周潘岳

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng) 414006)

矩陣合同與矩陣相似是高等代數(shù)中兩個(gè)很重要的概念.在現(xiàn)有的教材和課堂教學(xué)中,很少把這兩個(gè)概念放在一起來(lái)討論.本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn),從矩陣合同與矩陣相似的定義出發(fā),進(jìn)行類比討論,并結(jié)合例子研究它們之間的關(guān)系.最后,將講解過(guò)程錄制成微課的形式,讓學(xué)生更加清晰明了地掌握該知識(shí)點(diǎn).

1 定義剖析

對(duì)矩陣合同與矩陣相似的定義分別進(jìn)行闡述,并加以剖析,以便于比較兩者的異同,深刻理解這兩個(gè)概念.

矩陣合同設(shè)A,B是數(shù)域P上的n×n矩陣,如果存在數(shù)域P上的可逆n×n矩陣C,使得B=CTAC,則稱矩陣A與B是合同的.

我們從定義出發(fā)來(lái)深刻理解這個(gè)概念.

(1) 定義中對(duì)矩陣C只要求存在,并沒(méi)有要求唯一.

(2) 兩個(gè)矩陣合同的前提條件是它們必須是同階方陣.

(3) 在矩陣合同的定義中并沒(méi)有要求矩陣是對(duì)稱的,即兩個(gè)不對(duì)稱的矩陣也可能是合同的.

(4) 從定義中可以看出,如果兩個(gè)矩陣是合同的且其中一個(gè)矩陣是對(duì)稱的,那么另一個(gè)矩陣也一定是對(duì)稱的.這個(gè)條件作為兩個(gè)矩陣合同的必要條件往往用來(lái)證明兩個(gè)矩陣不是合同的.

在實(shí)踐教學(xué)中,學(xué)生總是很自然地認(rèn)為合同矩陣一定是對(duì)稱矩陣.這是因?yàn)楹贤仃嚨亩x來(lái)源于二次型,任意二次型經(jīng)過(guò)一個(gè)非退化的線性替換化為另一個(gè)二次型,這兩個(gè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣就是合同的,而恰巧這兩個(gè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣也是對(duì)稱的.因此,學(xué)生總是錯(cuò)誤地認(rèn)為“若兩個(gè)矩陣合同那么這兩個(gè)矩陣一定都是對(duì)稱矩陣”.事實(shí)上,這只是一個(gè)特例,矩陣合同的定義中并沒(méi)有要求兩個(gè)矩陣一定是對(duì)稱矩陣.那么,在講解矩陣合同的定義時(shí)教師應(yīng)立即給出具體的例子以消除學(xué)生的誤解.

矩陣相似設(shè)A,B是數(shù)域P上的n×n矩陣,如果存在數(shù)域P上的可逆n×n矩陣C,使得B=C-1AC,則稱A與B是相似的.

我們也從定義出發(fā),來(lái)深刻理解這個(gè)概念.

(1) 定義中矩陣C只要求存在,并沒(méi)有要求唯一.

(2) 兩個(gè)矩陣相似的前提條件是它們必須是同階方陣.

(3) 從定義中可以看出,如果兩個(gè)矩陣是相似的,則它們的行列式相等.但兩個(gè)矩陣合同不一定滿足這個(gè)條件.

2 矩陣合同與矩陣相似的關(guān)系

矩陣合同和矩陣相似的定義看似非常相似,僅在滿足的條件上有差別.那么很自然會(huì)思考,它們之間是否有一定的關(guān)系或是能否互相推出呢？這是值得探討和研究的問(wèn)題.分析兩個(gè)相似概念之間的關(guān)系也是更好地理解定義的一種常用的方法.

(1) 矩陣合同是否一定矩陣相似呢？

(2) 矩陣相似是否一定矩陣合同呢？

方程組中的第二個(gè)式子減去第三個(gè)式子,即得|C|=ad-bc=3,進(jìn)而有 |C|2=9.由于CTAC=B,則有這與 |C|2=9矛盾.因此假設(shè)不成立,即A與B不是合同的.從這個(gè)例子可以看出,兩個(gè)矩陣相似但不一定合同.

綜上可知,矩陣合同與矩陣相似并沒(méi)有必然的聯(lián)系.

(3) 特殊矩陣之間的合同與相似

眾所周知,任意一個(gè)方陣一定與本身既是合同的也是相似的.進(jìn)一步我們探究滿足什么條件的兩個(gè)矩陣既是合同的又是相似的？

定理如果A,B是n階實(shí)對(duì)稱矩陣且它們有相同的特征值,則矩陣A與B既合同又相似.

證明不妨設(shè)A,B的特征值為λ1,λ2,…,λn,因?yàn)锳,B均是實(shí)對(duì)稱矩陣,則存在正交矩陣C1,C2,使得

令C=C1,因?yàn)镃2是正交的,那么也是正交的.因?yàn)?、C1都是正交的,則C是正交的,從而有C-1AC=CTAC=B.因此A與B既合同又相似.

3 結(jié)論

高等代數(shù)課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一,也是考研的必考科目.而目前課程的現(xiàn)狀是課時(shí)緊,任務(wù)重.在有限課時(shí)內(nèi)將所有內(nèi)容按部就班地講完已不易,更不用說(shuō)再講解這些概念之間的聯(lián)系與區(qū)別.但將知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)學(xué)習(xí)既可以加深印象又可以更好地理解,還能將零散的知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái).針對(duì)現(xiàn)狀,筆者建議將以上內(nèi)容錄制成微課視頻,讓學(xué)生利用課余的時(shí)間觀看學(xué)習(xí),作為課堂講解的補(bǔ)充.如此既可以節(jié)約上課時(shí)間,又能留時(shí)間給學(xué)生自己思考,鍛煉學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的能力,激發(fā)他們學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,達(dá)到雙贏的效果.