函數(shù)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

楊寒彪，楊忠強(qiáng)

（1.五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020；2.汕頭大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

1 引 言

函數(shù)空間是眾多數(shù)學(xué)分支的研究對(duì)象，例如，泛函分析，復(fù)分析，拓?fù)鋵W(xué)等.一般來說，函數(shù)空間由一族函數(shù)的集合上賦予各種結(jié)構(gòu)后得到.例如，賦予代數(shù)結(jié)構(gòu)后可以得到向量空間，賦予度量和拓?fù)浜罂梢缘玫蕉攘靠臻g和拓?fù)淇臻g.也可以把線性結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)結(jié)合后得到拓?fù)渚€性空間等.

本文希望總結(jié)一些我們了解的關(guān)于函數(shù)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題的答案.這個(gè)問題的一般形式為：設(shè)X，Y是兩個(gè)賦予一定結(jié)構(gòu)的集合，例如，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，線性結(jié)構(gòu)等.F（X，Y）表示從X到Y(jié)的一些映射所構(gòu)成的集合，例如，連續(xù)映射等.我們希望探討在F（X，Y）上賦予一個(gè)自然的拓?fù)洇：蟮玫酵負(fù)淇臻gFΓ（X，Y）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即，證明這個(gè)空間同胚于哪個(gè)經(jīng)典的空間.當(dāng)然，為了完成這個(gè)工作，對(duì)空間FΓ（X，Y）的性質(zhì)的探討也是必不可少的.在幾乎所有的情況下，空間FΓ（X，Y）都是無限維的（當(dāng)Y是零維拓?fù)淇臻g時(shí)，往往是例外），所以無限維拓?fù)鋵W(xué)的方法對(duì)解決這個(gè)問題是舉足輕重的，這個(gè)問題也構(gòu)成了無限維拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿χ?

本文中，R是實(shí)數(shù)集合并賦予通常拓?fù)浜托?，I＝[0，1]，N＝{1，2，…}是R的子集，并遺傳R的拓?fù)浜托?，Rn是n-維Euclidean空間.

我們定義幾個(gè)常見的無限維空間，這些空間是我們需要的典型空間和模型空間.Hilbert方體是指乘積空間Q＝[－1，1]N.進(jìn)一步，我們能定義它的以下子空間：

2 同胚于?2的空間

設(shè)X是緊度量空間，Cu（X，R）表示從X到R的全體連續(xù)函數(shù)且賦予一致收斂拓?fù)?，那么，眾所周知，Cu（X，R）是一個(gè)可分的Banach空間.

我們首先看Fréchet提出的一個(gè)問題：

問題 2.1.（Fréchet問題）?2≈RN是否成立

Anderson在文獻(xiàn)[1]中證明了?2≈RN.從而肯定的回答Fréchet問題.Anderson論文的關(guān)鍵之處是給出了Hilbert方體Q的吸收子等概念，為無限維拓?fù)涞膭?chuàng)立開啟了大門.所以，我們有必要介紹一下這個(gè)概念.

首先，我們介紹Z-集的概念，Z-集是無限維拓?fù)鋵W(xué)的基本概念之一，由Anderson在文獻(xiàn)[2]中給出.其來源于幾何拓?fù)鋵W(xué)，是有限維拓?fù)鋵W(xué)中邊界集在無限拓?fù)鋵W(xué)的對(duì)應(yīng)概念.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A是X中的閉集，若對(duì)X的任意開覆蓋U，存在連續(xù)映射f:X→XA使得（f，idX）?U，則稱A是X中的Z-集，這里idX表示X上的恒等映射，（f，idX）?U表示對(duì)任意的x∈X，存在U∈U使得f（x），idX（x）∈U.這時(shí)，我們稱f和idX是U接近的.用Z（X）表示X中所有Z-集構(gòu)成的集族.可以表示為可數(shù)多個(gè)Z-集之并的集稱為Zσ-集.文獻(xiàn)[1]證明了Q中的Z-集有下面的重要性質(zhì)：

定理2.1.（Q中Z集的無扭性質(zhì)） 設(shè)A，B∈Z（Q）且A≈B，則存在同胚h(yuǎn):Q→Q使得 h（A）＝B，即（Q，A）≈（Q，B）.

