg}有線性關(guān)系。

當(dāng)對理論數(shù)模進(jìn)行有限元建模時，由于{Xg}為0，因此{(lán)Xa}為定值。當(dāng)獲取1個車門鈑金總成的尺寸測量樣本時，由于必然存在制造尺寸誤差，因此{(lán)Xg}不為0，{Xa}為變值，需要按照公式（4）調(diào)用有限元求解器進(jìn)行求解。

2.2 線性疊加原理

考慮到任意線性關(guān)系均適用于線性疊加原理[6]，因此公式（4）中的任意{Xg}對應(yīng)的響應(yīng){Xa}等效于將{Xg}分解為若干單位偏差向量后，所有單位偏差向量對應(yīng)響應(yīng)向量的矢量和。

將前述內(nèi)容表示為數(shù)學(xué)關(guān)系，則設(shè){Xg}n、{Xa}n、{Fs}n為n維列向量，表示車門有n處網(wǎng)格節(jié)點受密封條壓縮反力作用，存在內(nèi)間隙尺寸偏差，并在受載后產(chǎn)生變形。[Ks]與[]Ka為n階方陣。根據(jù)向量的表示規(guī)則，將向量{Xg}n改寫為公式（5）。

線性疊加原理應(yīng)用于公式（4），并將公式（5）代入，則公式（4）可表示為公式（6）。

式中，[Xgi]nXn為n階純量矩陣，其主對角線元素均為Xgi，其余位置元素均為零。

根據(jù)公式(6)，只要通過有限元軟件將單位偏差Ei施加于節(jié)點i（i=1…n），可求得所有n個節(jié)點的變形向量。因此通過n次迭代，可得到所有單位節(jié)點偏差與n個節(jié)點變形的關(guān)系。

2.3 基于有限元線性疊加的變形計算方法

事實上，根據(jù)公式(6)得到的變形位置是密封條，而車門虛擬匹配更為關(guān)注的區(qū)域是門周邊的間隙和面差，因此若車門周邊共有m處受關(guān)注的外觀匹配斷面，則這些斷面受密封條壓縮反力后的變形向量為( )C1j C2j…Cmj，m為外觀匹配斷面數(shù)量，Cij(i=1…m)為通過有限元法計算得到的j節(jié)點位置的單位偏差導(dǎo)致的i斷面處的變形，因此Cij表示了i節(jié)點對j節(jié)點位移的傳遞系數(shù)。

當(dāng)密封條變形非單位偏差，且密封條所有斷面位置的偏差線性疊加時，車門周邊m處受關(guān)注斷面的變形總量為向量{X}m，同時如公式（7）所示。

當(dāng)車門總成變形較小，即Xgj較小時，材料的應(yīng)力應(yīng)變處于線性段，上述公式（7）一直成立。

通過n次有限元迭代計算，即通過密封條n個斷面的單位偏差仿真計算得到上述傳遞系數(shù)矩陣后，就可以應(yīng)用此矩陣快速的在現(xiàn)場預(yù)測車門鈑金總成受密封條壓縮反力的變形尺寸狀態(tài)。

只要通過測量手段獲取鈑金車門總成與側(cè)圍的內(nèi)間隙偏差向量，即密封條各斷面壓縮量的偏差值向量{Xg}n，通過公式（7）的矩陣運(yùn)算即可得到外觀匹配斷面的變形向量{X}m。而有限元法則必須根據(jù)各密封條匹配斷面的尺寸偏差測量值轉(zhuǎn)換為實際載荷，然后修改仿真模型的載荷邊界條件，最后利用求解器計算受載變形并手工采集所有外觀匹配斷面的變形量。表1對比了利用純有限元法和傳遞系數(shù)矩陣法計算對資源的要求，顯然后者更經(jīng)濟(jì)高效，有助于突破制約虛擬匹配應(yīng)用于生產(chǎn)現(xiàn)場的速度瓶頸。

