周新房，許 斌

（中航西安飛機工業(yè)集團(tuán)股份有限公司，西安 710089）

在飛機制造中，激光雷達(dá)[1]發(fā)揮著重要作用，工裝安裝、模具和復(fù)合材料檢驗、飛機外形檢測等均需要在激光雷達(dá)輔助下完成，其精度是影響飛機制造質(zhì)量的重要因素之一。圖 1為飛機裝配中激光雷達(dá)某測量站位測量示意圖。激光雷達(dá)需要通過反射光確定待測物體的位置，所以必須保證光路的可達(dá)性，測量設(shè)備俯仰角、入射角度也必須在一定范圍內(nèi)。在測量時，為了滿足以上這些條件，必須將激光雷達(dá)放置到合適位置。此外，由于飛機產(chǎn)品尺寸較大，飛機在裝配過程中會有上百個測量點分布在不同部位，所以一個站位往往難以完成測量，通常需要進(jìn)行轉(zhuǎn)站?；谝陨显颍谶M(jìn)行測量活動前，必須進(jìn)行測量規(guī)劃，確定各個測量站位的具體位置[2]。

國內(nèi)外對于測量測量布局規(guī)劃有一定研究。王莉等[3]對工業(yè)環(huán)境下各類測量方法進(jìn)行了對比；許振瑛[4]研究了基于遺傳算法的激光跟蹤儀測量點數(shù)量及位置確定方法，受限于遺傳算法本身特點，該方法沒有確定的收斂時間；趙樂樂[5]利用OpenCASCADE軟件的三維可視化功能確定測點位置可行性；金漲軍[6]建立了測量場轉(zhuǎn)站誤差傳遞模型并運用蒙特卡洛算法對該過程進(jìn)行了仿真；朱峻可等[7]分析了激光雷達(dá)的布站規(guī)劃和轉(zhuǎn)站方法；張陽[8]對測量區(qū)域劃分、測量特征點集路徑規(guī)劃等進(jìn)行了研究，提高了測量效率；栗輝[9]對測量流程進(jìn)行了優(yōu)化，提高了效率?？梢钥闯觯壳跋嚓P(guān)研究并沒有從原理分析測量場布局規(guī)劃的核心算法。激光雷達(dá)在工程上使用時，往往需要能夠快速、較為精確地確定可行的布局規(guī)劃方案。

目前，尚無廣泛使用的激光雷達(dá)測量布局規(guī)劃軟件，某些激光雷達(dá)廠商開發(fā)了一些適用于特定環(huán)境的激光雷達(dá)布局仿真軟件，但并不開放。本文著重分析激光雷達(dá)布局的理論模型和數(shù)學(xué)建模方法，確定激光雷達(dá)布局的工程可實現(xiàn)方法，以期設(shè)計出具有通用性的激光類測量設(shè)備的布局仿真分析軟件。

1 規(guī)劃約束

激光雷達(dá)在進(jìn)行測量時，受限于自身測量原理和產(chǎn)品空間位置，需要遵守測量一些約束條件。站位規(guī)劃的核心問題就是在這些約束條件下確定激光雷達(dá)的站位數(shù)量和位置布局。

1.1 測量約束

假設(shè)在某項測量活動中，需要測量的點位是Pi（i=1…N），Pi處產(chǎn)品法向為Ni，激光雷達(dá)（理論上該位置應(yīng)該為激光雷達(dá)測頭所在位置，為便于討論，本文不區(qū)分激光雷達(dá)位置和測頭位置，二者只是一個偏移關(guān)系）的參考位置為Q。在測量時，直線段（） 表示了光路，激光雷達(dá)對測量的要求體現(xiàn)在對該直線段的要求。具體地，測量時需要保證以下條件（圖 2）：

滿足以上條件的任何Q都是可以對Pi進(jìn)行測量的。激光雷達(dá)布局就是需要找到滿足所有點位要求的位置，當(dāng)然，可能一個位置無法滿足所有點位的要求，此時就需要多個布局點位。

1.2 碰撞檢測

在幾何約束中，條件距離約束和角度約束是比較容易處理的，而條件干涉約束是比較復(fù)雜的。為了處理碰撞檢測，首先需要將模型表示為一種通用格式，本文選擇了STL格式[10]。該格式用一系列三角面片表示實體，每個面片由3個點表示，結(jié)構(gòu)簡單，易于處理，且大多數(shù)建模軟件都支持這種格式的導(dǎo)出。這種格式雖然丟失了產(chǎn)品數(shù)模的一些信息（如顏色、材料等），但其外形的幾何尺寸都保留了下來，對于激光雷達(dá)而言，最重要的就是其外形結(jié)構(gòu)和尺寸，所以選擇STL是完全能夠滿足使用要求的。