定理2.2.設(shè) L，M是Q的兩個(gè)吸收子，則（Q，L）≈（Q，M）.

Anderson還證明了 B（Q）和Σ都是Q的吸收子.因此（Q，B（Q））≈（Q，Σ）.利用上面的結(jié)論，Anderson在文獻(xiàn)[1]給出了下面的結(jié)果：

定理 2.3.（Anderson定理）?2≈RN.

幾乎同時(shí)，Kadec在文獻(xiàn)[4]證明了，所有與?2不同胚的可分無限維Banach空間都同胚于RN，于是結(jié)合二者我們可以得到：

定理2.4.（Anderson-Kadec定理）所有可分無限維Banach空間都同胚于RN.

推論2.1.若X是無限緊度量空間，則Cu（X，R）≈RN.

進(jìn)一步，定理2.4被推廣為：

推論2.2.所有可分的，無限維的，拓?fù)渫陚涞木植客雇負(fù)渚€性空間都同胚于RN.

上述推論中，局部凸的條件能否去掉曾經(jīng)是無限維拓?fù)鋵W(xué)研究的最重要的未解決問題之一.1994年，Cauty在文獻(xiàn)[5]中給出了一個(gè)例子說明了這個(gè)條件不可去掉.

3 Hilbert方體流形的拓?fù)涮卣骷捌鋺?yīng)用

我們知道Hilbert方體Q與Hilbert空間?2是兩個(gè)最重要的無限維空間.更一般的，我們可以定義Q-流形與?2-流形.設(shè)X是可分度量空間，若X存在一個(gè)開覆蓋U使得U中成員都是同胚子Q（相應(yīng)的?2）中一個(gè)開集，則稱X是Q-流形（相應(yīng)的?2-流形）.上世紀(jì)70年代在60年代工作的基礎(chǔ)上對(duì)Q-流形和?2-流形進(jìn)行了深入的研究得到了很多深刻的結(jié)果.由于這些工作使得無限維拓?fù)鋵W(xué)登堂入室了，也對(duì)確定函數(shù)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題起到非常大的作用.不相交的胞腔性質(zhì)（下面簡寫為DCP）是Toruńczyk在文獻(xiàn)[6]中引入的.設(shè)（X，d）是度量空間，若對(duì)任意的自然數(shù)n，對(duì)任意的連續(xù)映射f:In×{0，1}→X，X 的任意開覆蓋 U，存在連續(xù)映射 g:In×{0，1}→X 使得（f，g）?U且g（In×{0}）∩g（In×{1}）＝，則稱X有DCP.1971年，Anderson和Chapman在文獻(xiàn)[7]中把定理2.1推廣到Q-流形上，得到了Q-流形中Z集的無扭定理.

定理3.1.（Q-流形中Z集的無扭性質(zhì)）設(shè)M是緊的Q-流形，A是緊空間.F:A×I→M是一個(gè)同倫且F0和F1是Z-嵌入（即他們都是嵌入且其像是M中Z-集），則存在同倫H:M×I→M使得：

（i）.H0＝idM；

（iii）.對(duì)任意的t∈I，Ht:M→M是同胚.

對(duì)于空間Q＝M中任意兩個(gè)同胚的Z-集C，D，我們一定能找到一個(gè)滿足定理3.1條件的A＝C和同倫F:A×I→Q使得F（0A）＝C且F（1A）＝D，從而定理3.1確實(shí)推廣了定理2.1.定理3.1說明了M中兩個(gè)“同倫”的Z-集（即定理3.1的假定中的F的存在性）F（0A）和F（1A）可以通過一個(gè)M上同胚實(shí)現(xiàn).但是不同于Q，定理2.1對(duì)Q-流形M是不成立的.即若C，D是M中兩個(gè)同胚的Z-集，則未必有（M，C）≈（M，D）.例如，M＝Q⊕Q×S1，這里S1是單位圓周.任取點(diǎn)p∈Q和q∈Q×S1，則{p}≈{q}且他們都是M中的Z-集，但顯然（M，{p}）（M，{q}）.1969年，Anderson和 Schori在文獻(xiàn)[8]中證明了Q-流形的穩(wěn)定定理：

定理3.2.（Q-流形的穩(wěn)定定理）設(shè)M是緊的Q-流形，則M×Q≈M.

