王 煜，李佳鑫

(青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，青海西寧 810008)

1 問題的提出

數(shù)列素養(yǎng)(Sequence literacy)是大數(shù)據(jù)背景下數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面，在新課標(biāo)(《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》)下數(shù)列作為一類能解決實(shí)際應(yīng)用問題的特殊函數(shù)，被編排在選擇性必修課程中的函數(shù)主題一欄，該選擇性必修課程中包含函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)這四個(gè)主題[1].函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，函數(shù)思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)中，而數(shù)列位于函數(shù)主題中，可見數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位[2].所以提升學(xué)生的數(shù)列素養(yǎng)，可以有效地幫助他們分析和解決日常生活中簡單的實(shí)際數(shù)學(xué)問題.

數(shù)列知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)成、發(fā)展和完善的整個(gè)過程[3]，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的實(shí)質(zhì).對(duì)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)而言，喻平教授創(chuàng)造性地提出了數(shù)學(xué)學(xué)科特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)[3，4].在認(rèn)識(shí)CPFS結(jié)構(gòu)前，我們首先要了解什么是圖式？圖式是命題或相似事物的知覺特征的編碼形式，它是將觀念按屬性組合的知識(shí)儲(chǔ)存方式[5].南京師范大學(xué)的喻平教授在多年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，通過大量實(shí)證研究，以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理理論框架為基礎(chǔ)，提出概念域、概念系、命題域和命題系四個(gè)理論[6]，這四部分形成一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，隨后將該認(rèn)知結(jié)構(gòu)取其英文首字母命名為CPFS結(jié)構(gòu)[7].并于2003年提出：一切與數(shù)學(xué)概念C等價(jià)解釋的圖式稱作概念C的概念域[8]；和概念域相似的是，一個(gè)典型命題A的命題域稱作一個(gè)等價(jià)命題網(wǎng)絡(luò)的圖式；一組具有數(shù)學(xué)強(qiáng)、弱、廣義抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)圖式，稱為概念系[9]；而定義命題系的是一個(gè)命題集的圖式，其中被包含于這個(gè)命題集里的任何一個(gè)命題存在著至少與另外一個(gè)命題有廣義抽象中的前后關(guān)聯(lián)關(guān)系[10].

本研究將CPFS結(jié)構(gòu)作為理論基底，對(duì)西寧市某中學(xué)高一到高三年級(jí)學(xué)生的數(shù)列認(rèn)知進(jìn)行實(shí)證研究.分析該中學(xué)高中生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)整體水平如何？而年級(jí)與性別的差別是否會(huì)是影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的因素呢？若有影響，是怎樣影響的呢？

2 研究問題

(1)西寧市高中生個(gè)體數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)良性整體水平分析;

(2)西寧市高中生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)不同年級(jí)差異分析;

(3)西寧市高中生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)不同性別差異分析.

3 研究設(shè)計(jì)

3.1 問卷

為了有效地考察學(xué)生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的認(rèn)知情況，問卷參考了喻平教授在其博士論文《數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模式及教學(xué)理論研究》中提到的目標(biāo)回憶、結(jié)點(diǎn)連線、辨證推理、等價(jià)推理和命題應(yīng)用這五種檢測CPFS結(jié)構(gòu)的方法.編制出了適用于本研究的問卷，其各題目題干如下：

(1)寫出數(shù)列的概念，并闡述出你所理解的數(shù)列.(將你能想到的與數(shù)列相關(guān)的知識(shí)都陳述出來，比如數(shù)列的分類、特點(diǎn)、性質(zhì)等等)

(2)聯(lián)想曾經(jīng)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，在A、B、C、D、E、F、G這7個(gè)選項(xiàng)中選出與數(shù)列知識(shí)相關(guān)的選項(xiàng)，且分析出你的理由，陳述數(shù)列與你所選選項(xiàng)知識(shí)間的聯(lián)系.A.等式；B.不等式；C.函數(shù)；D.方程組；E.三角函數(shù)；F.代數(shù)式；G.遞推.

(3)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？為什么？ 2an=an-1+an+1(n>1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？2an=an-k+an+k(n>k>0) 是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？

(4)由等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d、等比數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1.qn-1出發(fā)，你可以推出哪些能代表是等差、等比數(shù)列的公式？盡可能地寫出你能想到的公式，并寫出關(guān)鍵的推導(dǎo)思路.

(5)在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法或是數(shù)學(xué)思想？

(6)請自行編制出一道有關(guān)數(shù)列知識(shí)的題目，并寫出解答該題目的主要思維路線.

