孟 進(jìn)，張 靜

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158）

布朗運(yùn)動(dòng)是描述液體表面懸浮花粉的無(wú)序運(yùn)動(dòng)[1]，是時(shí)間和狀態(tài)都連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，也是目前性質(zhì)最好的隨機(jī)過(guò)程之一，在生物、經(jīng)濟(jì)、通信科學(xué)、物理等許多領(lǐng)域都有極其廣泛的應(yīng)用。1971年Fukushima在著作中提出了正則狄氏型和馬氏過(guò)程的對(duì)應(yīng)關(guān)系[2]，1991年馬志明在著作中提出擬正則狄氏型的框架，并建立擬正則狄氏型和馬氏過(guò)程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系[3]。本研究在以上工作基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的狄氏型，首先證明布朗運(yùn)動(dòng)的生成元為二階偏導(dǎo)形式，然后將布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的狄氏型作為基本型，考慮變換后的二次型的擬正則性。本研究的變換分為兩類(lèi)：第一類(lèi)變換是保持參考測(cè)度，對(duì)基本型做變換；第二類(lèi)變換是保持基本型不變，改變參考測(cè)度。最終本研究得到，如果ρ滿足假設(shè)1，那么由變換一和變換二得到的二次型是擬正則狄氏型（詳見(jiàn)定理2和定理3）。

1 布朗運(yùn)動(dòng)的生成元

設(shè)X=(Ω,F,Xt)是L2(Rn,dx)上的經(jīng)典布朗運(yùn)動(dòng)[4]，其轉(zhuǎn)移密度函數(shù)為

其中，第一個(gè)等號(hào)中第一項(xiàng)有

第二項(xiàng)有

第三項(xiàng)有

2 布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的狄氏型及其變換

2.1 變換一

定理2 如果ρ滿足假設(shè)1，且

是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型，那么對(duì)稱(chēng)型

證明 由前面的內(nèi)容可知，(ε,D(ε))是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型，根據(jù)引理1，只需要證明式（6）和式（7）。

根據(jù)假設(shè)1可知，存在常數(shù)c1,c2＞1，使得

從而有

的閉包也是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型。

2.2 變換二

在變換一中，對(duì)L2(U,dx)上的擬正則狄氏型(ε,D(ε))的型做了一些變換，變換后的二次型(ε',D(ε'))是L2(U,dx)上的擬正則狄氏型，值得注意的是變換一并沒(méi)有改變參考測(cè)度和底空間。那么，如果保持狄氏型的基本型不變，參考測(cè)度發(fā)生改變，參考測(cè)度需要滿足什么條件，使它變換后的二次型同樣會(huì)保持?jǐn)M正則性不變？下面對(duì)這一問(wèn)題作簡(jiǎn)單介紹。

由文獻(xiàn)[9]可知，如果ρ是U?Rd上幾乎處處大于零且局部可積的函數(shù)，那么

是L2(U,ρdx)上的馬氏局部對(duì)稱(chēng)型。進(jìn)一步地，如果它是可閉的，那么它的最小閉延伸是局部擬正則狄氏性，從而有下面的定理。

定理3 如果ρ是U上的可測(cè)函數(shù)且假設(shè)1成立，那么

是L2(U,ρdx)上的局部正則狄氏型。