定理3.3.令M是緊的Q-流形，X是一個(gè)ANR，f:M→X是胞腔像的，則f可以用同胚逼近的充分必要條件是X有DCP.

利用映射梯的工具，Edward證明了每一個(gè)緊的ANR與Q的乘積都是Q-流形在胞腔像映射下的像（Miller-West定理），每一個(gè)緊的ANR都與一個(gè)多面體同倫等價(jià).最后，Toruńczyk在文獻(xiàn)[9]（參考文獻(xiàn)[10]）中證明了劃時(shí)代的結(jié)果：

定理3.4.（Toruńczyk Q-流形特征定理）設(shè)X是緊度量空間，則X是Q-流形當(dāng)且僅當(dāng)X是有DCP的ANR.

定理3.5.（推論）設(shè)X是度量空間，則X≈Q當(dāng)且僅當(dāng)X是有DCP的AR.

對(duì)于U?X，令

由{U-，U＋:U 在 X 中開}在 Cld（X）生成的拓?fù)浞Q為 Viectoris拓?fù)?，記?CldV（X）.由{U-，（XC）＋:U在X中開且C在X中緊}在Cld（X）生成的拓?fù)浞Q為Fell拓?fù)?，記為CldF（X）.幾乎與Toruńczyk給出他的特征定理的同時(shí)，Curtis和Schori在文獻(xiàn)[11]利用West的一個(gè)定理證明了超空間定理：

定理3.6.（Curtis-Schori-West超空間定理）.設(shè)X是度量空間，CldV（X）≈Q當(dāng)且僅當(dāng)X是非平凡的Peano連續(xù)統(tǒng)，即，連通的，局部連通的緊度量空間.

在文獻(xiàn)[12]中，我們把這個(gè)定理推廣的非緊的度量空間，證明了下面的定理：

進(jìn)一步，如果X是可數(shù)多個(gè)有限維的閉子空間的并，那么有

在文獻(xiàn)[13]中，Banakh和Voytsitskyy回答了我們的一個(gè)問題，證明了：

定理3.8.設(shè)X是度量空間，那么

當(dāng)且僅當(dāng)X是局部緊的，非緊的，局部連通的，不含緊連通分支的度量空間且可以表示為可數(shù)多個(gè)有限維的閉子空間的并.

蘇軾（宋）有詩云：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”.當(dāng)我們視X中的一個(gè)閉集為它的特征函數(shù)后，我們可以認(rèn)為定理3.6，定理3.7和定理3.8給出了從X到{0，1}的上半連續(xù)函數(shù)的子集在一種自然的拓?fù)湎碌耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu).這個(gè)觀點(diǎn)對(duì)于理解后面兩節(jié)的內(nèi)容是有用的.

4 HIilbert空間?2-流形的拓?fù)涮卣骷捌鋺?yīng)用

進(jìn)一步，Toruńczyk在文獻(xiàn)[14]（參考文獻(xiàn)[10]）中給出了類似于定理3.5的?2-流形的特征定理.首先，我們需要一個(gè)定義.設(shè)X是可分度量空間，我們說X有強(qiáng)離散性質(zhì)是指對(duì)X的任意開覆蓋U，對(duì)于任意的連續(xù)映射f:Q×N→X，存在連續(xù)映射g:Q×N→X 使得（f，g）?U且{g（Q×{n}）:n∈N}是 X 中的離散子集族.

定理4.1.（Toruńczyk ?2-流形特征定理）可分度量空間X是?2流形當(dāng)且僅當(dāng)X是拓?fù)渫陚涞挠袕?qiáng)離散逼近性質(zhì)的ANR.

利用上面特征定理，我們可以確定很多函數(shù)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).例如，在文獻(xiàn)[15]，酒井證明了：

定理4.2.令X是非平凡的緊度量空間，Y是可分完備的ANR且不含孤立點(diǎn)，那么，賦予緊開拓?fù)涞暮瘮?shù)空間Cco（X，Y）是一個(gè)?2-流形.