因為在STL格式里，產(chǎn)品是由三角面片表示的，對STL格式進(jìn)行碰撞檢測，本質(zhì)就是對三角面片進(jìn)行碰撞檢測。所以只需要求出直線段與 三角面片是否碰撞即可。

如圖 3所示，三角面片與直線碰撞就是三角面片與直線相交。三角面片的3個點S1、S2、S3確定了一個平面S，平面的法向為，假設(shè)直線段和三角面片交于點C，若激光雷達(dá)與三角面片碰撞，則需要滿足以下條件：

（1）C位于之間。

（2）C位于三角形內(nèi)部。

其中，（1）表示與的夾角為鈍角，可以利用以下方法判斷：

圖1 飛機裝配某站位測量示意圖Fig.1 Diagram of measurement station in aircraft assembly

圖2 約束示意圖Fig.2 Diagram of constraints

圖3 三角網(wǎng)格與直線段相交Fig.3 Intersects of triangle and line

對于（2），C位于三角形內(nèi)部即C和三角面片任一頂點位于該點所對應(yīng)的邊的同側(cè)。點位于直線的哪一側(cè)，可以利用叉積判斷，如對S3點的第3個分量的正負(fù)就表示了其位于的哪一側(cè)。當(dāng)S3與C位于同側(cè)時，有和的第3個分量同號。即：

依次對三角面片的三個點和C做同樣的判斷，就可以判斷點C是否位于三角形內(nèi)部。

利用以上原則就可判斷直線與三角面片是否發(fā)生碰撞。在實際計算時，需要對STL格式的每一個面進(jìn)行判斷。測量規(guī)劃需要在滿足幾何約束的條件下確定激光雷達(dá)的位置，該位置本質(zhì)是一塊空間區(qū)域，但實際計算時，對該區(qū)域進(jìn)行表示是比較困難的，所以一般應(yīng)進(jìn)行簡化。下文將建立該位置的表示方法。

2 測量場數(shù)學(xué)模型

2.1 滿足約束的幾何圖形

假設(shè)待測量點Pi與其法向Ni已知，以Pi為原點，Ni為中心線，θ為頂角的圓錐曲面記為S1。以Pi為原點，L為半徑生成的球面記為S2。則S1與S2的包絡(luò)體Si是一個底部為圓錐面，頂部為球面圍成的幾何體（圖 4），在該幾何體內(nèi)任一點都滿足激光雷達(dá)的距離和角度約束，稱為激光雷達(dá)的可放置區(qū)。

如圖 5所示，假設(shè)L=15，θ=25°，則圓錐底面距離球面的長度為Δ=L–L·cos（θ）≈1.4，該值與L相比較小，所以在粗略計算時，可將Si近似為S1（底部封閉，即為空間圓錐體），由于S1∈Si，這樣做相當(dāng)于減少了激光雷達(dá)的可放置區(qū)，使得計算結(jié)果為可放置區(qū)的子集。

2.2 空間圓錐曲面方程

由上一節(jié)可知，針對任意一點Pi，激光雷達(dá)的可放置區(qū)為空間圓錐體，本節(jié)將建立該區(qū)域的表示方法。假設(shè)圓錐面半頂角為α，則頂點在原點，中心線沿z軸（設(shè)為N′，且為單位向量）的圓錐曲面方程為：

其中，a= cot（α），zmax表示激光雷達(dá)測量半徑?，F(xiàn)將圓錐移動至如圖 6所示新位置，即頂點移動至P，坐標(biāo)為（Px，Py，Pz），中心線變?yōu)镹（m0，n0，p0），則在此新坐標(biāo)系中，為：

其中，N′與N夾角為θ=acos（N′·N），新坐標(biāo)系相當(dāng)于繞著原坐標(biāo)系的ω=N′×N=（–n0，–m0，0）旋轉(zhuǎn)了θ角（并平移了，根據(jù)Rodriguez公式[11]：