3.2 被試對(duì)象

本文選取西寧市某中學(xué)280名高一到高三年級(jí)學(xué)生參與了此次測試，其中3個(gè)年級(jí)分別隨機(jī)抽取2個(gè)班進(jìn)行測試.本研究共發(fā)放280份測試卷，去除42份無效卷，回收有效卷共238份，其中高一、高二及高三年級(jí)被試有效人數(shù)分別為82名、70名及86名，且這238份有效卷中男生121人，女生117人.

3.3 方法

本文運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS20.0對(duì)測試數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性分析.需要指出的是，筆者通過SPSS20.0對(duì)本研究測試卷進(jìn)行了信、效度的檢驗(yàn)，檢測到問卷信度系數(shù)達(dá)到0.773>0.7，效度KMO值為0.81>0.7，并且該問卷Bartlett球形度檢驗(yàn)出的P值(Sig.)為0.000<0.05，說明問卷的可信度較高，效度也良好，即本文所編制的問卷具有良好的信度、效度，其調(diào)查數(shù)據(jù)可以為本研究所用.

4 結(jié)果分析

4.1 高中生個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)良性的整體分布情況

筆者對(duì)本研究收回的238份有效問卷的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，得到高一、高二及高三三個(gè)年級(jí)學(xué)生的數(shù)列CPFS 結(jié)構(gòu)測試成績結(jié)果(該問卷分?jǐn)?shù)越高則說明被試建構(gòu)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)越好).對(duì)其進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示.

表1 238名被試的數(shù)列CPFS測試結(jié)果統(tǒng)計(jì)

由表1中數(shù)據(jù)可知：238名學(xué)生CPFS測試成績的最高分為34分，最低3分，明顯看出最高與最低相差很大，其平均值M為16.91，標(biāo)準(zhǔn)差δ為6.5，同樣相差很大；同時(shí)從表1可看出結(jié)果的偏度系數(shù)是0.061，即學(xué)生分?jǐn)?shù)位于平均分左右的居多，由此可以得到這238名被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)認(rèn)知情況整體一般.

同時(shí)筆者還得出了被試高中生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)正態(tài)曲線，如圖1所示.

圖1 高中生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)正態(tài)曲線

由圖1成績正態(tài)曲線可以得到：不同學(xué)生間的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)存在較大的不同，在中、高分區(qū)間差距更大.

利用均值M和標(biāo)準(zhǔn)差δ，將這238名被試按 CPFS 測試成績的不同分為三組(M+δ和M-δ均四舍五入取整)：“低CPFS結(jié)構(gòu)”組分?jǐn)?shù)為0到10分(包括0分和10分)；“中CPFS結(jié)構(gòu)”組分?jǐn)?shù)為11到23分(包括11分和23分)；分?jǐn)?shù)高于23的均為“高CPFS結(jié)構(gòu)”組.每組人數(shù)及具體的所占比如表2所示.

表2 238名被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的總體分布

通過觀察表2，得到：被試中有34人(14.29%)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)較好，157人(65.96%)數(shù)列CPFS不太完善，而47人(19.75%)并未建立良好的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).

4.2 年級(jí)對(duì)數(shù)列 CPFS 結(jié)構(gòu)的差異性研究

筆者通過SPSS軟件分析出三個(gè)年級(jí)被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的描述性特征，結(jié)果見表3所示.

表3 各年級(jí)被試數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的描述統(tǒng)計(jì)量

續(xù)表

從表3分析各年級(jí)總分均值情況可看出：被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的完善程度為高三>高一>高二.具體而言，從表3中數(shù)據(jù)可以比較學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，其結(jié)果顯示高二年級(jí)最高，高三最低，說明針對(duì)學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)，高三年級(jí)最穩(wěn)定，高一次之，而高二被試最不穩(wěn)定.

但是不同年級(jí)CPFS結(jié)構(gòu)測試成績均值的不同并不能說明該年級(jí)學(xué)生個(gè)體是否普遍最高或者最低，或者說CPFS結(jié)構(gòu)水平是否真的是高三>高一>高二.因此筆者首先得到了各年級(jí)總?cè)藬?shù)百分比(如表4)、各年級(jí)學(xué)生數(shù)列 CPFS結(jié)構(gòu)各等級(jí)所占百分比(如表5)，其次應(yīng)用方差分析(ANOVA)法對(duì)三者做了差異性分析，結(jié)果如表6、表7和表8所示.