設(shè)X是度量空間，對(duì)一個(gè)上半連續(xù)映射f:X→I，我們定義下面的概念：

（2）如果存在x0∈X使得f（x0）＝1，那么稱f是正規(guī)的；

（3）假設(shè)X＝Rn.如果對(duì)于任意的α∈（0，1]，[f]α＝{x∈Rn:f（x）≥α}是凸集，那么稱f是模糊凸的；

（4）假設(shè)X＝Rn.對(duì)任意的α∈（0，1]，[f]α星型集，那么稱f是模糊星型集.

基于文獻(xiàn)[16]的思想，我們能定義下面的概念.如果上半連續(xù)函數(shù)f:X→I滿足上面的（1），那么，我們稱f為模糊緊統(tǒng).用USCC（X，I）表示X的所有模糊緊統(tǒng).注意當(dāng)X是緊的，那么，USCC（X，I）＝USC（X，I）.如果上半連續(xù)函數(shù) f:Rn→I滿足上面的（1）-（3）（相應(yīng)的（1），（2），（4）），那么我們稱 f是一個(gè)模糊數(shù)（模糊星型數(shù)）.設(shè) Y?Rn是閉凸集且包含原點(diǎn)O，令K（Y）（SO（Y））表示所有支撐包含在Y中的模糊數(shù)（以O(shè)為每一個(gè)[f]α的星心的模糊星型數(shù)）.

對(duì)于 f，g∈USCC（X，I），令

end（f）＝{（x，t）∈X×I:t≤f（x）}，send（f）＝end（f）∩（suppf×I）.

使用他們，我們能夠在USCC（X，I）上定義三種度量：

D（f，g）＝dH（endf，endg）＜∞，

D'（f，g）＝dH（sendf，sendg）＜∞.

對(duì)于p≥1，令

這里 dH是 Hausdorff度量.這樣，（USCC（X，I），D），（USCC（Rn），D'），（K（Y），Lp）等是度量空間.

在文獻(xiàn)[17-18]中，我們證明了：

定理4.3，令Y是Rn中包含原點(diǎn)的非平凡凸閉子集，那么

（1）（K（Y），D）≈Q?（SO（Y），D）≈Q?Y 是緊的；

（2）（K（Y），D）≈∑?（SO（Y），D）≈∑?Y是非緊的.

在文獻(xiàn)[19-20]中，劉文娟和張麗麗證明了：

定理4.4.令Y是Rn中包含原點(diǎn)的非平凡凸閉子集，那么（K（Y），D'）≈（SO（y），D'）≈?2.

在文獻(xiàn)[21]中，我們證明了：

定理4.5.令Y是Rn中包含原點(diǎn)的非平凡凸閉子集，那么

（1）（K（Y），Lp）≈Q?（SO（Y），Lp）≈Q?Y 是緊的；

（2）（K（Y），Lp）≈∑?（SO（Y），Lp）≈∑?Y是非緊的.

我們在文獻(xiàn)[22]證明了：

定理4.6.如果X是無限的局部緊非緊可分度量空間，那么

（USCC（X，I），D）≈∑.

張麗麗和Dijkstra在文獻(xiàn)[23]證明了：

定理4.7.令X是非平凡的緊的，連通的，局部連通的度量空間或者X＝?2或者X＝Rn.那么

（USCC（X，I），D'）≈?2.

劉文娟等在文獻(xiàn)[24]推廣了這個(gè)結(jié)果，證明了下面的定理：

定理4.8.令X是非平凡的，連通的，局部連通的，可分度量空間.那么

（USCC（X，I），D'）≈?2.

下面給出幾個(gè)與拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)有關(guān)的函數(shù)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).設(shè)X是緊度量空間，對(duì)任意的 f∈C（X，X）和 X 的任意有限開覆蓋 U，V，f－1（U）和 U∨V＝{U∩V:U∈U，V∈V}也是X的有限開覆蓋.用#（U）表示U的子覆蓋的最小個(gè)數(shù).那么，我們能夠定義f關(guān)于覆蓋U的拓?fù)潇貫?/p>

進(jìn)一步，f的拓?fù)潇乇欢x為

對(duì)于 α∈[0，∞]，我們使用H＞（aX），H≤（aX）等表示空間C（uX，X）中所有拓?fù)潇卮笥讦?，小于等于α的映射組成的子空間等.