表1 預(yù)測方法的資源要求對比

2.4 實時公差分析實例計算

2.4.1 問題定義

分析案例為采用點焊與包邊工藝制造的車門鈑金總成，關(guān)注其在受密封條壓縮反力后的變形。實例的幾何與材料屬性、板件連接設(shè)置、約束邊界條件見參考文獻(xiàn)[7]。已知密封條剛度系數(shù)為每100 mm長度4 N/mm，因此在有限元模型的密封條安裝截面每間隔100 mm設(shè)置一處載荷，合計38處。密封條匹配斷面尺寸偏差狀態(tài)如圖1a所示，結(jié)合剛度系數(shù)可得到外力邊界條件。同時，門框輪廓均勻布置了9處變形測點，位置如圖1b所示。

圖1 密封條匹配偏差狀態(tài)和測點位置示意

2.4.2 傳遞系數(shù)推導(dǎo)

根據(jù)前文傳遞系數(shù)矩陣的定義，此實例需推導(dǎo)1個9×38的矩陣矩陣的每列Cij表示通過有限元法計算得到的j節(jié)點(j=1…38)處單位載荷導(dǎo)致的i測點(i=1…9)處的變形。由于整車匹配的常見最小單位是0.1 mm，根據(jù)密封條剛度系數(shù)4 N/mm，因此單位載荷設(shè)置為0.4 N。通過在Hy?permesh中設(shè)置38個載荷步并用Optistruct求解器計算，匯總得到傳遞系數(shù)矩陣，如表2所示。

2.4.3 公差分析仿真結(jié)果

a.純有限元法，根據(jù)2.4.1節(jié)的問題定義，直接采用Optistruct求解器計算得到圖2的計算結(jié)果。

表2 傳遞系數(shù)計算結(jié)果

圖2 有限元仿真結(jié)果

3 基于稀疏主成分的虛擬匹配問題快速診斷

3.1 虛擬匹配偏差源統(tǒng)計分析

汽車柔性件經(jīng)過多道工序的加工，必然存在累計誤差。即使在制造現(xiàn)場對每個樣本均采用傳遞系數(shù)矩陣法快速計算受力變形，由于樣本偏差的隨機(jī)性，導(dǎo)致各樣本虛擬匹配仿真結(jié)果存在差異，無法直接指導(dǎo)修模，因此有必要尋找偏差源的統(tǒng)計規(guī)律。

在生產(chǎn)中常用的變量統(tǒng)計指標(biāo)為均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分別體現(xiàn)了偏差的集中性和離散性。若生產(chǎn)統(tǒng)計受控，可將樣本各變量均值輸入虛擬匹配仿真模型，仿真結(jié)果可作為指導(dǎo)修模的參數(shù)。但當(dāng)變量標(biāo)準(zhǔn)差過大時，僅靠修模無法達(dá)到匹配合格率要求，為此需識別變量波動的偏差源并進(jìn)行工藝整改。

圖3 傳遞系數(shù)矩陣法計算結(jié)果

公差分析通常假設(shè)變量間相互獨立，均值和標(biāo)準(zhǔn)差均未考慮測點變量間的相關(guān)性。但相關(guān)研究顯示柔性鈑金不符合變量獨立性假設(shè)[8]。從汽車柔性鈑金件的連接工藝分析，隨著點焊數(shù)的增加，焊點間距變小，獨立性假設(shè)將迫使幾何上相鄰測點往反方向運(yùn)動，這顯然與焊點增多導(dǎo)致的剛性增加矛盾。統(tǒng)計學(xué)中將多變量的相關(guān)特性用協(xié)方差描述，上述源自材料彈性耦合的相關(guān)性稱為材料協(xié)方差。

Merkley的研究[9]指出，由于零件表面特征的連續(xù)性，在非微觀尺度，存在如圖4的連續(xù)性特征，這種統(tǒng)計上變量間的相關(guān)性稱為幾何協(xié)方差。當(dāng)表面兩端產(chǎn)生了變形δ1和δ2，零件傾向于按第1種情況連續(xù)性扭曲。汽車柔性件的尺寸測量屬于宏觀尺寸，因此測量結(jié)果也傾向于第1種情況。

圖4 由于表面連續(xù)性產(chǎn)生的幾何協(xié)方差

3.2 主成分分析

基于上述材料協(xié)方差和幾何協(xié)方差，可運(yùn)用多元統(tǒng)計中的主成分分析法解釋偏差源測量信息，即從原始變量中導(dǎo)出若干主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且主成分間互不相關(guān)[10]。若運(yùn)用在尺寸偏差分析領(lǐng)域，則每個主成分對應(yīng)零件的某種偏差模式，如平移、旋轉(zhuǎn)或扭曲。

