一類基于k-體分劃的多體態(tài)的量子關(guān)聯(lián)測(cè)度

劉天文，王銀珠

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

糾纏是量子信息理論中的突出特征之一，它在量子信息處理中起著極其重要的作用，糾纏已經(jīng)作為一種必要的資源應(yīng)用于量子信息和量子計(jì)算的各個(gè)方面[1-6]，在光量子信息中的應(yīng)用尤其突出[7-8]。眾所周知，量子態(tài)是跡為1的半正定算子,記H，表示與量子系統(tǒng)相結(jié)合的可分復(fù)Hilbert空間，S(H)則表示H中的全體量子態(tài)。ρ∈S(H)，如果Tr(ρ2)=1，則ρ稱之為純態(tài)；若Tr(ρ2)<1，則ρ稱之為混合態(tài)。對(duì)于純態(tài)來說，判斷其是否可分是比較容易的，然而對(duì)于混合態(tài)，探測(cè)其是否可分是一個(gè)NP-hard 問題[9]。

在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里，人們一直以為量子關(guān)聯(lián)只存在于糾纏態(tài)中，但事實(shí)并非如此。研究表明可分態(tài)也存在某種量子關(guān)聯(lián)性。量子關(guān)聯(lián)在量子信息處理中有重要意義，目前已有諸多量子關(guān)聯(lián)定義，包括量子無序性(Quantum Discord)、測(cè)度誘導(dǎo)的非局部性(Measurement Induced Non-locality)、量子虧損(Quantum Deficit)以及可分性魯棒(Separabil-ity Robustness)和糾纏魯棒(Entanglement Robus -tness)等[22-26]。 所有這些量子關(guān)聯(lián)都可作為重要的資源應(yīng)用于量子計(jì)算的各個(gè)方面[27]，如何深入量化給定量子態(tài)的關(guān)聯(lián)是其中最主要的問題之一，2001年，Oliver和Zurek及Henderson和Vedral分別獨(dú)立提出量子失協(xié)關(guān)聯(lián)度[22-23]，2008年，Akira SaiToh等第一次引進(jìn)了度量量子態(tài)與兩積特征基態(tài)之間的關(guān)聯(lián)測(cè)量[28]，2011年，Luo和Fu給出了另一種量子關(guān)聯(lián)度量稱為測(cè)量導(dǎo)出的非定域性[24]，2014年，Andre L.Fonseca de Oliveira等給出了多體量子態(tài)的累積關(guān)聯(lián)測(cè)度[29]。

本文給出了一類基于k-體分劃的多體量子態(tài)的量子關(guān)聯(lián)測(cè)度，并證明了其滿足量子關(guān)聯(lián)度的一些性質(zhì)。

1 基本定義與主要結(jié)果

本文主要討論多體復(fù)合量子系統(tǒng),設(shè)H=H1?H2?…?Hm，dimH<+∞,記S(H)表示H中全體量子態(tài)組成的集合，為給出主要結(jié)果,首先引出如下定義。

定義1[21]設(shè)H=H1?H2?…?Hm，其中Hi是與第i個(gè)子系統(tǒng)相結(jié)合的Hilbert空間，稱{A1,A2,…,Ak}或A1|A2|…|Ak為H的一個(gè)k-體分劃,如果其滿足：

(i)Ai∩Aj=,(i,j∈{1,2,…,k},i≠j)且∪Ai={1,2,…,m}；

定義2[19-21]設(shè)H=H1?…?Hm,dimH<+∞,|〉∈H,稱|〉為k-可分的,如果存在k-體分劃A1|A2|…|Ak,使得其中是HAi上的純態(tài)。一個(gè)m體混合態(tài)ρ∈S(H)稱為k-可分的，如果這里|φs〉可能在不同的k-體分劃下是k-可分的，ps≥0，∑ps=1.

當(dāng)k=m時(shí)，稱ρ為完全乘積特征態(tài).易見SK-P(H)?SK-S(H)?S(H)，其中SK-S(H)表示H上全體k-可分態(tài)組成的集合。

定義5設(shè)ρ∈S(H)，則ρ相對(duì)于k-體分劃的量子關(guān)聯(lián)度(簡(jiǎn)記為k-QCM)，定義為：

下面證明上述定義的k-體分劃的量子關(guān)聯(lián)度滿足下面的性質(zhì)。

性質(zhì)1設(shè)ρ∈S(H)，則Qk(ρ)≥0且Qk(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ∈SK-P(H).

證明：由k-QCM定義，Qk(ρ)的非負(fù)性顯然.另外，若Qk(ρ)=0，則存在σ∈SK-P(H)，使得Tr|ρ-σ|=0，從而ρ=σ，故ρ∈SK-P(H).反之，若ρ∈SK-P(H)，顯然有Qk(ρ)=0.

性質(zhì)2設(shè)U=U1?U2?…?Um，Ui∈Hi為Hi上的酉算子，則Qk(UρU+)=Qk(ρ).

證明：根據(jù)文獻(xiàn)[1]，酉變換保持量子態(tài)之間的跡距離，即D(UρU+,UσU+)=D(ρ,σ).故Qk(UρU+)=Qk(ρ).

性質(zhì)3設(shè)ε為一個(gè)保跡量子運(yùn)算，則Qk(ε(ρ))≤Qk(ρ).

為了證明性質(zhì)3，需要下面引理。

Tr(Q)-Tr(S)=Tr(ρ)-Tr(σ)=0，

所以

Tr(Q)=Tr(S)，

從而有

Tr(ε(Q))=Tr(ε(S)).

所以

Qk(ε(ρ)).

性質(zhì)4k-QCM是輸入態(tài)的凸函數(shù)，即:

證明：應(yīng)用引理1，存在一個(gè)投影算子P使成立：

證明：由定義容易得出:

→Qk(ρ).(n→∞)

即

性質(zhì)6系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時(shí)，關(guān)聯(lián)測(cè)度不變，即：設(shè)H′是局部非相干輔助子系統(tǒng)，α∈S(H′),ρ∈S(H)，則有Qk(ρ?α)=Qk(ρ). 證明 由跡距離的性質(zhì)D(ρ?α,σ?α)=D(ρ,σ)，容易得出:

2 結(jié)語

文章定義了一個(gè)新的關(guān)聯(lián)測(cè)度——基于k-體分劃的多體量子態(tài)的關(guān)聯(lián)度(k-QCM).該測(cè)度可以探測(cè)給定量子態(tài)是否為k-積態(tài)。它與跡距離相關(guān)，但也具有自己的優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)證明了該量子關(guān)聯(lián)度具有酉不變性、凸性、單調(diào)性、連續(xù)性，另外，當(dāng)系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時(shí)，關(guān)聯(lián)測(cè)度不變。