如果對(duì)任意的非空開集對(duì)U，V，都存在n∈R使得U∩f－（nV）≠，那么我們稱f是傳遞映射.用E（X）表示所有傳遞映射構(gòu)成的Cu（X，X）的子空間，表示其閉包.

在文獻(xiàn)[25]，作者們證明了：

定理4.9.對(duì)任意的α∈[0，＋∞]，我們有

H＞a（I）≈H≥a（I）≈?2.

因此，我們提出下面的問題：

問題4.1.確定空間H＝∞（I），H＜a（I），H＝0（I）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

在文獻(xiàn)[26]，我們證明了：

定理4.10.

5 非拓?fù)渫陚涞臒o限維流形

Toruńiczyk Q-流形特征定理（定理 3.4）和 Toruńiczyk ?2-流形特征定理（定理4.1）本質(zhì)上依賴于這兩種流形的完備性.但是，更早的Q中的吸收子并不是拓?fù)渫陚涞亩哂型負(fù)渖系奈ㄒ恍?，即，定?.2成立.受此啟發(fā)，人們開始研究一般的Q中的吸收子概念并證明其唯一性.設(shè)C是一個(gè)拓?fù)涞?，閉遺傳的空間類，這里，所謂拓?fù)涞氖侵溉绻鸛∈C且X≈Y，那么，Y∈C；所謂閉遺傳的是指如果X∈C且Y是X的閉子空間，那么，Y∈C.令

（M0，C）＝{（M，C）∈M0×C:M是緊度量空間且C是M的子空間}.

（i）.Y∈C，

（ii）.Y包含在X的一個(gè)Zσ-集中，

（iii）.（X，Y）是（M0，C）-強(qiáng)萬有的.

那么，我們稱（X，Y）是（M0，C）-吸收子.

設(shè)X是可分可度量化空間.如果對(duì)任意包含X作為子空間的可分度量空間Y，X都是Y的Fσ-子集，那么，我們稱X是絕對(duì)Fσ-空間.用Fσ記所有絕對(duì)Fσ空間構(gòu)成的空間類.同理，可以定義絕對(duì) Fσδ-空間和 Fσδ-空間類.可以證明，（M0，F(xiàn)σ）- 吸收子就是第二節(jié)定義的Q中的吸收子，而且定理2.2可以推廣為：

定理 5.1.如果（X，A）和（Y，B）都是（M0，C）-吸收子，那么，

（X，A）≈（Y，B）.

1991年，在文獻(xiàn)[27]，Dobrowolski等證明了：

定理 5.2.（Dobrowolski-Marciszewski-Mogilski定理）（Q，c0）是（M0，F(xiàn)σδ）-吸收子.如果X是可數(shù)的非離散的度量空間，那么，賦予點(diǎn)態(tài)收斂拓?fù)涞暮瘮?shù)空間Cp（X，R）同胚于c0.

自2005年以來，我們開始研究一種由超空間拓?fù)鋵?dǎo)出的函數(shù)空間.對(duì)于Tychonoff空間 X 和上半連續(xù)函數(shù) f：X→I，end（f）∈Cld（X×I）.對(duì)任意的 A∈USC（X，I），令

endA＝{end（f）：f∈A}?Cld（X×I）.

于是，作為超空間CldF（X×I）的子空間，我們能夠得到函數(shù)空間endFA.

下面我們主要考慮 A＝USC（X，I）和 A＝C（X，I）的情況.

在文獻(xiàn)[28]，酒井和上原證明了下面的定理：

定理5.3.如果X是無限的緊的度量空間，那么，endFUSC（X，I）≈Q.

相比空間endFUSC（X，I）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題，我們更關(guān)注空間endFC（X，I）和空間對(duì)（endFUSC（X，I），endFC（X，I））的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題，這個(gè)無疑也更困難.從2005 年到 2018年，我們經(jīng)過一系列的文章探討了空間對(duì)（endFUSC（X，I），endFC（X，I））的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題.為此，我們在文獻(xiàn)[29]中證明了下面的工具性定理：