其中是ω反對稱矩陣，即：

根據(jù)坐標(biāo)系變換為：

將上式帶入式（10）可求得空間圓錐面，再加上其底面的平面所形成的包絡(luò)體，就是Pi可放置區(qū)域。

2.3 單點規(guī)劃

圖4 激光雷達(dá)可放置區(qū)Fig.4 Laser radar placement area

圖5 區(qū)域簡化Fig.5 Simplification of aera

圖6 空間圓錐曲面Fig.6 Spatial conic surface

為了便于激光雷達(dá)的安裝及測量，一般將激光雷達(dá)直接放置到地面上，其初始放置區(qū)域是一個在平面上的區(qū)域S0。假設(shè)任意點Pi確定的可測量包絡(luò)體為Si，Si與S0的相交區(qū)域Mi（Mi必然是連續(xù)區(qū)域）是滿足Pi點的距離約束和角度約束的放置區(qū)域（暫不考慮幾何約束3）。若Si與S0不相交，表示S0區(qū)域無法測量Pi，需要針對該點另行規(guī)劃測量平面（即不在默認(rèn)的平面上）。

由上一節(jié)得到的空間圓錐曲面方程，該方程與S0平面交線為一圓錐曲線：

激光雷達(dá)在平面上的可測量區(qū)域為各種圓錐曲線圍成的區(qū)域Mi，典型形狀如圖 7所示，為針對單點的激光雷達(dá)可布局區(qū)域。

2.4 多點規(guī)劃

因為單點的可測量區(qū)域為圓錐曲線圍成的，所以多點的可測量區(qū)域是由多段圓錐曲線圍成的區(qū)域。設(shè)Ti,j表示Mi（此處以圓形為示例）與Mj相交區(qū)域，Ti,j,k表示Mi、Mj、Mk相交區(qū)域（圖 8），以此類推。

用T*表示所有相交區(qū)域，所以，進(jìn)行站位規(guī)劃就是選取數(shù)量盡可能少的集合{，…}，使其覆蓋所有Mi。如圖 8所示的激光雷達(dá)布局規(guī)劃的結(jié)果就是T1,2,3和T4,5。

所以，正向計算多個測量點位的激光雷達(dá)布局結(jié)果步驟如下：

（1）針對每個待測量點建立空間圓錐曲面； （2）求所有空間圓錐曲面與測量平面的相交圓錐曲線所圍成的區(qū)域； （3）對所有區(qū)域計算相交情況，得到覆蓋所有區(qū)域的最少數(shù)量的交集。

以上計算過程都是非常復(fù)雜的，特別是計算多段圓錐曲線的相交結(jié)果，在實際工程中難以處理。而在實際工程應(yīng)用中，為滿足現(xiàn)場裝配要求，往往希望快速得到可行的激光雷達(dá)布局方案，所以需要一個簡捷快速的方法。雖然正向求解是非常復(fù)雜的，但驗證一個點是否滿足激光雷達(dá)布局結(jié)果卻相對簡單，下文將基于這種思路提出一種測量規(guī)劃方法。

圖7 單點可測量區(qū)域Fig.7 Measurable area of single point

圖8 相交區(qū)域Fig.8 Intersection area

圖9 網(wǎng)格劃分Fig.9 Division of grid

3 基于網(wǎng)格劃分的測量規(guī)劃

基于網(wǎng)格劃分的測量規(guī)劃，不直接求解規(guī)劃點，而是將規(guī)劃平面劃分成網(wǎng)格點，再對各個點進(jìn)行驗證，直到滿足所有測量點的測量要求。

3.1 基于網(wǎng)格法的逆向求解

正向求解是困難的，但給定一個點，對該點校驗是非常容易的。為此將激光跟蹤儀放置平面劃分為網(wǎng)格點（圖 9），針對每個網(wǎng)格點進(jìn)行反向校驗，驗證該點對任意測量點是否可用。具體如下：

（1）對網(wǎng)格點進(jìn)行幾何約束校驗，將結(jié)果放入矩陣W，Wi,j定義如下：

（2）計算W每一行的和，值最大的那一行（＞0）所對應(yīng)的點Pi就是一個規(guī)劃點。該行和最大，表示網(wǎng)格點Pi能夠滿足較多測量點需求。

（3）將W中，由（2）計算的那一行和其該行中所有值為“1”的列刪除。這表示網(wǎng)格點Pi對應(yīng)的測量點已經(jīng)得到規(guī)劃，只需要考慮余下的點；

（4）返回（2），直到W行和為零。

在計算過程中，若W行和為零，說明所設(shè)計的網(wǎng)格點無法滿足這些計算點的要求，此時需要重新規(guī)劃網(wǎng)格點。以上計算過程，本質(zhì)是采用貪心的算法，逐步在網(wǎng)格中查找滿足要求的規(guī)劃點位。