主成分分析有利于抓住零件變形的主要模式，忽略占比小的隨機(jī)波動噪聲，實現(xiàn)測量數(shù)據(jù)降維的目的。例如1個柔性零件原本有幾十個測點變量，通過多樣本的主成分分析，可識別零件的主要偏差變形模式，用若干個變形模式包含原零件90%以上的變形信息。

按主成分定義，它識別多變量向量空間中數(shù)據(jù)方差最大的方向作為第一主成分，并按各主成分正交的原則依公差貢獻(xiàn)排序依次計算其它主成分，n個變量可計算n個主成分。若m個主成分（m≤n）可表示零件90%的偏差信息，則前m個主成分向量PCm表示為公式（8）。

式中，Xj（j=1…n）為原始變量構(gòu)成的向量；Sij表示第j個（j=1…n）原始變量對第i個（i=1…m）主成分的載荷，即影響程度系數(shù)。上述向量是對樣本多變量的相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行主成分分析后得到的特征向量i，表示零件的1種偏差模式。計算中同時會得到特征值λi，代表此偏差模式的方差。

3.3 稀疏主成分分析

主成分分析雖可以達(dá)到數(shù)據(jù)特征提取和變量降維的目的，但由于主成分是原變量的線性組合，當(dāng)變量數(shù)量眾多時，線性組合的載荷Sij數(shù)量較多，即線性組合的復(fù)雜性過高。另外，有相關(guān)研究[11]論證了在多變量和小樣本的情況下，樣本估計的第一主成分特征向量和總體的第一主成分特征向量極不一致。而在汽車制造業(yè)領(lǐng)域，小樣本多變量是工業(yè)4.0環(huán)境下快速響應(yīng)面對的普遍挑戰(zhàn)，因此需更優(yōu)化的方法。

基于彈性網(wǎng)約束改良后的稀疏主成分分析法，通過可調(diào)約束將部分載荷系數(shù)變?yōu)?，達(dá)到稀疏載荷的目的[12]。這有助于分析者在載荷系數(shù)數(shù)量和偏差信息完整度中尋求平衡，既保留了主成分分析降維的優(yōu)點，又減少了主成分的構(gòu)成變量數(shù)，令解讀主成分的物理含義變得更容易。以虛擬匹配為例，若原始n個偏差變量需要m個主成分（m＜n）進(jìn)行降維處理，由于每個主成分由n個變量線性表示，此線性變換的物理含義難以解讀。若通過舍棄小部分信息使得主成分構(gòu)成變量數(shù)顯著減少，則有利于理解變換的物理含義，即識別尺寸的偏差模式。這有助于虛擬匹配問題的快速診斷。

深入分析載荷稀疏化的各類數(shù)學(xué)工具[13]，如制定1個強(qiáng)制置零的閾值或?qū)⑾∈柚迪薅?、-1、1，綜合考慮計算速度與問題的普適性[14]，最終應(yīng)用集成在R軟件[15]的ElasticNet擴(kuò)展包作為稀疏主成分分析的工具。R軟件作為開源跨平臺的數(shù)學(xué)計算環(huán)境，集成大量科研前沿的統(tǒng)計算法包，且數(shù)據(jù)可視化方面豐富的生態(tài)也有助于洞察數(shù)據(jù)的本質(zhì)。

3.4 虛擬匹配問題快速診斷實例計算

3.4.1 問題定義

分析案例為車門鈑金總成的尺寸制造偏差。測量對象為門內(nèi)板密封條匹配部位的輪廓度，共19個測點，位置如圖5中按順時針分布。根據(jù)門總成的制造工藝，假定測點相關(guān)的制造誤差包括門內(nèi)板沖壓誤差2項和焊接變形誤差6項，均符合正態(tài)分布。使用3維公差分析軟件3DCS仿真上述誤差，分布位置如圖6所示。其中沖壓誤差2為隨機(jī)誤差，涉及的各區(qū)域尺寸波動獨立，其余7個誤差為相關(guān)性公差，涉及的各區(qū)域尺寸波動正相關(guān)。