定理 5.4.令（X，Y，Z）是 3元空間組，那么（X，Y，Z）≈（Q，Σ，c0）的充分必要條件是：

（1）.X≈Q，

（2）.Y可以寫成滿足下面條件的可數(shù)個(gè)子集（Yn）n之并：

（a）. 對(duì)任意的 n，Yn∈Z（Yn＋1）∩Z（X），

（b）. 對(duì)任意的 n，（Yn，Yn∩Z）是強(qiáng)（M0，F(xiàn)σδ）-萬有的，

利用此，最終證明了下面的定理，見文獻(xiàn)[29-36]：

定理5.5.設(shè)X是度量空間，那么，endFC（X，I）可度量化的充分必要條件是X是局部緊可分可度量化的（后來我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)簡單結(jié)果是文獻(xiàn)[37]中結(jié)論（見定理5.5）的推論）.這時(shí)有

注意到，上面最后一個(gè)結(jié)論成立的必要條件是X是可度量化的，因此，上面定理中的所有條件也是必要的.但是，X是可度量化的并不是endFC（X，I）是可度量化的必要條件！事實(shí)上，在文獻(xiàn)[37]中，McCoy和Ntantu證明了：

定理5.6.如果X是Tychonoff空間，那么，endFC（X，I）是可度量化的充分必要條件是X滿足下面的條件：

（i）.X是弱局部緊的，即，對(duì)任意的緊集K，存在開集U使得是緊的且K?；

（ii）.X是半緊的，即，存在可數(shù)緊集族C使得任意的緊集都包含在C的一個(gè)成員中；

利用這個(gè)結(jié)論，我們在2014-2017年證明了下面的定理，見文獻(xiàn)[38-41].

定理5.7.設(shè)X是k-空間且endFC（X，I）是可度量化的，那么

和定理5.5不同，X是k-空間并不是endFC（X，I）是可度量化的必要條件.事實(shí)上，可以證明，當(dāng)X變化時(shí)，可度量化的endFC（X，I）有多達(dá)2c個(gè)互不同胚的空間（相比之下，如果我們要求X是k-空間，由定理5.7，可度量化的endFC（X，I）僅有可數(shù)個(gè)互不同胚的空間，非平凡的情況僅有兩個(gè)）.因此，完全給出endFC（X，I）的拓?fù)浞诸愂遣豢赡艿模?/p>

但是，這個(gè)課題仍然有很多問題可以研究.例如，令βN是N的Cěch-Stone緊化，q∈βNN，那么，商空間Xq＝（I⊕N∪{q}）/1＝q滿足endF（Xq，I）是可度量化的，當(dāng)然，

Cp（N∪{q}，I）也是可度量化的，我們能提出如下問題：

問題5.1.給出空間Cp（N∪{q}，I）和空間endF（Xq，I）的關(guān)系，是否有Cp（N∪{q}，I）≈endF（Xq，I）？

2015年，在文獻(xiàn)[42]，楊寒彪等推廣了定理5.5，得到了函數(shù)空間的值域?yàn)閐endrite時(shí)的對(duì)同胚性質(zhì)，證明了下面的定理：

定理5.8.令X是僅包含有限孤立點(diǎn)的緊可度量化空間，Y是dendrite（不包含閉環(huán)的皮亞諾連續(xù)統(tǒng)）.則：

（endFUSC（X，Y），endFC（X，Y））≈（Q，c0）.

2020年在文獻(xiàn)[43]，楊寒彪等推廣了定理5.8，得到了函數(shù)空間的值域?yàn)闃洳⑶移滟x予的方向與定理5.8相反時(shí)候的同胚性質(zhì)，證明了下面的結(jié)論：

定理 5.9.令 X 是皮亞諾連續(xù)統(tǒng)，Y 是包含 n 個(gè)分支{S1，S2，···，Sn}的樹.則：

這里CUP（Si）＝{f∈C（X，T）:maxf（X）∈Si}，這里endFCUP（Si）是可縮空間.

越野在文獻(xiàn)[44]中應(yīng)用文獻(xiàn)[35]的思想證明了下面的結(jié)論：

定理5.10.令X＝（X，d，M ，μ）是一個(gè)度量測度空間，其中，X＝（X，d）是可分的局部緊度量空間，M 包含X的所有Borel集，μ:M→[0，＋∞]是滿足一定條件的測度，那么，（UC（X，R），Lp）≈c0，這里，UC（X，R）是由 X 到 R 的所有一致連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的f，g∈UC（X，I），