3.2 初始網(wǎng)格劃分

由以上算法可以看出，初始的網(wǎng)格點的選擇十分重要，可以通過以下方法選擇初始網(wǎng)格點。

對于任意待測量點P（x0，y0，z0），其法向為Ni，其可測量區(qū)域可表示為圖 10，其側(cè)面為圓錐曲面，頂部為圓弧。任取可測量區(qū)域內(nèi)一點，令r表示P至該點的距離（r＜L），m為單位向量，表示P到該點的方向，且m滿足m·Ni＜ cos（θ）。

則圓錐體內(nèi)任一點的參數(shù)化方程f（x，y，z）：

設(shè)激光雷達(dá)放置平面方程S0：ax+by+cz+d=0，以上點還必須滿足該平面約束。由于m受兩個方程約束（長度為1且與Ni夾角小于θ），所以點的參數(shù)化方程只有兩個自由變量（r和mx或my）。對這兩個變量進(jìn)行離散掃描，就可以得到激光雷達(dá)在S0上的可放置點，該點已經(jīng)滿足了所有約束。

在掃描時，可令m為驅(qū)動變量。首先令m=Ni，得到可測量區(qū)域中心點位置。然后令m·Ni= cos（θ）且mx=0，計算得到my（因?qū)ΨQ性一般為兩個）和r，由此得到可測量區(qū)域的兩個點。對應(yīng)的，再令my=0，可再得到兩個點。實際上，該過程類似于手電筒將光照射到了墻上（圖 11）。計算得到的5個點分別位于投影的中心和四周，可依次對初始網(wǎng)格進(jìn)行劃分。值得注意的是，根據(jù)2.3節(jié)的理論分析，投影可能不是橢圓，但投影點依然位于邊界上。

對所有點進(jìn)行相同的離散掃描，就可以得到所有點對應(yīng)的測量點的初始值。再對這些初始點進(jìn)行綜合并做以上的逆向求解，就可以確定最終激光雷達(dá)的布局。

圖10 圓錐曲面示意圖Fig.10 Conical surface

圖11 可測量區(qū)域的投影Fig.11 Projection of measurable area

圖12 測量試驗Fig.12 Measurement experiment

4 測量規(guī)劃試驗

為驗證以上設(shè)計的可行性，設(shè)計如下試驗。如圖12所示，某曲面上有4個點需要測量，曲面前面有一個可能遮擋的平面。此處為簡化起見，將平面劃分為兩個三角面片。需要測量4個測量點與三角形面片數(shù)據(jù)如表 1和表 2所示。同時將規(guī)劃平面劃分為網(wǎng)格，取部分網(wǎng)格點如表 3所示（受限于篇幅，本文沒有采用3.2節(jié)的方法進(jìn)行初始網(wǎng)格點的選取）。

假設(shè)激光雷達(dá)距離限制L=15000mm，角度限制θ=80°，對于網(wǎng)格點Q1，其計算結(jié)果如表 4所示。

表1 曲面上需要測量的點的坐標(biāo)及法向Table 1 Coordinates and normal direction of points to be measured on curved surface mm

表2 面片點坐標(biāo)Table 2 Point coordinates of patched surface mm

表3 網(wǎng)格點Table 3 Points of grid mm

可見對于Q1而言，無法滿足P4的測量要求，在后續(xù)遍歷中可發(fā)現(xiàn)，Q4滿足P4的測量要求，所以這種情況下，激光雷達(dá)的站位布局為點Q1、Q4。

5 結(jié)論

在飛機裝配的測量活動中，往往有大量數(shù)據(jù)需要測量，所以必須在測量前規(guī)劃好測量設(shè)備的位置，以便在盡可能少的工位里以高效率、低誤差完成測量。本文基于幾何方法，通過空間圓錐曲面圍城的包絡(luò)體表示激光雷達(dá)布局區(qū)域，以圖形集合的手段求解單點/多點規(guī)劃結(jié)果，從理論角度探討了激光雷達(dá)布局方法。但受限于求解的復(fù)雜性，又提出了基于網(wǎng)格劃分的反解法，該方法計算過程易于工程實現(xiàn)。相關(guān)研究內(nèi)容也可應(yīng)用于其他類似的測量設(shè)備的布局規(guī)劃。

表4 計算結(jié)果Table 4 Calculation results