圖5 測點分布

3.4.2 基于主成分分析的公差分析

應(yīng)用3DCS的蒙特卡洛法按上節(jié)所述的輸入公差仿真，得到100個樣本，各含19個變量的測量值。

使用R軟件的基礎(chǔ)函數(shù)prcomp對樣本進(jìn)行主成分分析，得到圖7的主成分累計貢獻(xiàn)度信息。

圖6 制造公差信息

圖7 主成分分析累積貢獻(xiàn)度信息

前8個主成分累計方差貢獻(xiàn)度93.0%，即可代表原始19個變量93%的總成偏差信息，降維效果顯著。

由于前2個主成分累積方差占比較高（60%），可進(jìn)一步采用R語言的數(shù)據(jù)可視化工具包ggbiplot對第1和第2主成分作散點圖，分別對應(yīng)圖8中的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。圖中的點代表樣本，橢圓代表按±2σ置信區(qū)間設(shè)置的核心區(qū)域。箭頭代表原始變量，共19個，箭頭長度表示原始變量的方差大小，箭頭方向表示與各主成分的相關(guān)性。

圖8 第1和第2主成分散點

為優(yōu)化整改匹配問題，需識別對第1及第2主成分起主導(dǎo)作用的變量。由于近一半箭頭對橫坐標(biāo)的投影長度接近，難以識別主導(dǎo)性影響變量，給整改帶來了較大困難。第2主成分也存在相似的現(xiàn)象，其根本原因在于各主成分中的非0載荷過多。

3.4.3基于稀疏主成分分析的公差分析

為了將主成分的載荷稀疏化，應(yīng)用R軟件的spca()函數(shù)，得到圖9的稀疏主成分貢獻(xiàn)度信息。前8個稀疏主成分累計貢獻(xiàn)度78.1%，即可代表原始19個變量超過78%的總成偏差信息。

圖9 稀疏主成分分析貢獻(xiàn)度信息

通過表3比較可見，前8個稀疏主成分對應(yīng)的非0載荷數(shù)量合計21個，相比主成分分析前8個主成分的152個載荷數(shù)大幅減少。此外，簡化后的載荷直觀顯示第1主成分主要涉及原始變量1～5，對應(yīng)圖5的門框。由于載荷系數(shù)接近，此偏差模式為局部移動。第2主成分涉及原始變量16～17，對應(yīng)于圖5的門鎖區(qū)域，偏差模式也為局部移動。更重要的是，由于第1和第2主成分的主導(dǎo)變量明確，解釋性較好，可進(jìn)一步針對性排查測點相關(guān)的工位和工藝環(huán)節(jié)，實現(xiàn)虛擬匹配問題的快速診斷，有助于問題整改。

4 結(jié)論和展望

4.1 結(jié)論

a.通過結(jié)合線性疊加原理和有限元法的傳遞系數(shù)矩陣法，可快速計算帶尺寸偏差汽車柔性件的變形。通過實例證明方法的有效性，為整車虛擬匹配的生產(chǎn)線實時公差仿真提供了1種解決方案。

b.通過基于稀疏主成分的偏差源統(tǒng)計分析法，可從樣本數(shù)據(jù)中快速識別占主要作用的變形模式及對應(yīng)的稀疏化的主導(dǎo)變量，提升了偏差源物理意義的解讀能力。通過實例證明方法的有效性，為整車虛擬匹配零部件尺寸偏差源的快速診斷提供了1種解決方案，有利于整車虛擬匹配狀態(tài)的高效整改。

表3 主成分分析和稀疏主成分分析載荷系數(shù)對比

4.2 展望

a.傳遞系數(shù)矩陣法中傳遞系數(shù)的獲取需耗費(fèi)一定的有限元建模、求解計算和后處理時間，有必要通過流程梳理和軟件二次開發(fā)提高這部分工作的自動化效率，進(jìn)一步降低此方法的應(yīng)用門檻。

b.結(jié)合聚類分析和稀疏主成分分析，實現(xiàn)樣本分類，并分析變量隨時間的變化特征，將有助于虛擬匹配整改階段偏差源的動態(tài)診斷和監(jiān)控。