表4 各年級(jí)總?cè)藬?shù)所占百分比

表5 三個(gè)年級(jí)被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)低、中、高所占百分比

Levene方差齊性檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示.

表6 年級(jí)對(duì)測試結(jié)果的Levene方差齊性檢驗(yàn)

觀察表6中數(shù)據(jù)：其Levene統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p>0.05，所以得到各年級(jí)對(duì)CPFS結(jié)構(gòu)測試的成績滿足方差齊性的結(jié)論.

各年級(jí)對(duì)CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的單因素方差分析結(jié)果，如表7所示.

表7 各年級(jí)對(duì)數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的單因素方差分析結(jié)果

觀察表7得到數(shù)據(jù)：p=0.022<0.05，所以結(jié)果拒絕原假設(shè)，也就是說，不同年級(jí)被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績并不完全相同.

然而拒絕單因素方差分析原假設(shè)并不能得出各年級(jí)間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績均值完全不等的結(jié)論.還得通過多重比較檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行各年級(jí)間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績均值的兩兩比較，如表8所示.

表8 各年級(jí)間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的多重比較檢驗(yàn)結(jié)果分析

由于表6得出結(jié)果方差滿足齊性，表中的均值差又給出了不同年級(jí)間數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的均值之差，可以看出高一和高三、高二和高三年級(jí)間的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績存在顯著差異，而高二和高一年級(jí)間的差別不明顯.此結(jié)論由表8中顯著性列給出的p值大小與0.05比較(p>0.05不顯著，p<0.05顯著)也可得出.

綜上所述，年級(jí)會(huì)影響學(xué)生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的認(rèn)知.

4.3 性別對(duì)數(shù)列 CPFS 結(jié)構(gòu)的差異性研究

筆者還用SPSS20.0軟件將性別作為變量，分析出了被試男、女的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)描述性特征，具體見表9.

表9 男、女被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)成績描述統(tǒng)計(jì)

從表9中數(shù)據(jù)可以得到：從數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差來看，被試女生的標(biāo)準(zhǔn)差略低于被試男生，說明與被試男生相比，被試女生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)要更穩(wěn)定一些；而從均值來看，結(jié)果中被試男生和女生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的平均值相差不多，也就是說，當(dāng)被試對(duì)象的性別不同時(shí)，被試的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)不會(huì)有顯著差異.

由表9中比較男、女被試數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的均值與標(biāo)準(zhǔn)差還不能說明結(jié)果的普遍性，因此筆者對(duì)男女生的CPFS結(jié)構(gòu)做了差異性分析，結(jié)果如表10和表11，其中運(yùn)用到兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)與方差分析這兩種方法.

表10 被試男女生的CPFS結(jié)構(gòu)獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)

由上表10可知，其Levene’s方差齊性檢驗(yàn)的p值結(jié)果是0.769>0.05，說明男生和女生數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)測試成績的方差滿足齊性(Levene’s方差檢驗(yàn)的原假設(shè)是方差滿足齊性)，所以t檢驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該看表10的假設(shè)方差相等行.結(jié)果顯示t檢驗(yàn)的p值為0.926>0.05，說明男女生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)成績的方差無明顯差異.

表11 被試男女生CPFS結(jié)構(gòu)的單因素方差分析結(jié)果

根據(jù)表11的組間方差檢驗(yàn)的結(jié)果可知，其顯著性水平為0.926>0.05，說明238名學(xué)生中男、女性別的不同對(duì)其數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的影響并不顯著，即性別并不會(huì)影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).

5 結(jié)論

經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)及SPSS20.0數(shù)據(jù)分析，對(duì)西寧市某中學(xué)高一到高三年級(jí)學(xué)生的數(shù)列CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析，可得如下結(jié)論：

(1)238名高一到高三學(xué)生建構(gòu)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)整體水平一般，且個(gè)體間的數(shù)列認(rèn)知差距較大.具體而言，高CPFS結(jié)構(gòu)組占14.29%，低CPFS結(jié)構(gòu)組占19.75%，中CPFS結(jié)構(gòu)組占65.96%.

(2)年級(jí)會(huì)影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).隨著學(xué)生年級(jí)的不同，學(xué)生所建構(gòu)的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和完善程度都不同，且年級(jí)間的差異均為高三>高一>高二.

(3)238名學(xué)生中男、女性別的不同對(duì)其數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu)的影響并不顯著，即性別并不會(huì)影響學(xué)生的數(shù)列CPFS結(jié)構(gòu).